数据的集中趋势与离散程度知识梳理及典型问题

薛飞

《数据的集中趋势与离散程度》这一章中我们主要学习了体现数据集中趋势的三种“数”——平均数、中位数和众数以及体现数据离散程度的两种“差”——极差与方差.

平均数分“算术平均数”与“加权平均数”，我们重点理解加权平均数.加权平均数重在理解什么是“权”.课本中是这样定义“权”的：一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关.我们把衡量各个数据的“重要程度”的数值叫做“权”.

例1 学校食堂午餐供应3元、4元和5元三种价格的盒饭，根据食堂某月销售午餐盒饭的统计图，计算该月食堂销售午餐盒饭的平均价格.

【分析】 这个题目给出的两组数据分别是：①午餐盒饭的价格为3元、4元和5元；②不同价格的盒饭所占的比例.题目最后要求的是午餐盒饭的平均价格，也就是说第①组数据是题目研究的数据对象，第②组数据中盒饭所占的比例是“权”.

解：该月食堂销售午餐盒饭的平均价格为

[15%×5+25%×3+60%×415%+25%+60%]=3.9（元）.

答：该月食堂销售的午餐盒饭的平均价格为3.9元.

求中位数的一般步骤：①把数据从小到大排列；②若该数据含有奇数个数，位于中间位置的数是中位数，若该数据含有偶数个数，位于中间位置的两个数的平均数就是中位数.

例2 有奇数个数据10，20，80，40，30，90，50，40，50，40，60，求这一组数据的中位数.

【分析】 把这组数据按从小到大的顺序排列10、20、30、40、40、40、50、50、60、80、90，该数据含有奇数个数，位于中间位置的数是中位数，所以该组数据的中位数为40.

例3 一组数据分别为1，2，8，4，3，9，5，4，5，6，求这组数据的中位数.

【分析】 首先把这组数据按从小到大的顺序排列1，2，3，4，4，5，5，6，8，9，该组数据共有10个，所以第5个和第6个数据的平均数4.5为中位数.

【点评】中位数的求法一定要注意先排序，后根据总数的奇偶来找出中位数，从例3中可以看出中位数4.5并不是原始数据，所以中位数也不一定是原始数据中的一个.

一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.众数可以没有，可以只有一个，也可以有多个.

例3 一次数学测验后，老师将全班40名学生的成绩整理后绘制成频数分布直方图，判断下列命题正确的是.

①全班成绩的中位数在84～96这一组；

②全班成绩的众数在84～96这一组.

【分析】命题①正确，命题②在判断众数的时候往往会掉入陷阱，看到84～96这一组最高，所以众数确定就在这一组.举个反例便知错在哪里：84～96之间一共是12人，其中84分，85分，86分，87分各3人，而72～84这一组中的9人分数都是80分，显然全班成绩的众数不在84～96这一组，所以这题正确的只有命题①.

极差概念简单，通俗地说就是最大数据与最小数据的差，反映了一组数据的变化范围.

例4 某位射击运动员射击5次命中的环数分别为6，7，9，10，8，求极差.

【分析】找出最大值和最小值即可，最大值为10环，最小值为6环，所以极差为10-6=4.

描述一组数据的离散程度还有方差，方差的计算公式：

s2=[ （x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2n].

例6 为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：甲：8，7，10，7，8；乙：9，5，10，9，7.

（1）将下表填写完整：

（2）根据以上信息，若你是教练，选择谁参加射击比赛，理由是什么？

（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这6次射击成绩的方差会 .（填变大或变小或不变）

【分析】通过计算得出甲乙两人的平均数都是8环，但是甲的极差比乙小，更重要的是甲的方差也比乙小，方差越小越稳定，所以教练会选择发挥较为稳定的甲参加比赛.第（3）问的解决需要用到方差的计算公式，原来5次射击的方差是这样计算的

s2（5次）=[ （x1-8）2+（x2-8）2+…+（x5-8）25]，

增加一次8环的射击后，方差计算变成

s2（6次）=[ （x1-8）2+（x2-8）2+…+（x5-8）2+（8-8）5+12].

不难发现分子虽然增加了一项，但是分子的值并没有变化，但是分母却变大了，所以分子不变，分母变大，最终方差变小.

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）