180°的合情演绎

杨勇

人教版《数学》七年级上册《三角形内角和定理的证明》旨在引导学生应用运动变化的观点认识数学，通过一题多解、一题多变，体会思维的多向性，经历从特殊到一般再到特殊的过程，感受思维实验和符号化的理性作用。难点是让学生学会用添加辅助线的方法证明三角形内角和为180°。笔者在教学中做了如下尝试：

一、联系先前经验，初步感知定理

学生的认知活动是建立在先前学习经验的基础之上的，教师在教学之初要准确把握学生的认知发展水平，找准学生思维的最近发展区，创设问题情境，为其提供支架，实现思维现有发展水平向可能发展水平的平稳过渡。

教学伊始，笔者让学生回忆小学阶段已经知道的“三角形内角和等于180°”这一结论的得出过程。有的说是用量角器量出来的，有的说是将三个角剪下来围绕一个顶点拼出来的。笔者肯定了学生的回答后，引导学生再次动手操作：（如图1）把一个三角形的两个角剪下，拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=180°。当学生对三角形内角和定理有了初步的感知后，笔者引导学生思考：除此之外，还有什么方法可以证明该定理。学生在动手操作中，开动脑筋积极思考。

二、引导观察比较，形成证明思路

教学中，教师将部分相近或相对的教学内容、教学环节用类比的方法有意识地进行调整、组合，使知识、技能和方法更系统化和概括化，让学生在类比中提高分析和归纳能力。

有学生观察图1后发现了另一种证明思路：（如图2）将∠A剪下，拼在∠C的顶点处，得出∠MCA=∠A，再用量角器量出∠MCB+∠B=∠MCA+∠ACB+∠B =∠A+∠B+∠ACB=180°。还有学生指出：（如图3）把[∠B]和[∠C]剪下，以点A为顶点拼在一起，同样可以得出∠B+∠C+∠CAB=180°。笔者引导学生观察比较这三种证明方法，想一想如果不用拼角的方法，还有更加简便的思路吗？

三、通过操作实验，完善证明过程

通过多种方法添加辅助线沟通条件与问题之间的联系，建立起清晰的思维脉络，在操作实验的基础上简化思维步骤，充分利用先前知识经验完善证明过程。

课中，笔者让学生通过画辅助线的方法再次证明。如图4，延长BC至点D，过点C作CE∥AB，结合平角180°和平行线性质定理（两平行线间同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），可知：∠A=∠ACE，∠B=∠ECD， ∠A+∠B+∠ACB=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°。接着，笔者引导学生类比直角的形象添加辅助线，如图5所示，学生过点B作BD⊥BC，过点A作AE⊥BC，交BC于点E，过点C作CF⊥BC，并作如下证明：∵∠DBC=∠AEC=∠FCB=90°，∴DB∥AE∥FC，∴∠EAB=∠DBA，∠EAC=∠FCA，∴∠CAB+∠ABC+∠BCA=∠EAB+∠CAE+∠ABC+∠BCA=∠DBA+∠FCA+∠ABC+∠BCA=∠DBC+∠FCB=180°。至此，学生通过添加辅助线的方式再次证明了三角形内角和定理。

（作者单位：红安县太平桥镇马井中学）