二项式定理活用例析

安徽省安庆一中 付贤民

二项式定理活用例析

安徽省安庆一中 付贤民

二项式定理是高中数学中的重点知识，其中蕴含着丰富的数学思想方法与技巧，能在解决诸多问题中得以运用。下面分类举例分析。

一、求指定项的系数

分析根据通项公式，令x的指数为2即可求出系数。要注意项的系数与二项式系数的区别。

二、求指定项

A.-20 B.20 C.-15 D.15

分析本题将分段函数与二项式定理结合起来，必须先求出f［f（x）］的表达式，在求解的过程中注意分类讨论，再利用通项公式找到常数项。

A.1 B.2 C.3 D.4

分析先根据前三项的系数成等差数列求出n的值，写出展开式的通项公式，要使其为有理项，则x的指数必须为整数。

三、求系数和

分析分别令x=1和x=-1，再整体求解。

四、已知系数（或和），求参数值（或范围）

例5 （2015年全国卷）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=＿＿＿＿。

分析设出（a+x）（1+x）4的展开式，利用赋值法来求解。

解设（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，

令x=1，则（a+1）×16=a0+a1+a2+a3+a4+a5①；

令x=-1，则0=a0-a1+a2-a3+a4-a5②。

①-②得16（a+1）=2（a1+a3+a5）=64，解得a=3，故填3。

分析先利用二项展开式的通项公式求出a、b间的关系式，再利用重要不等式求解。

令12-3r=3，得r=3。

五、求余数或整除问题

例7 5310被8除的余数是（ ）。

A.1 B.2 C.3 D.7

分析因53=48+5，利用二项式定理将其展开，则只需考虑510被8除的余数即可。

例8 对任意n∈N*，34n+2+a2n+1能被14整除，则最小的自然数a=。

分析因34n+2+a2n+1=92n+1+a2n+1=（14-5）2n+1+a2n+1，而由（14-5）2n+1的展开式知其前2n+1项都能被14整除，最后一项为-52n+1，即对任意n∈N*，-52n+1+a2n+1能被14整除或等于0。

解根据分析可知最小的自然数a=5。

六、求近似值

例9 （1.05）6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ）。

A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34

分析将1.05改写成1+0.05，利用二项式定理展开，根据要求去掉后面比较小的项即可求出近似值。

七、创新题

例10 观察下列各式：

照此规律，当n∈N*时，

分析观察等式左右两边的特点，不难发现答案为4n-1。对于这样的创新题，要求同学们具有较强的观察能力和归纳能力。解题的关键在于抓住题目给出的结构特征，从适当的角度挖掘出其内部规律。

故填4n-1。

例11 当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：

请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：

分析本题将导数、定积分、二项式定理巧妙地结合起来，要求同学们具有较好的理解能力、分析问题和解决问题的能力。