飞机全电防滑刹车系统稳定动态面控制

李兵强，陈晓雷，林　辉，戴志勇

（西北工业大学自动化学院，陕西　西安 710129）

飞机全电防滑刹车系统稳定动态面控制

李兵强，陈晓雷，林辉，戴志勇

（西北工业大学自动化学院，陕西西安 710129）

针对机电作动的飞机防滑刹车模型具有的高阶非线性及参数时变特点，提出一种基于障碍Lyapunov函数的动态面控制方法，实现对滑移率的上界约束，保障防滑刹车系统的稳定性。建立飞机刹车动力学模型，与机电作动器的数学模型联立得到整体刹车系统的状态空间模型，并合理简化为严格反馈形式。将刹车系统的控制稳定性问题等效描述为含输出约束的非线性系统镇定问题，设计动态面控制律并通过Lyapunov方法证明滑移率跟踪误差半全局一致最终有界，刹车工作点始终保持在稳定区域内。仿真结果表明，本文所提控制策略具有稳定性优势，且改善了传统控制存在的中低速时滑移率振荡问题，控制效果有显著提升。

机电作动器；防滑刹车系统；动态面控制；障碍李亚普诺夫函数；无刷直流电机

网址：www.sys-ele.com

0　引　言

航空技术的发展日新月异，但刹车安全性始终是人们关注的焦点。传统刹车系统存在油液泄漏的风险，伺服阀易受污染且维护昂贵。机电作动器（electromechanical actuator，EMA）［1］的成功应用使刹车机构彻底摆脱了对飞机主液压系统的依赖，也被称为全电刹车系统，显著提升了刹车效率和安全性，是飞机刹车系统的发展方向［2］。国内研究起步较晚，处于原理验证阶段。

刹车制动效能不仅依赖于作动机构性能，还取决于刹车控制策略的先进性。现有飞机防滑刹车系统（antiskid braking system，ABS）通常采用滑移率式控制策略，其核心思想是在不同跑道条件下，实现最优滑移率的设定点控制，使结合系数保持最大值，以获得最大结合力矩。现有文献已提出若干种滑移率式控制策略，如模糊控制［3］、神经网络控制［4］、滑模控制［5］、极值搜索控制［6］等，但对刹车系统稳定性问题则少有研究。

滑移率控制中，根据滑移率和结合系数的关系曲线，将刹车工作点划分为稳定区域和不稳定区域［7］。不稳定区域意味着轮胎将深度打滑至抱死状态，此时飞机侧向稳定性大为降低，可能引起侧滑或甩尾，造成安全事故。近年来，考虑刹车系统稳定性的ABS控制设计已引起普遍关注，但依赖于对物理量（如机轮角加速度、轮胎摩擦力）的测量［8］或估计［9 10］，需要增加传感器或算法复杂程度，造成实际应用的困难。

实现刹车控制器设计的基本前提是对数学模型的研究，飞机地面运动的真实动力学特性及为复杂，文献［11］建立15个自由度的飞机刹车系统模型，文献［12］考虑起落架与刹车系统的相互作用，然而复杂模型并不利于指导刹车控制律设计。文献［13］假定飞机处于最大着陆状态，仅考虑纵向运动且忽略气动力作用，对作动机构特性也未有分析，类似还有文献［14］。实际上，刹车控制设计必须立足于合理简化的数学模型，此外需考虑空气动力对系统的影响，以及作动机构本身的非线性特性。

在以上研究的基础上，建立合理简化的飞机刹车动力学模型，与全电作动机构模型相结合，得到完整的刹车系统模型，并将刹车稳定性问题归结为含输出约束的非线性系统控制问题。设计对称结构的障碍Lyapunov函数（barrier Lyapunov function，BLF）［15］实现对滑移率的约束，并采用动态面控制（dynamic surface control，DSC）避免了常规反演控制中对虚拟控制量求取多次微分的困难［16］，可实现滑移率跟踪误差的全局一致最终有界，使刹车工作点始终保持在稳定区域，保证飞机的侧向稳定性。

1　系统数学模型

1.1飞机刹车动力学模型

模型基于如下假设：①仅考虑纵向运动；②忽略轮胎压缩；③受刹机轮机构性能一致且同步控制。该模型结构简单却保留了刹车过程本质特征，适用于ABS控制器设计［14，17］。飞机刹车过程受力分析如图1所示。

图1　飞机刹车过程受力分析

图1中，Vx为飞机速度，mA为飞机质量，g为重力加速度，FR为发动机反推力，FX为气动阻力，Ff为受刹机轮与跑道间的结合力，FL为飞机升力，N2为前轮载荷，N1为主轮载荷，b为前轮到飞机重心的水平距离，a为主轮到飞机重心水平距离，hc为飞机重心高度，he为发动机距重心的垂直距离。飞机纵向运动方程、垂直方向力平衡方程、力矩平衡方程分别为

式中，Cd为气动阻力系数；ρa为空气密度；SA为机翼面积；CL为升力系数。

受刹机轮的动力学方程为

式中，R为主轮半径；Tb为刹车力矩；Bw为轮轴摩擦系数；ω为主轮角速度；Iw为机轮转动惯量。

刹车盘的温度变化及材料、磨损等复杂因素均会影响Tb，忽略上述非线性因素，可认为Tb取决于刹车压力PA：

式中，Kb为力矩转化系数。

1.2滑移率—结合系数模型

刹车过程中，由于刹车力矩Tb的作用，使得Vx＞Rω，由此定义滑移率λ［18］，表示机轮相对跑道的滑动运动比率：

刹车过程依赖为Ff，影响Ff大小的因素称为结合系数μ［19］，定义为

μ难于直接测量或精确计算，与其他变量间的定量关系依赖试验数据拟合获取，通常将μ表示为λ的单变量拟合函数，如图2所示。

图2　轮胎/路面摩擦模型

刹车过程中，随着λ的增大，μ随之增大，Ff及.Vx也随之增大，直到λ=λ*时得到最大结合系数μmax及最大结合力矩。若λ＞λ*，则μ将显著减小，若λ继续增大至机轮趋于抱死，此时飞机侧向稳定性将迅速降低，因此将λ大于容许上限值λp的区域定性称为不稳定区域。滑移率控制目标是实现λ对λ*的跟踪以获取最大结合力矩，理想的控制效果应使λ（t）保持在λ*有限邻域内，不能进入不稳定区域。

对式（5）求导可得

将式（1）～式（3）、式（6）联立，求得Ff，并计算.Vx及.ω，式（7）可写为

1.3EMA模型

刹车EMA结构如图3所示。

图3　全电刹车机电作动器结构图

由无刷直流电机（brushless DC motors，BLDCM）通过伞齿轮驱动滚珠丝杠，将丝杠的旋转运动转变为轴向运动，驱动压紧盘，产生刹车力矩。与传统液压刹车相比，不存在液压油充填活塞腔的过程，具有响应快速优势。BLDCM模型简化为

式中，Uc为电枢电压；Rm为定子电阻；i为电枢电流；L为定子电感；Ea为电枢反电动势；J为转动惯量；ωm为电机角速度；Te为电磁转矩；Tl为负载转矩；Bυ为粘滞阻尼系数；KT为转矩常数；Ke为反电动势常数。

EMA输出力即刹车压力PA为

式中，cb为刹车盘刚度系数；xEMA为滚珠丝杠位移；xb为刹车盘侧向位移，可认为压紧盘在刹车过程中仅存在弹性形变，即xb=0。滚珠丝杠的负载力方程及运动方程为

式中，L0为滚珠丝杠导程。

对式（10）求导有

1.4全电刹车系统整体模型

将式（8）～式（12）联立可得到整体刹车系统模型：

式中，g1=KbR/VxIw；b1=cbL0/2π；c1=L0/2πJ；c2=Bυ/J；c3=KT/J；d1=Ke/L；d2=Rm/L；u=Uc/L。u为系统输入，y为系统输出。可知模型具有高阶非线性及参数时变特性。

控制目标：对式（14）描述的全电刹车系统设计控制器，使刹车过程中λ（t）实现对期望滑移率λ*的跟踪，且实现λ（t）＜λp，∀t＞0，保障刹车系统稳定性。

假设1期望滑移率指令连续且二阶导数存在并满足λ*2+.λ*2+¨λ*2≤Χ1，Χ1为一正数；

假设2μ（λ）为连续可微凸函数，即f1（x1）连续可微；

假设3Vx、ω、PA、ωm及i可测。

实际系统中，已知跑道条件下的λ*为设定常数，满足假设1。假设2符合现有μ-λ关系曲线，假设3是工程实现全电刹车的必要条件。

2　控制器设计

2.1障碍Lyapunov函数

本文提出控制器设计思想是将滑移率控制视为含输出约束条件的控制问题，通过约束使得在刹车过程中λ始终不超过λp，避免刹车工作点处于不稳定区域。对式（14）中的非线性系统，要求y（t）满足约束|y|≤λp∀t≥0。提出基于BLF的动态面控制方法。

定义1对自治系统.x=f（x），若标量函数V（x）满足以下性质：在开区域D内连续、正定且一阶偏导数连续；当x趋近于D的边界时，有V（x）→∞；且存在一正常数M，若x（0）∈D，则沿方程.x=f（x）的解始终满足V（x（t））≤M，∀t≥0，则称V（x）为系统.x=f（x）的一个BLF［15］。

2.2动态面控制器设计

由假设2可知式（14）为严格反馈型系统，借鉴反演控制逐层设计虚拟控制量的思想，引入低通滤波器实现动态面控制，降低控制律复杂程度。设计步骤如下：

步骤1设λ*=x1d为期望滑移率，定义跟踪误差为z1= x1-λ*，求导并将式（14）代入，可得

选取如下对数型Lyapunov函数：

由定义1可知V1为BLF。其中kb=λp-λ*，设系统起始刹车时刻状态为x（0），则有z1（0）=-λ*∈（-kb，kb）。对式（16）求导得

式中，κ1为正实数。将x-2经过低通滤波器，得到输出x2d满足

2.3稳定性分析

首先给出稳定性分析需要的两个引理：

引理2对任意正实数kb，若|z1|＜kb，则下列不等式［20］成立：

定义滤波误差为

对zi=xi-xid求导，联立式（32），并将式（20）、式（24）、式（28）和式（32）代入，得误差面导数为

根据式（21）、式（25）、式（29）可得

对式（32）求导，将式（20）、式（24）、式（28）求导并代入，与式（34）联立可得

为简化式（35），定义函数Θi满足下式：

设计Lyapunov函数为

定理1对式（14）所示全电刹车系统，采用式（18）、式（22）、式（26）所示虚拟控制量，式（30）所示动态面控制律，若满足假设1～假设3，选取适当的滤波器及控制器参数κi（i= 1，2，3，4）、τj（j=2，3，4），可保证滑移率始终小于给定上界，稳态误差可以任意小。

证明对式（37）求导，将式（33）和式（36）代入可得

参考如下Young不等式：

利用式（39）及其类似不等式，式（38）可整理为

由式（42）可知，当V=η，取r＞3σ/2·2η，有.V=-2rη+ 3σ/2≤0。此时V≤η是不变集，若V（0）≤η，则V（t）≤η，∀t＞0。求解有

故紧集Ω1：=｛z1，z2，z3，z4，y1，y2，y3｝内所有信号半全局一致最终有界，取合适的控制器及滤波器参数，Ω1可随意缩小，即跟踪误差z1可以任意小。z1（0）在集合z1∈（-kb，kb）内，由引理1可知，z1（t）∈（-kb，kb）∀t∈［0，∞），由x1（t）=z1（t）+λ*，考虑滑移率的物理意义，实际刹车过程中λ恒为正数，可知λ∈（0，λp），∀t∈［0，∞），刹车过程中滑移率不会超过设定上界，从而保障刹车系统的稳定性。证毕

3　仿真分析

3.1仿真参数

冰跑道着陆时结合系数较小，对刹车机构性能和刹车控制律提出更为苛刻的要求。以冰跑道上的全电刹车为例进行数值仿真，验证控制算法的有效性。设起始刹车时刻Vx（0）=72 m/s，ω（0）=180 rad/s，xi（0）=0，λ*=0.15，λp=

系统主要参数见表1。

表1　系统参数

3.2仿真结果

稳定性相关的参数设置为r=10，σ=2，控制器参数设置为：κ1=10，κ2=103，κ3=100，κ4=200，滤波参数设置为：τ2=0.02，τ3=0.01，τ4=5×10-3，按本文方法设计控制律，仿真结果如图4所示。

图4　本文算法仿真结果

从图4可以看出，本文算法对期望滑移率实现较良好跟踪，起始刹车效果较显著，说明机电作动机构具有较快的启动速度，刹车工作点始终位于μmax两侧小范围内。

与常规动态面控制相对比，验证本文算法约束滑移率上界的作用。在本文算法中，式（16）取二次型Lyapunov函数V1=z21/2，控制器参数及稳定性结论不变。仿真结果如图5所示。

图5　常规动态面控制仿真结果

由图4可知，在刹车起始阶段机轮速度呈现一定程度的振荡，此后迅速趋于平稳，这说明常规动态面控制可实现对滑移率的良好跟踪，但在飞机纵向速度较高时出现严重机轮打滑，这意味着刹车工作点已进入不稳定区域，此时飞机升力作用较显著，主轮载荷较小，尚未完全实现姿态稳定，在冰跑道这种低摩擦路面下保持侧向稳定性极为关键，实际工程中应着力避免高速阶段出现的机轮深度打滑现象。

现有防滑控制通常采用多门限PID控制器，缺陷在于控制效果依赖于参数整定，且无法保障飞机侧向稳定性，相同初始条件下的仿真结果如图6所示。

图6　多门限PID算法仿真结果

从仿真结果可以看出，随着刹车进程滑移率逐渐加大，在中速阶段较为明显，低速阶段更为严重，机轮逐渐处于深打滑状态，这是实际刹车系统的常态。对比结果体现出本文方法具有较好的控制性能，显著提升飞机侧向稳定性。

4　结　论

在分析飞机全电防滑刹车系统模型的基础上，提出一种基于BLF的动态面控制算法，对控制器进行稳定性分析及仿真验证，得到如下结论：

（1）刹车系统存在侧向稳定性问题，采用传统控制策略难以保障刹车工作点的稳定性；

（2）基于BLF方法的动态面控制可实现对滑移率的实时约束，保障飞机侧向稳定性，改善了常规控制存在的低速段滑移率振荡问题；

（3）不同跑道下结合系数变化很大，需要不同的目标滑移率设定，这是由刹车系统的本质特征决定的。如何针对不同跑道实现控制器参数的自整定，是需要进一步研究的课题。

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陈晓雷（1980），男，博士研究生，主要研究方向为非线性控制、伺服系统。

E-mail：chenilc@126.com

林辉（1957-），男，教授，博士研究生导师，主要研究方向为迭代学习控制、电力电子技术。

E-mail：linhui@nwpu.edu.cn

戴志勇（1988-），男，博士研究生，主要研究方向为电机驱动技术。

E-mail：daizhiyong9251@163.com

Enhanced stability dynamic surface control for aircraft antiskid braking system using electromechanical actuator

LI Bing-qiang，CHEN Xiao-lei，LIN Hui，DAI Zhi-yong
（School of Automation，Northwestern Polytechnical Uniυersity，Xi'an 710129，China）

For overcoming the higher order nonlinearity and parameters variability in the model of the antiskid braking system（ABS）of aircraft，a dynamic surface control approach based on the barrier Lyapunov function（BLF）is proposed to design the slip ratio tracking control with an output upper constraint.The primary purpose of the BLF is to keep the closed-loop system operates within the stable region of the adhesion coefficient curve.As for control purpose，only longitudinal dynamics of the aircraft are considered，in combination with the model of the electromechanical actuator，the whole state space model of the ABS is described as the strict feedback form.In some ways，the control objective should be regarded as the stabilization of the nonlinear system with output constraints.Lyapunov stability analysis of the closed-loop system indicates that the proposed control strategy guaranteed the tracking error of slip ratio is semi-globally uniformly ultimately bounded and converging toward an arbitrarily small neighborhood of the origin.Simulation results validate the effectiveness of the proposed method.Compared with the traditional control method，this control scheme not only has an obvious advantage in its stability but also avoid the large oscillation of the slip ratio particularly at the end of the braking.As a result，the performance of the system is enhanced significantly.

electromechanical actuator；antiskid braking system（ABS）；dynamic surface control；barrier Lyapunov function（BLF）；brushless DC motors

TP 273

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.05.26

1001-506X（2016）05-1139-07

2015-02-26；

2015-07-15；网络优先出版日期：2016-01-12。

网络优先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160112.1742.016.html

国家自然科学基金（51407143）；高等学校博士学科点专项科研基金（20136102120049）；中央高校基本科研业务费专项资金（3102014JCQ01066）；陕西省自然科学基础研究计划青年项目（2014JQ7264）；陕西省自然科学基础研究计划面上项目（2015JM5227）；陕西省微特电机及驱动技术重点实验室开放基金（2013SSJ10022）资助课题

李兵强（1982-），男，副教授，博士后，主要研究方向为现代电机控制技术、迭代学习控制。

E-mail：libingqiang@nwpu.edu.cn