超奈奎斯特的频谱效率与参数优化分析

2016-11-02吴湛击李少冉王雨晴

系统工程与电子技术 2016年5期

关键词：奎斯特载波间隔

吴湛击，车　慧，李少冉，王雨晴

（北京邮电大学信息与通信工程学院，北京 100876）

超奈奎斯特的频谱效率与参数优化分析

吴湛击，车慧，李少冉，王雨晴

（北京邮电大学信息与通信工程学院，北京 100876）

对超奈奎斯特（faster than Nyquist，FTN）和奈奎斯特系统的频谱效率进行了对比分析。在绝对带宽的前提下，首先证明了基于根升余弦函数脉冲的单载波FTN可达速率大于奈奎斯特可达速率，并推导了有子载波间干扰的多载波FTN的频谱效率公式。本文证明了单载波FTN的频谱效率大于奈奎斯特系统的频谱效率，并且证明了单载波FTN的频谱效率随着滚降因子的减小而增大。基于频谱效率公式和数值仿真，本文给出了多载波FTN对于不同滚降因子的最优子载波间隔。结果表明，即使存在子载波间干扰，基于最优子载波间隔的多载波FTN频谱效率也高于正交系统（奈奎斯特）的频谱效率。

超奈奎斯特；容量；带宽；频谱效率

网址：www.sys-ele.com

0　引　言

奈奎斯特速率是实现通信系统无码间干扰的信号最高传输速率。当信号以超过奈奎斯特速率进行传输时，就会引起码间干扰，导致系统误码性能大幅下降。Mazo提出，采用二进制sinc（t/T）信号波形，码元速率如果不超过奈奎斯特速率的25%，那么信号的最小欧氏距离不会变化［1］，系统的误码性能也不会受到影响［2］。Mazo提出的这种调制方式因信号发送速率超过了奈奎斯特极限这种调制技术被称为“超奈奎斯特”（faster-than-Nyquist，FTN）调制。FTN的各信号之间不再具有正交性且可以达到更高的频谱利用率。囿于当前无线频谱资源匮乏的瓶颈问题，FTN技术成为5G及未来无线通信系统中新的核心技术［3］，广泛适用于终端直通（device-to-device，D2D）和大规模机器通信（massive machine communication，MMC）。

目前，针对FTN解调技术以及相关理论的研究已成为移动通信领域研究关注的重点。其中FTN的频谱效率是摆在所有理论问题前面最突出和最关键的问题之一。文献［4］从信道容量公式出发对功率受限条件下FTN调制技术的信道约束频谱进行了理论分析，结果表明采用FTN技术所能达到的信道频谱比传统的Nyquist容量更高。文献［5］从互信息的角度分析FTN系统的频谱，指出FTN系统通过压缩时频传输间隔来提高频谱效率。文献［6］对多用户的FTN调制进行了研究。

单载波FTN仅存在符号间干扰（inter-symbol interference，ISI），不存在载波间干扰（inter-carrier interference，ICI），而多载波FTN存在ICI。对于单载波FTN，本文基于根升余弦函数脉冲和绝对带宽对其频谱效率进行了理论分析；将FTN的频谱效率和香农限进行了对比研究。对于多载波FTN，本文基于信干噪比（signal-to-interference-plusnoise ratio，SINR），推导了多载波FTN的频谱效率公式。在FTN系统达到最优频谱效率时，给出了同一信干噪下频谱效率随着子载波间隔变化的规律。

1　FTN调制系统模型

单载波FTN调制模型如图1所示。图中，a［n］表示星座映射后的数字符号，且星座点符号周期为T，功率为P；h（t）表示成型脉冲，功率谱密度为|H（f）|2，其中H（f）表示h（t）的傅里叶变换。若Sa（t）表示调制后的信号，则有

式中，τ表示时间相关因子。

图1　FTN调制模型

在式（1）中，τT表示成型脉冲h（t）的发送间隔。当τ= 1，h（t）的发送间隔为T，此时成型脉冲h（t）保持正交，即T正交；若τ＜1，h（t）的发送间隔为τT，此时成型脉冲h（t）不再保持正交；此时，在相同时间内，成型脉冲h（t）可以运载更多的星座符号。τ减小不改变信号的基带带宽。

用an，k代替式（1）中的a［n］，用k表示载波序号，则多载波FTN［7］表达式为

式中，K 表示子载波数目；Δf表示正交子载波间隔；φ为频域相关因子，且τφ≤1。

τφ≤1表示对时频资源进行压缩。式（2）对应的时频传输网格如图2所示。从时、频传输网格来看，FTN系统通过压缩发送间隔（时域）或子载波间隔（频域），从而提高传输速率和频谱利用率。

图2　FTN调制的时频二维传输网格图

本文下面从理论分析角度对单载波和多载波的FTN系统的频谱效率进行研究。公平性起见，本文的频谱效率比较基于绝对带宽。绝对带宽定义：宽平稳随机信号X（t）的功率谱密度为SX（f），自相关函数为RX（τ），若SX（f）在f≥0时的支集为（f1，f2），即在区间（f1，f2）外SX（f）= 0，则称f2-f1为随机信号X（t）的绝对带宽。

2　单载波FTN系统的频谱效率与参数选择

式中，WC表示为信道带宽；P表示信号功率；N表示白噪声功率。继而文献［9］给出了任意噪声的信道容量：

香农的三大定理是信息论的基础理论，其中文献［8］给出了有噪信道编码定理：在信道中，在允许模糊为ε情况下，能够区分时间间隔为T的信号个数为M（ε，T），则高斯白噪声信道容量定义为

式中，P（f）表示信号功率谱密度；N（f）表示噪声功率谱密度；WC表示信道带宽。

假设信源独立且服从高斯分布，结合文献［4，10］给出单载波FTN调制的非正交系统可达速率：

根据式（4），无ISI的奈奎斯特调制正交系统可达速率［］为

为了在绝对带宽下比较单载波FTN和奈奎斯特系统的频谱效率，假设h（t）为滚降因子为α的根升余弦脉冲且τ≤

1/（1+α），对应的单载波FTN系统的频谱速率RFTN（α）为

对数与三角函数的积分公式为

根据式（8）将RFTN（α）可以进一步化为

对应的奈奎斯特系统速率RN（α）分别为

根据式（9）和式（10）有

可以看出，若α＞0则基于根升余弦函数脉冲的单载波FTN系统的可达速率大于奈奎斯特系统的可达速率；若α=0，则单载波FTN的可达速率等于奈奎斯特系统的可达速率。其中，α=0时，根升余弦函数即为sinc函数。

如果满足如式（12）所示奈奎斯特第一准则，则可以实现无码间干扰传输。

式中，c表示常数；Rs表示符号速率。

单载波FTN系统相比于正交系统能提高吞吐的原因是充分挖掘过剩带宽的潜能。以根升余弦函数为例，如图3所示，当互补对称点为fN=Rs/2时，系统可进行无ISI传输，对应的最大码速率Rs=2fN。

图3　根升余弦函数的过剩带宽

式中，fΔ称为过剩带宽，0≤α≤1。

满足奈奎斯特第一准则的正交传输系统的带宽WC可表示为

式中，fN=1/（2T）。

系统实际占用带宽为WC，满足奈奎斯特第一准则时实际利用带宽为fN，过剩带宽fΔ没有被充分利用。当α=1时，过剩带宽达到100%。

滚降因子与过剩带宽关系为

3　多载波FTN调制系统的频谱效率与参数选择

多载波FTN系统的子载波间隔为F，子载波数为K，子载波带宽为WB；第k个子载波的频谱为Hk（f-k F），传输功率为Pk，-（K-1）/2≤k≤（K-1）/2，如图4所示。

图4　多载波超奈奎斯特频谱示意图

因此，FTN系统的总带宽WT和总传输功率PT分别为

假设PT/WT为有限值，则FTN系统的发送信号功率谱HT（f）为

假设信源独立且服从高斯分布，并根据式（4）、式（15）～式（17），可以求出多载波FTN的频谱效率［6］为

式中，等号在h（t）为sinc函数成立，即当成型脉冲为sinc函数时，多载波FTN系统的频谱效率达到最大值。

假设信源独立且服从高斯分布，且多载波FTN系统的接收端不采用干扰删除算法。基于SINR在对k=m个子载波进行处理时，SINR（m，F）为

则根据式（17），第m个子载波相应的可达速率为

在满足式（21）的前提下，根据式（20）和相连子载波的交叠程度有：

（1）如果F≥（1+α）/T，即相邻的两个载波频谱不存在重叠，即式（19）中不存在ICI：

即与单载波FTN系统的可达速率相等。

（2）如果1/T≤F≤（1+α）/T，两个相邻的载波的频谱仅在滚降的部分存在重叠，即式（19）仅存在一项ICI，对应的多载波可达速率为

（3）若max｛（1-α）/T，（1+α）/（2T）｝≤F≤1/T，子载波的滚降部分与相邻子载波的平坦部分存在重叠，式（19）仅存在一项ICI，FTN系统的可达速率为

（4）若（1+α）/（2T）≤F≤（1-α）/T，此时α的取值范围为［0，1/3］；相邻两个子载波频谱的平坦部分存在重叠，式（19）仅存在一项ICI，则多载波的可达速率为

随着载波数K的增加，每一个载波的带宽近似为B，因此多载波FTN的频谱效率为

式中，ηFTN（α，F）表示滚降因子α为带宽为F时的频谱效率。

4　FTN调制系统的频谱效率分析

对于单载波FTN，当成型脉冲h（t）是滚降因子为α的根升余弦脉冲且符号周期T相同时，根据等式（3）、式（9）、式（10）香农限、FTN频谱效率、奈奎斯特频谱效率对比如图5所示。

图5-3种频谱效率对比

在图5中，FTN的频谱效率小于香农限，而大于奈奎斯特系统的频谱效率；当频谱效率都为8 bits/s/Hz时，FTN调制（α=0.5）与奈奎斯特系统（α=0.5）两者信噪比相差大约8 dB，FTN调制（α=1）与奈奎斯特系统（α=1）两者信噪比相差大约18 dB。可以看出，由于单载波FTN系统没有频谱重叠（多载波干扰），因此对于FTN系统，其频谱效率随着滚降因子的减小的而增大；且α越大过剩带宽越大，FTN系统与奈奎斯特系统的频谱效率的差距就越大。上述讨论的前提是时域相关因子满足τ≤1/（1+α）。若τ＞1/（1+α），则在绝对带宽内存在码间干扰，频谱效率将降低。

图6　固定SINR下，频谱效率与K　的关系

5　结　论

本文对FTN和奈奎斯特系统的频谱效率进行了分析和比较。对于单载波FTN，本文首先证明了FTN的频谱效率大于奈奎斯特系统的频谱效率，而且FTN的频谱效率随着滚降因子的减小而增大。但FTN的频谱效率仍然小于相同绝对带宽下的理想低通滤波的香农限。对于多载波FTN，推导了有子载波间干扰的多载波FTN的频谱效率公式。基于频谱效率公式和数值仿真，找到了多载波FTN对于不同滚降因子的最优子载波间隔。结果表明，即使存在子载波间干扰，基于最优子载波间隔的多载波FTN频谱效率也高于正交系统（奈奎斯特）的频谱效率。如果结合高效的编解码、干扰删除和均衡等算法可以进一步提升FTN的频谱效率。

［1］Mazo J E，Landau H.On the minimum distance problem for faster-than-Nyquist signaling［J］.IEEE Trans.on Information Theory，1988，34（6）：1420-1427.

［2］Mazo J E.Faster-than-Nyquist signaling［J］.Bell System Technical Journal，1975，54（8）：1451-1462.

［3］Eu FPT NIFSO-ICT-317669 METIS，D2.4 Proposed solutions for new radio access［EB/OL］.［2015-03-16］.http://www.metis-2020.com.

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［5］Barbieri A，Fertonani D，Colavolpe G.Time-frequency packing for linear modulations：spectral efficiency and practical detectionschemes［J］.IEEE Trans.on Communications，2009，57（10）：2951-2959.

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［12］John G P.Digital communications［M］.Columbus：McGraw-Hill Companies，2001.

Spectral efficiency and parameter optimization analysis for faster-than-Nyquist signaling

WU Zhan-ji，CHE Hui，LI Shao-ran，WANG Yu-qing
（School of Information and Communication Engineering，Beijing Uniυersity of Posts and Telecommunications，Beijing 100876，China）

Spectral efficiency of faster-than-Nyquist（FTN）and Nyquist systems are investigated.It is proved that the achievable rate of the single carrier FTN（SC-FTN）system with root raised cosine pulse is higher than the single carrier Nyquist system with the same absolute bandwidth.With the inter-carrier interference（ICI），the formula for spectral efficiency of multi-carrier FTN（MC-FTN）is given.For the same roll-off factor，the spectral efficiency of SCFTN is greater than the single carrier Nyquist.For different roll-off factors，the spectral efficiency of SC-FTN system increases as the roll-off factor decreases.Based on the spectral efficiency formulas and numerical simulation，the corresponding optimal subcarrier spacing for MC-FTNis given in this paper.Even though there is ICI，the spectral efficiency of MC-FTN with optimal subcarrier spacing exceeds the orthogonal Nyquist system.

faster-than-Nyquist（FTN）；capacity；bandwidth；spectral efficiency

TN 911.3

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.05.28

1001-506X（2016）05-1153-06

2015-03-16；

2015-11-23；网络优先出版日期：2015-12-09。

网络优先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20151209.1417.004.html

国家自然科学基金（61171101）；国家重大科技专项（2013ZX03003016）；中央高校基本科研业务费专项资金；2013年罗德与施瓦茨-北京邮电大学研究创新基金资助课题

吴湛击（1977-），男，教授，博士，主要研究方向为无线和移动通信理论与技术。

E-mail：wuzhanji@bupt.edu.cn

车慧（1986-），男，博士研究生，主要研究方向为无线和移动通信理论与技术。

E-mail：xmutch@bupt.edu.cn