太阳影子定位研究

宣子岳，杨桂元*，张素洁，张庆茹

(安徽财经大学 1.统计与应用数学学院，2.金融学院，安徽 蚌埠 233030)



太阳影子定位研究

宣子岳1，杨桂元*1，张素洁1，张庆茹2

(安徽财经大学 1.统计与应用数学学院，2.金融学院，安徽 蚌埠 233030)

针对太阳影子定位问题，使用最小二乘法、多项式联立、残差分析等方法，分别构建非线性回归、求解纬度等模型，应用MATLAB软件完成了太阳影子定位经纬度的公式推导与求解，并结合实际数据进行实践。此方法简便直观，实用性较强，可应用于破案侦查等现实案例中。

太阳影子定位；最小二乘法；残差分析；MATLAB

太阳影子定位技术在地理学、建筑学、光学等领域有着重要作用，如何准确地获取太阳影子的位置显得十分重要。用来描述太阳影子的模型通常是以地平坐标系或赤道坐标系为基础建立的，在这两种模型求解过程中需要对日地运动系统有着深刻的认识，单独采用某一种模型求解太阳影子位置十分繁琐。本文从日地运动系统中抽象出一种数学模型，结合以地平坐标系和赤道坐标系为基础的太阳影子定位模型，通过简单的演算，最终推导出影子所在经纬度的公式。

1　模型假设

为了便于解决问题，提出以下假设：(1)地球是一个表面光滑的正球体；(2)到达地球的太阳光线是一束平行的直线；(3)在算出的实验地点不实行夏令时；(4)不考虑太阳光线穿过大气层时的折射。

2　已知日期的太阳影子定位模型

2.1研究思路

已知测量日期为2015年4月18日，某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，求解直杆所在的地理位置。首先需要明确太阳赤纬、太阳时角等相关概念和公式。

(1)太阳赤纬[1]是太阳和地球中心的连线与地球赤道平面之间的夹角，又称赤纬角，其周期是年，最大为+23°26′，最小为-23°26′。太阳赤纬求解公式：

sinγ=0.397 95cos[0.985 63(n-173)]

(1)

其中n表示自每年1月1日至当天日期的天数。

(2)太阳时角：单位时间地球自转的角度w，有两种定义。一种是已知当地时间t(24小时制)，规定正午时角为0，上午为负，下午为正，

w=(t-12)×15°

(2)

另一种是当地时间未知，利用格林尼治标准时间(零时区时间)T和所在地的经度a求解。东经为正值，西经为负值，

w=15°×T+a

(3)

(3)太阳高度角[2]指某地作垂直于地心的地表切线与该地太阳光线的夹角(如图1所示)，其求解公式：

sinβ=sinγsinb+cosγcosbcosw

(4)

其中b表示纬度。

图1　高度角和方位角

(4)太阳方位角[3]就是太阳所在的方位，指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角，也可看作是竖立在地面上的直杆在阳光下的阴影与正南方的夹角(如图1所示)。太阳方位角一般是以目标物的正南方向为起始方向，以太阳光的入射方向为终止方向，按顺时针方向所测量的角度，其求解公式为

(5)

其中x，y分别表示直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标x轴和y轴对应的值，其取值范围是0～360°。

(5)影子长度：

(6)

其中h表示直杆高度。

使用最小二乘法构建非线性回归模型，曲线最低点所对应的时间即为当地正午时间，通过(3)式求解出当地经度。联立(1)～(6)式，运用MATLAB进行求解，得到当地的纬度[4]。

太阳赤纬、太阳时角、太阳方位角、太阳高度角、直杆高度等5个参数的关系如图2所示。

图2　太阳影子定位模型

2.2数据的处理

(1)影长的处理

因为所给数据的时间是北京时间，所以依照模型算法的需要，将时间转换成标准时间，就是将北京时间减去8h，并且为了方便计算，将所有时间转化为以小时为单位。根据所给影子顶点坐标的数据由勾股定理得到各个时刻的影子长度，如表1所示。

表1　已知日期的数据处理

已知一组(二维)数组，即平面上n个点(xi,yi)，(i=1,2,…,n)，寻求一个曲线函数f(xi,ξ)，使函数在最小二乘法准则下与所有数据点最为接近，曲线拟合的最好。最小二乘法可使n个点与曲线的距离i的平方和最小，即满足

(2)R2检验

将拟合出的函数，根据公式：

计算可决系数，比较拟合效果。R2越接近于1，表明拟合效果越好[6]。

根据拟合出的函数结果，求出函数f(xi,ξ)的最小值，将最小值所对应的时刻记为Tmin，此时的时间即为当地正午时所对应的标准时间。由此可得当地经度为a=15×(12-Tmin)，再加上其余已知条件，结合模型中的(1)～(6)式，带入参数即可得到当地的纬度。

2.3结果分析

(1)一天当中静态物体影子轨迹近似一个二次曲线，所以利用最小二乘法拟合出影子轨迹的二次曲线，得到标准时间与影长的二次关系式：

y=0.148 9x2-1.369 4x+3.642 2

(2)R2检验结果如图3所示。

图3　R2检验结果

由于可决系数R2值为1，说明拟合效果很好。计算出这条开口向上的抛物线的最低点所对应的标准时间为4.598 388，可得当地经度：

a=15×(12-4598 388)=111.024 18

并求得纬度为北纬15.552度。

3　日期未知的太阳影子定位模型

3.1研究思路

此时直杆影子的测量日期未知，要求根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。首先根据影子顶点坐标可以拟合出直杆当天的影子变化函数，由影长最低点求出当地经度；接着由于日期未知，所以假设一年中的365天每天都可能是当时的拍摄日期，把365天逐个带入到求解纬度的方程式中求得365个可能结果，然后进行残差分析[7]，残差最小的即为所求结果；最后利用MATLAB软件执行循环语句，求得日期。

3.2数据处理

首先，将已知数据进行处理，得到表2。

表2　日期未知的数据处理

将处理后的数据用最小二乘法的准则进行非线性拟合[8]，得到一个影长与时间的函数关系式f(T,l)，根据函数关系求出函数取最小值的点，得到最低点的标准时间，求出当地经度为a=15×(12-Tmin)。联立(1)～(6)式，带入参数即可得到当地的纬度。

由以上过程可依次算出每个日期与所对应纬度的一个n维数[n,bi](i=1,2,…,n)(0

3.3结果分析

(1)一天当中静态物体影子轨迹近似一个二次曲线，所以利用最小二乘法拟合出影子轨迹的二次曲线，得到标准时间与影长的二次关系式：

y=0.098 1x2-1.414 7x+5.720 5

(2)R2检验结果

图4　检验结果

由于可决系数R2值均为1，说明拟合效果很好。计算出这条开口向上的抛物线的最低点所对应的标准时间为7.210 499 49，可得当地经度：

a=15×(12-7.210 499 49)=71.842 507 65

4　结束语

本文提出的太阳影子定位模型抽象精简，通过简单的数学推导，建立出太阳影子定位的相关模型，并在建筑、破案侦查等诸多领域有所运用。此外，该建模方法也适合地月运动系统和其他恒星相对于地球的影子定位模型，通用性较强。模型中也存在一些误差，如求经纬度的模型中假设实验地点不实行夏令时，但在实际中，到了夏季为了节约用电，很多国家或地区会实行夏令时，即到了夏季4月中旬左右，人为将时间提前一小时，若考虑夏令时，则需将经度西调15度。

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Research on the Sun Shadow Positioning

XUAN Zi-yue1, YANG Gui-yuan1, ZHANG Su-jie1, ZHANG Qing-ru2

(1. School of Finance；2. School of Statistics and Applied Mathematics,Anhui University of Finance and Economics, Bengbu,Anhui 233030，China)

To solve the problem of suns shadow positioning, using the least square method and polynomial simultaneous, we build nonlinear regression model and the solving latitude model. With the help of MATLAB, we derive the sun's shadow latitude and longitude of the formula, obtain the solution, and combine with the actual data in practice. This method is simple and intuitive, practical, and can be applied to solve crimes in real case investigation, etc.

the sun shadow positioning；the least square method；residual analysis；matlab

2015-11-03

国家自然科学项目(11301001)和安徽财经大学科研项目(acjyzd201429)。

宣子岳，女，安徽滁州人，安徽财经大学统计与应用数学学院学生，研究方向为数学与应用数学。E-mail:2932893704@qq.com

杨桂元，男，安徽萧县人，安徽财经大学统计与应用数学学院教授，数量经济研究所所长，研究方向为数量经济学、金融工程。E-mail:yangguiyuan57@163.com

时间：2016-8-17 11:31

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160817.1131.007.html

O185.1；P128.13

A

1007-4260(2016)03-0021-04

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.03.007