基于光热频谱检测技术的非均匀材料导热系数二维重构算法

李　云，吕跃凯

（天津师范大学物理与材料科学学院，天津 300387）

基于光热频谱检测技术的非均匀材料导热系数二维重构算法

李云，吕跃凯

（天津师范大学物理与材料科学学院，天津 300387）

在材料热学参数深度剖面重构理论的基础上，建立了一种基于光热检测技术的材料参数分布重构算法，用于处理有关二维非均匀材料热学和光学参数的反问题，实现对存在损伤性裂纹或含有杂质的薄板状样品的无损检测与评价.同时，该算法也是处理三维不均匀固体材料物理参数重构的理论基础.通过模拟光热信号对算法进行数值模拟，结果表明：通过3次迭代，重构函数的形态与原始函数的形态吻合良好，这说明基于光热检测技术的反演方法在理论层面上可靠、有效，可用于处理二维板状非均匀固体样品的热学参数重构.

二维重构算法；光热频谱检测技术；非均匀材料；热传导方程；导热系数；光热频谱；反演；脉冲谱技术

光声效应自1880年被Bell发现后受条件所限并没有得到深入研究和广泛应用，直至20世纪30年代，随着光学、声学、计算机和电子学等领域科学技术的进步，光声效应研究逐渐复兴，并带动了光热检测技术的发展.近30年，光声（photo acoustic，PA）和光热（photo thermal，PT）检测技术已发展到相当成熟的水平，建立了多种检测手段［1-3］，如压电检测、热电检测、米拉基方法、光热位移技术、调制光散射技术、热透镜与热光栅技术以及红外辐射检测技术等.近年来，在固体材料的无损检测与评价领域，利用PA/PT检测技术，通过测量样品表面热信号或声信号确定材料的热传导系数、比热容系数、光吸收系数等热学和光学参数的反问题已成为研究热点.Mandolin等［4-6］引入一种数值算法，通过PA/PT调制信号实现对样品热导率的深度剖面重构，其深度非均匀性可由一个假设的函数描述.Thoen等［7-8］利用非线性最小二乘原理建立了一种反演算法，对分层均匀样品的热导率给予深度剖面重构.Walther等［9-11］采用多项式拟合方法逼近材料热导率的深度分布曲线.张淑仪等［12-15］则建立了一种脉冲频谱技术（PST）与Newton-like迭代和正则化方法相结合的算法，在没有任何先验信息的条件下，利用表面温度频谱重建热参数的深度剖面.

目前研究比较广泛且相对成熟的方法多为一维深度重构方法，适用于一维不均匀材料、层压材料和薄膜材料的分析与评价，涉及材料物理参数高维度重构理论与算法的研究非常少.对于二维或三维参数分布重构问题，由于未知量大且已知信息来源有限，导致计算量剧增，且面临重构精度和解的稳定性难以保证等诸多困难.

本研究在一维反演理论与算法［16-17］的基础上，构建一种通过检测样品表面的PT信号，对样品热导率分布进行二维重构的理论与算法.为实现此目的，主要在一维反演有关模型的基础上进行下列改进：①将调制激光束聚焦成狭窄的矩形光源；②使用适当的差分方法对二维热传导方程进行数值求解；③将PST推广至二维尺度，并与一种类似Newton迭代的反演算法和正则算法相结合，最终实现对材料热学参数的二维重构.

1　理论模型与分析

取长宽分别为2Lx和2Ly的薄板样品，并假定导热系数在薄板上的分布不均匀，但其密度和比热容的积为常数，将强度周期调制的激光束聚焦在宽为2b的线光源上形成一个狭窄的矩形光斑，薄板样品全景和剖面示意图如图1所示.

材料将吸收的光能转化为热能，并以波的形式在样品中传播.频域上的热传导方程及相应的边界条件为

式（1）中：κ（x，y）为样品二维热导率函数；h（ω）为频域表面热源函数.不同于一维热传导问题，式（1）通常没有解析解，只能用数值方法求解.因此，需要选择适当的网格和差分格式进行数值计算.

假设Td（y，ωj）（j=1，2，3，…，M）为样品表面即x=0处检测到的温度频谱信号，与表面温度T（0，y，ωj）成正比.由于通过调制频率可以控制热波的穿透深度，因此表面温度频谱Td（y，ωj）中包含样品不同层次的物理信息.建立适当的反演模型和算法可由检测信号Td（y，ω）重构样品热学参数的分布形态.为了重构热导率分布函数κ（x，y），可构造1个Newton-like迭代过程

式（2）中：κl（x，y）为热导系数第l次迭代值；Tl（x，y，ω）为相应的温度分布函数.迭代的初始解为1个根据先验信息给出的猜测解κ0（x，y）.将式（2）代入热传导方程和相关的边界条件，忽略δκl（x，y）和δTl（x，y，ω）的高阶项，可分别得到关于Tl（x，y，ω）和δTl（x，y，ω）的方程

将迭代关系式（2a）和式（2b）代入式（1）的边界条件，亦可获得Tl（x，y，ω）和δTl（x，y，ω）的边界条件.

应用格林函数理论，可由式（3）及其相应的边界条件式（4）导出第1类弗雷德霍姆积分方程

由于δTl（0，y，ω）=Tl+1（0，y，ω）-Tl（0，y，ω）= Td（y，ω）-Tl（0，y，ω）

则式（5）可近似为

由此可以看出，分布函数κl（x，y）的反问题变为求解积分方程式（6），以确定每次迭代所需的δκl（x，y）.式（6）中，可选择一组正交归一化函数｛φα（β）（x，y），α= 1，2，…，Nx，β=1，2，…，Ny｝将δκl（x，y）展开为

将式（7）代入式（6），并取调制频率为｛ωj，j=1，2，…，M｝，令网格节点数N=Nx×Ny，将式（6）离散化为一组关于bα（β）的M×N阶线性代数方程组

式（9）中：Ac为矩阵元素为ajα（β）的复系数矩阵，Dc为元素为dj的复列阵，B为元素为bα（β）的待求列阵.至此，反问题变为通过求解式（9）确定系数列阵B，这是典型的利用离散数据的线性反问题［12］.原则上可利用奇异值分解（SVD）的方法求出式（9）的解，即将式（9）的系数矩阵分解为

式（10）中：U和V均为幺正矩阵，Σ为准对角矩阵，其元素是矩阵Ac的奇异值.根据式（10）可将式（9）的解写为

但在通常情况下式（9）为病态方程组，Ac的奇异值迅速趋向于零，导致上述形式的解是发散的，微小的扰动将导致解的巨大偏差，因此必须重新考虑解的定义.本研究利用正则法将式（9）的解修正为

式（11）中：S-1=（Σ+μΣ-1）-1，其中μ为拉格朗日乘子，也称为正则参数，它对解的稳定性和求解精度具有关键作用.在迭代过程中，每一步都需要选取适当的正则参数求解式（9），依次引入误差函数作为选择正则参数μ的判据：

式（12）中：Tl（0，y，ωj，μ）为表面温度的第l次迭代值，与热导率κl（x，y）和参数μ有关.选取μ的准则是在一定范围内调节μ值，绘制误差函数ET（μ）的曲线，使误差函数取最小值的μ即为所需正则参数.选取适当的μ可以从式（11）中算出系数矩阵B，再代入式（7）算出迭代修正值δκl（x，y），进而得出热导率的迭代值κl（x，y）=κ0（x，y）+δκ0（x，y）

由初始猜测值κ0（x，y）开始反复迭代，并在每次迭代中取积分不等式

作为评估迭代精度的标准，直到满足所需精度为止.

2　数值模拟与分析

为检验上述反演模型与算法的正确性，模拟2个具有不同热导率分布的薄板样品.模拟频谱信号Td（y，ωj）可在不同调制频率下通过求解式（1）得出，调频数应大于网格的节点数.在数值模拟中，取样品单位比热容ρc=3.446×106J/（deg·m3），样品的长和宽分别为2Lx=5.0×10-3m，2Ly=1.0×10-2m，线光源长度为2b= 5.0×10-3m，调频范围为1.0 Hz～5.0 kHz.

图2和图3分别为2个样品导热系数κ（x，y）的原始分布形态和重构结果.图2（a）和图3（a）为2个样品κ（x，y）的原始分布形态，图2（b）和图3（b）分别是经过3次迭代后得到的重构分布形貌.

图2　样品1κ（x，y）的重构剖面Fig.2　Reconstructed profile of κ（x，y）of sample1

图3　样品2κ（x，y）的重构分布形态Fig.3　Reconstructed profile of κ（x，y）of sample 2

由图2和图3可以看出，迭代迅速收敛，只通过3次迭代，重构函数与原始κ（x，y）的形态吻合良好.数值模拟的结果表明，本研究所建构的反演模型和算法是可靠和有效的.此方法可用于处理二维板状非均匀固体样品的热学参数重构.

3　结论

本研究将脉冲频谱技术推广至二维情况，并与一种类似牛顿迭代的方法及正则方法相结合，建构了基于PT检测技术的二维热传导的反演模型及算法.通过数值模拟证实，该算法具有较高的重构精度和全局收敛的优点.此方法除可用于板状样品热传导率分布参数的重建，也可用于其他热学或光学参数的重构，对于反问题的研究与应用具有一定意义.

但该算法具有一定的局限性，如计程较长，重构的精度仍有改善空间.因此还可采取一些方法加以改进，如采取并行计算以及在二维情况下采用稀疏矩阵进行优化处理.这些问题的解决对于将模型和算法推广到三维反演问题至关重要.

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（责任编校亢原彬）（责任编校马新光）

Two-dimensional reconstruction of thermal conductivity of inhomogeneous materials based on photothermal technique

LI Yun，LYU Yuekai
（College of Physics and Materials Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387）

Developed from the reconstruction theory of thermal conductivity depth profiles，a reconstruction theory of material parameters of the distribution based on photothermal detection technique was presented，which used to deal with twodimensional inhomogeneous materials about thermal or optical parameter inverse problem，and made the nondestructive testing and evaluation for a sample with damage existence of crack or inclusion structures came true.Meanwhile，this method was the theoretical basis to reconstructing physical parameters of three-dimensional inhomogeneous solid state materials.The numerical experiments on simulated photothermal signals show that the form of reconstruct function and original function are in good agreement，which illustrating that the reconstruction is reliable and effective on the level of theory，and can be used to refactoring the thermal parameters of two-dimensional inhomogeneous plate materials.

two dimensional reconstruction；photothermal technique；inhomogeneous materials；heat transfer equation；thermal conductivity；photothermal signals；inverse problem；pulse spectrum technique

O411.3

A

1671-1114（2016）02-0023-05

2015-11-13

李云（1989—），女，硕士研究生.

吕跃凯（1958—），男，教授，主要从事数学物理反问题等方面的研究.