分数阶光滑函数三次插值公式余项估计

樊　梦，王同科

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

分数阶光滑函数三次插值公式余项估计

樊梦，王同科

（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）

利用局部分数阶Taylor公式，导出了分数阶光滑函数等距节点三次Lagrange插值公式余项的精确估计式，并通过数值算例验证了理论分析的正确性

局部分数阶导数；分数阶Taylor公式；三次插值；余项估计；收敛阶

1　引言及预备知识

插值法［1-2］是利用函数f（x）在某区间中若干点的函数值，构造适当的特定函数，在这些点上取已知值，在其他点上用这些特定函数的值作为f（x）近似值的方法.设f（x）在某区间上有定义，xi，i=0，1，…，n为该区间上互不相同的n+1个点，多项式插值就是求一个不超过n次的多项式pn（x），使得pn（xi）=f（xi），i=0，1，…，n.pn（x）的Lagrange表示形式为pn（x）=其中插值基函数

当f（x）∈C［a，b］时，pn（x）的差商型余项为

许多学者对不同的插值问题做了深入研究.文献［3］研究了连续函数非等距节点线性插值的误差估计.文献［4］总结了一些插值的收敛性问题.文献［5］给出了分段光滑函数的误差估计式.虽然差商型余项对函数的光滑性要求很弱，但其无法给出插值余项的精确刻画.文献［6］对于分数阶光滑函数的线性和二次插值函数，给出了插值余项的精确刻画，其中使用的主要工具是局部分数阶导数［7-11］.本研究在分数阶光滑函数二次插值公式余项估计的基础上，给出了三次插值公式的余项表达式，并通过一些具体实例，借助Mathematica［12］程序验证余项估计式的正确性.

定义1［8-9］（KG局部分数阶导数）设f（x）∈Ck［a，b］，给定x0∈［a，b］，若存在k＜α＜k+1，使得极限存在且有限，则称f（x）在x=x0处的局部α阶右（+）或左（-）导数存在.进一步，若式（1）的极限存在且为非零有限值，则称此时的α为临界阶.

注式（1）右端按Riemann-Liouville定义理解.

引理1［13］设f（x）∈C［a，b］，给定x0∈［a，b］，若存在，其中k＜α0＜k+1为临界阶，则

定义2［6，9］对于式（2）给出的余项若存在α1＞α0，使得

则定义f（x）在x=x0的α1阶分数阶导数为

由式（3）可得

引理2［6］设f（x）∈Ck［a，b］且在x=x0处存在k＜α0＜α1＜…＜αn阶局部分数阶导数，则f（x）的分数阶Taylor公式为

引理3［6］（二次插值公式余项估计）设函数f（x）∈C［x0，x2］，且f（x）在x0点局部α0（0＜α0＜3非整数）阶可导，在其他点充分光滑，则经过节点（x0，f（x0））、（x1，f（x1））和（x2，f（x2））的二次插值余项主项在0＜ α0＜1、1＜α0＜2和2＜α0＜3时分别如下式所示.

2　分数阶光滑函数三次插值公式余项估计

给定函数f（x）∈C［x0，x3］，设f（x）在x0点局部α0（0＜α0＜4非整数）阶可导，在区间［x0，x3］上其他点充分光滑.在区间（x0，x3）内插入节点x1和x2，为使以下推导简便，假定节点分布是等距的，并记h=xi-xi-1，i=1，2，3.经过节点（xi，f（xi）），i=0，1，2，3的三次插值函数及差商型余项分别为

为方便，仅考虑插值余项主项，即在f（x）关于x0的分数阶Taylor公式中，简单假定

由差商性质得

式（12）、式（14）、式（16）和式（18）分别给出了α0取不同值时三次插值函数的余项估计，对其进行综合，可得到三次插值函数余项的完整估计.

设f（x）在x0的分数阶Taylor展开式为

其中r（x）在［x0，x3］上四阶可导.由以上讨论，可得如下定理.

定理设函数f（x）∈C［x0，x3］，且在x0点的分数阶Taylor展开式为式（19），而f（x）在区间［x0，x3］上其他点充分光滑.在区间（x0，x3）内插入等距节点x1和x2，并记h=xi-xi-1，i=1，2，3，则经过节点（xi，f（xi）），i=0，1，2，3的三次插值余项为

以上讨论均假定函数f（x）在插值区间左端点存在分数阶导数，若f（x）在插值区间右端点存在分数阶导数，则使用左导数分数阶Taylor公式可得同样结果.

3　数值算例

下面通过几个具体函数来说明分数阶光滑函数三次插值余项主项估计的正确性.

例1求函数f（x）=x1/3arcsin x在区间［0，1/2］、［0，1/6］、［0，1/18］、［0，1/54］及［1/2，1］、［5/6，1］、［17/18，1］、［53/54，1］上的三次插值最大误差.

首先考虑f（x）在［0，1/2］、［0，1/6］、［0，1/18］、［0，1/54］上的三次插值最大误差.将这些区间都剖分为3等份，即h依次为1/6、1/18、1/54、1/162，分别构造不同区间上的三次插值函数，在每个区间上求最大绝对插值误差，记为结果见表1.

表1　例1中函数在x=0点附近三次插值的最大绝对误差及数值收敛阶Tab.1　Maximum absolute errors and numerical convergence orders of cubic interpolation near x=0 in example 1

表1中数值收敛阶oh=log3（εh/εh/3）.由表1知，当步长h减少时，插值最大误差缓慢减少.由f（x）在x=0点的分数阶Taylor展开式

可知f（x）在x=0点仅4/3阶可导，与表1中的数值收敛阶非常接近，说明理论分析完全正确.

再求函数f（x）=x1/3arcsin x在区间［1/2，1］、［5/6，1］、［17/18，1］、［53/54，1］上的三次插值最大误差.将这些区间都剖分为3等份，即h依次为1/6、1/18、1/54、1/162，分别构造不同区间上的三次插值函数，在每个区间上求最大绝对插值误差，结果见表2.

表2　例1中函数在x=1点附近三次插值的最大绝对误差及数值收敛阶Tab.2　Maximum absolute errors and numerical convergence orders of cubic interpolation near x=1 in example 1

将f（x）在x=1处进行分数阶Taylor展开，得

由表2知数值收敛阶与理论收敛阶1/2非常接近.

例2f（x）=x2/7（x3-x2-x+1）3/4arcsin（1-x），该函数在x=1处分数阶可导，插值区间及最大绝对误差见表3.

表3　例2中函数三次插值的最大绝对误差及数值收敛阶Tab.3　Maximum absolute errors and numerical convergence orders of cubic interpolation in example 2

将f（x）在x=1处进行分数阶Taylor展开，得

由表3知数值收敛阶与理论收敛阶5/2非常接近.

例3f（x）=exp（（1-x）1/3）（x3-x2-x+1）3/4· arcsin2（1-x），该函数在x=1处分数阶可导，插值区间及最大绝对误差见表4.

表4　例3中函数三次插值的最大绝对误差及数值收敛阶Tab.4　Maximum absolute errors and numerical convergence orders of cubic interpolation in example 3

将f（x）在x=1处进行分数阶Taylor展开，得

由表4知数值收敛阶与理论收敛阶7/2比较接近，但与前2个例子相比误差较大，主要原因在于f（x）在x= 1处的分数阶Taylor公式的前3项临界阶分别为7/2、23/6、25/6，它们比较接近，相互影响，导致数值收敛阶计算误差较大.

例1～例3表明函数的光滑性与插值收敛速度密切相关，函数的光滑性越低，则收敛阶越小，插值收敛速度越慢.这些例子也验证了本研究得到的余项估计式完全正确.

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（责任编校马新光）

Remainder estimation of cubic Lagrange interpolation for fractional smooth functions

FAN Meng，WANG Tongke
（College of Mathematical Science，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

The sharp remainder estimation of cubic Lagrange interpolation with equidistant nodes is derived for fractional smooth functions based on local fractional Taylor's formula.Numerical examples verify the correctness of the theoretical analysis.

local fractional derivative；fractional Taylor's formula；cubic interpolation；remainder estimation；convergence order

O241.3

A

1671-1114（2016）02-0001-05

2015-05-07

国家自然科学基金资助项目（11471166）.

樊梦（1990—），女，硕士研究生．

王同科（1965—），男，教授，主要从事微分方程数值解方面的研究．