深悟概念要素，研获思考方法

【摘要】数学课堂教学应当从培养学生发现问题、提出问题、研究问题和解决问题的角度出发开展教学活动，着力培养学生的思考问题的能力，提升学生的学科素养.以“图形的旋转”课堂教学为例，我们不妨从感悟生活明确目标直观辨别激活经验、操作观察抽象比较确认要素生成概念、研究要素升华经验灵动生成完善体系和作图运用类比联想强化本质提升能力等四个方面进行课堂教学的深入思考，深悟概念要素，研获思考方法.

【关键词】概念要素；旋转中心；旋转方向；旋转角度

“图形的旋转”被多个省市作为初中数学优质课评比课题，并不是因为学习的内容多的缘故，更重要的原因是本节课是一节典型的数学概念生成和概念性质探索课.教师怎样引导学生抽象出旋转的概念？如何从概念出发引导学生得出旋转的性质？教师如何把看似分离的东西联系起来，如何把较多的内容进行恰当的取舍，如何引导学生学会数学地思考？如何就教学内容通过创设情境、设计问题进行有效的学习引领，使得学习过程顺乎自然.

下面借助于初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动关于“图形的旋转”（苏科版）的教学片段进行分析，阐明“深悟概念要素，研获思考方法”的道理，以此昭示同仁，引发思考.

1感悟生活明确目标，直观辨别激活经验

教学片段1

师：同学们，前面我们学习过哪些图形的变换方式呢？图1生：平移和翻折.

师：请同学们欣赏一组图片（图1），你能根据图形的运动方式给它们归归类吗？

生：①，④，⑨（平移）；②，⑤，⑦（翻折）

师：剩下的这些属于哪一类变换方式呢？

生：旋转.

师：非常好，今天我们就来认真地研究一下《图形的旋转》.【板书】

师：请大家回顾一下，我们当初是怎样研究平移和翻折的呢？我们可以从哪些方面去思考？

生：……

分析与思考课本直接给出几个旋转图形，让学生说说旋转现象，这样的安排指向性太直接，没有比照对象参考，也不利于学生感悟对象的本质，领悟概念的要素.教者怎么处理好呢？首先考虑到了学生原有的知识基础，从学生的最近发展区开始新知识的学习，让学生回顾已经学过两种图形的全等变换：平移和翻折.由于七年级学生更喜欢直观事物的刺激，教者可以将混有平移、翻折和旋转的平面图形让学生鉴赏，让学生充分感受旋转的平面图形与平移、翻折的平面图形的不同，同时进一步引导学生回忆研究平移和翻折是怎么进行的，这样就激活了学生原有的学习经验，自然引出了对应点、对应线段、对应角、对应图形等数学概念，让学生领会研究点、线、面问题都可以归结到研究点的问题、研究几何图形立足研究图形的位置和大小的数学研究问题的方法，在动与不动、变与不变中洞察事物的本质特征.下面的学习过程就成了感悟概念要素，类比生成概念、类比研究性质了.后续研究问题的目标和方向明确了，学生思维的匣子打开了，这就为后续的深入学习打下了良好的伏笔.

2操作观察抽象比较，确认要素生成概念

教学片段2

师：什么叫做图形的旋转呢？请同学们用数学眼光看一下图形的旋转.

师：如图2，它们有什么共同点？哪些不同点？

生：共同点：都围绕一个点在转动.不同点是左图是顺时针，右图是逆时针.

图2师：如图3，它们有什么共同点？哪些不同点？不同点是左图旋转幅度大，右图旋转幅度小.

生：共同点：都围绕一个点在逆时针转动.

图3师：你能根据刚才的比较说出旋转的定义吗？

生1、生2等几名同学先后描述，逐步完善……

师生归纳定义：在平面内，将一个图形绕一个定点（按某个方向）转动一定的角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个定点叫旋转中心【板书】，这个方向叫旋转方向【板书】，旋转的角度称为旋转角【板书】.

师：旋转中心、旋转方向和旋转角就是旋转的三个要素.

……

分析与思考许多参加优质课评比的老师对旋转概念形成处理非常草率，上述教学片段处理也不深刻.

事实上，教学中可以让学生可以从混有平移、翻折和旋转的平面图形欣赏中，找出与平移、翻折的平面图形不同的图形，由学生说出“旋转”一词而非教师的给予，自然过渡到寻找不动点、寻求旋转特征的任务上来.学生能够充分体验了从现实生活中感悟数学、由欣赏平面图形抽象出数学模型的数学化过程.根据研究一般事物的特征总是从研究特殊案例开始的规律，引出课本P74页操作实验1、2，操作实验1、2中不动的点一个在直角顶点处，一个在三角形外，不动点还可以在什么地方呢？教师的点拨，会让学生想到不动点还可以在三角形的其它顶点处、在边上、在形内或在形外，我们只是以两个特殊对象来研究，在三角形的旋转过程中感受旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.当然在旋转概念未给出前并不一定要准确说出这些概念词语，教者不妨引导学生尝试给旋转下定义，在教者的引导下不断充实定义的内涵，最后抽象出旋转的定义.

对于旋转概念的理解，教者应当引导学生关注三点：

1.定义可以更加严谨.苏科版教材的定义中：“旋转的角度称为旋转角”，我们可以将其改为“转动的角称为旋转角”，况且让学生进行这样的改正，也有利于培养学生不迷信课本、不迷信权威的良好个性品质.

2.要素可以包含三个.苏科版教材认为旋转包含二个要素：旋转中心、旋转角度.可能是考虑到高中阶段角的概念本身就包含方向的缘故.人教版、华师版教材都认可旋转包含三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.

3.反例有助理解概念.对旋转概念的理解，不妨编制一些旋转中心发生变化或是旋转半径发生变化的反例，也可以通过旋转方向、旋转角度的变化让学生感受到旋转的效果不同.

3研究要素升华经验，灵动生成完善体系

教学片段3

师：我们已经初步掌握了旋转的相关概念，下面我们就一起来探究一下旋转过程中还有哪些相等的元素.刚才我们已经从整体上看，旋转前后的图形是全等的.我们再从局部研究，旋转过程中还有没有一些相等的线段呢？

师：同学们想一想：图形平移和翻折时，变的是什么，不变的是什么？

生：位置在变，形状、大小不变.

师：那么图形旋转前后呢？

生：和平移、翻折一样，位置在变，形状、大小不变.

师：那也就是说，旋转前后的图形是全等的.【板书】

师：全等图形又有哪些性质呢？

生：对应线段、对应角相等.【板书】

图4旋转的性质：线.

问题1：如图4，将△ABC绕点O顺时针方向旋转.图中除对应线段相等外，还有那些相等的线段？

师：让我们一起来看看旋转过程的动画，边看边观察.（演示旋转动画）

生：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′.

师：这可能只是我们观察中的一个猜想，还不能成为结论.那我们还要做什么呢？

生：验证！

师：那就请同学们打开书到74页测量图32中OA、OA′；OB、OB′；OC、OC′.

一会儿之后……

师：它们相等吗？

生：相等.

师：好，通过验证，我们猜想的结论是正确的，你能用一句话概括我们发现的结论吗？

生：每对对应点到旋转中心的距离相等【板书】

师：旋转过程中还有没有一些相等的角呢？（继续播放旋转动画）

图5旋转的性质：角.

问题2：如图5，将△ABC绕点O顺时针方向旋转.图中除了对应角相等外，还有那些相等的角？

生：（可能答出其他的一些角相等）

师：图中的∠AOA′、∠BOB′、∠COC′是什么角？相等吗？

生：相等.

师：这仍然是一个猜想，还要干什么？

生：验证！

师：打开书P74用量角器量一量，看是否相等？

生：相等

师：你能概括成一句话吗？

生：旋转角彼此相等.

师板书：每对对应点到旋转中心连线的夹角相等.

分析与思考课本上旋转的性质是紧接着旋转的概念给出的，没有分析的过程，作为教者应该怎样处理更好？

类比平移性质归纳的思维规律，可以考虑分别从整体、局部和点进行比较，即考虑旋转前后两个图形的全部、对应线段、对应点.我们知道图形的全部和对应线段都是由点构成的，研究图形的全部和对应线段问题可以化归为研究对应点的问题，让学生通过“连”（连结对应点到旋转中心的线段）、“量”（量对应点到旋转中心的连线的夹角、量对应点到旋转中心的距离）和“比”（比较确认），从而得出课本上给出旋转的性质.在实际教学过程中，教者给学生上述的引导，学生必然会从系统角度思考问题，甚至课堂上提出探讨对应线段性质问题.

即便如此，我们仍然有一个感觉：学生是在教师的“引导”之下思考问题，而不是学生自己发现问题，提出问题，然后再研究问题.学生做到了“知其然”和“知其所以然”，但没有做到“何由以知其所以然”.教者不妨引导学生关注旋转要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，通过对旋转要素的思考，让学生自己发现要研究的问题：对应点、对应线段、对应角、对应图形，其实学生通过类比研究平移和翻折也可以自己感悟到，对于对应线段、对应角、对应图形的性质学生能够很快发现并归纳，但怎样研究对应点的性质，可以让学生多动脑筋，开展小组讨论学习，确定研究的方法、思考的方法，通过交流、互相启发等方式发现结论，归纳性质，个人认为这样更有利于提升学生的学科素养.对于旋转性质的探讨和研究不应该是教师的“引导”之下思考问题，教师的“引导”之下思考问题从某种意义上说剥夺了学生思考的权利，实现的不是高品味真意义的教学.

4作图运用类比联想，强化本质提升能力

教学片段4

师：我们已经分别从形、线、角三个方面发现了旋转过程中一些相等的线段、相等的角，这些就是旋转的的性质【板书】.我想这时候同学们都迫不及待地想利用旋转知识设计一些漂亮的图案，下面我们一起来研究如何画出一个图形旋转后的图形？我们先从最基本的图形“点”开始研究.

问题3：（“点”的旋转）已知点A和点O，请画出点A绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形.

师：请同学们和老师一起来画.（师生共同完成，学生说，教师示范画）

【如果学生说不出来，教师可给出画好的图形，让学生说能得到哪些结论.我们自己画图时应该也要得到这2个结论，也就是说，我们可以用这两个结论指导我们画图.】

师：我们画好后的图形中也要能得到这些结论，所以我们应该用这两个结论来指导我们画图.

师：你能说出点旋转的步骤吗？

生：一连线，二画角，三截取.

问题4：（“线”绕点转）我们在原图中再增加一个点B，连接AB，得到一条线段AB，你能画出线段AB绕点O顺时针旋转90°后的图形吗？请同学们试一试.

一名同学在黑板上操作，其余同学在练习本上操作.一会儿之后，请板演的同学说作图的步骤.（学生到黑板前解说）

师：为什么你只要作出线段两个端点的对应点就可以了呢？

生：旋转后的线段是由两个点确定的.

师：大家能否告诉我，线段旋转和点旋转的关系？

生：线的旋转可以转化为点的旋转.

问题5：（“形”绕点转）如果我们在原图中再增加一个点C，连接AB、BC，得到一个△ABC，你能画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形吗？请同学们再试一试.

一会儿之后，实物展台展示学生的作品，并让操作学生说出步骤.

师：那为什么只要作出三角形三个顶点的对应点就行了呢？

生：旋转后的三角形就是由三个顶点的对应点确定的.

师：你能否告诉大家，三角形旋转和点旋转的关系？

生：三角形旋转可以转化为点的旋转.

师：那将四边形旋转呢？

生：作四边形各顶点的对应点.

师：反思：如何作图？

师：我们一起回顾一下刚才的操作，对于任何一个图形，作出将它旋转后的图形的思路是什么？

生：形旋转转化成点旋转.【板书】

师：这就是数学中的转化思想.

师：到底作什么样点的对应点呢？关键是找哪些点呢？

生：关键在于作确定图形点的对应点.【板书】

分析与思考上述教者做法一方面紧紧抓住概念、抓住性质，通过确定旋转中心、旋转方向、旋转角度和对应点的旋转半径实施作图，另一方面仍然从点、线、面的系统角度思考，分别设计一个作一个点、一条线段、一个三角形绕一个固定点旋转的问题，这样的做法体现了一个数学问题由简到繁、由易到难的上升过程.不过，对为什么这么做的追问不够，不少同学并不明白为什么这么做的道理，没有让学生反复体验作图依据：每对对应点到旋转中心的距离相等，每对对应点到旋转中心连线的夹角相等.

笔者觉得教学可以作这样的改进，直接给出作一个三角形绕形外一个固定点旋转后的三角形问题.然后让学生讨论如何解决问题，让学生自己发现解决问题先从找对应点开始，明确研究解决问题的方法，依然是学生自己发现问题，明确方向，开展研究，解决问题.

一些参赛选手，还喜欢补充这样一个作图题：已知一条线段和它绕一点旋转后的线段，请你确定旋转中心.这样的问题对于刚接触旋转作图的学生们来说是比较难的，在本节课学习内容很多的情况可以不涉足，以免冲淡前面的学习内容，应该重点掌握的学得不透，新的问题又不能深入探讨.即使补充内容，多数老师也处理得不到位，停留在解决问题的层面上.解决问题的关键是让学生联想到旋转中心到对应点的连线段（旋转半径）相等，从而判断旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上，作两对对应点的连线段的垂直平分线得到交点即旋转中心.如何拓展运用呢？其实只要追问两个问题，一是给出一对对应点能不能确定旋转中心？给出旋转前后的两个三角形能不能确定旋转中心？通过对前一个问题的否定和后一个问题的肯定，学生便掌握了对这一类问题的思考方法，正所谓触类旁通.

数学教学的本质是数学思想的教学，教者只有站得高，才能望得远，教者只有深悟，才能深教.数学课堂教学应当从培养学生发现问题、提出问题、研究问题和解决问题的角度出发，着力培养学生的思考问题的能力.这样的数学课才会上得大气，学生获得的不仅是数学知识、数学技巧，而是学科素养和核心能力.

作者简介任宏章，男，1966年生，江苏兴化人，中学高级教师，省特级教师.主要从事初中数学课堂教学研究和初中学生数学学习行为方式的研究.江苏省中数会会员，国家数学奥林匹克一级教练，泰州市名教师、泰州学科带头人.多篇论文在中学数学参考等省级以上刊物发表，主持或参加过六项省级以上课题的研究工作.