螺旋升降机丝杠螺母副自激振动分析*

李　梅，杨　平，何　波，赵春娟

(电子科技大学 机械电子工程学院，成都　611731)



螺旋升降机丝杠螺母副自激振动分析*

李梅，杨平，何波，赵春娟

(电子科技大学 机械电子工程学院，成都611731)

利用Gallina二自由度模型对螺旋升降机在下降过程中发出的异响声和振动进行研究。指出由于螺旋升降机的惯性矩阵是非对称矩阵，所以垂向平动和绕铅垂轴转动存在非对称的耦合现象。同时，研究表明惯性矩阵的非对称性是造成系统自激振动的主要原因，并得出了螺旋升降机动力学稳定性的判定依据。结合某螺旋升降机的参数，利用MathCAD分别得到了摩擦系数、丝杠中径和轴向载荷对系统稳定性影响的曲线，并提出了避免螺旋升降机自激振动的措施。

螺旋升降机；丝杠螺母副；自激振动

0　引言

螺旋升降机作为一种基础起重部件，具有结构紧凑、体积小、重量轻、安装方便、可靠性高和使用寿命长等许多优点，常用于相错轴间相错角为900的传动[1]。在实际工程应用中，螺旋升降机自激振动的例子有很多，但是其动力学特性的研究还一直比较欠缺。自激振动不仅噪音大，还会降低机构工作的可靠性以及损坏机构[2-3]。

某小型毫米波雷达天线升降平台在调试时发现螺旋升降机在下降的过程中发出异响声和强烈的振动。本文采用Gallina二自由度模型对螺旋升降机在下降过程中发出的异响声和振动进行研究。

1　螺旋升降机的运动方程

目前分析丝杠螺母副动力学稳定性较成熟的模型主要是Gallina二自由度模型[4]，如图1所示。A是沿垂直方向运动的梯形丝杠，B是绕铅垂轴旋转的螺母，C是固定在丝杠上的平台(用于搭载雷达天线及相关仪器)。

图1　Gallina二自由度模型

根据图1建立螺母的运动方程：

(1)

式中，m1—螺母的等效质量；

J—螺母的等效转动惯量；

u—弹性位移；

φ—扭转角；

kg—扭转刚度；

kφ—轴向刚度；

P—轴向推力；

T—驱动力矩。

将螺母等效为空心圆柱体，根据材料力学[5]可得：

(2)

式中，E—弹性模量；

G—剪切模量；

A—截面面积；

Ip—极惯性矩。

考虑螺母的扭转角φ和弹性位移u，丝杠转角为φf时产生的轴向位移uf为：

uf=φfrtanδ-φrtanδ+u

(3)

式中，δ=arctan(p/2πr)；

p—螺距；

r—丝杠的中径。

研究轴向推力P和驱动力矩T的关系：

图2　丝杠螺母副接触力图

如图2所示，在梯形丝杠螺母副中，用单位矢量i和j来定义斜平面，该斜平面是螺纹中径r处的一部分，螺母作用于丝杠的力如图中粗线所示。Fns表示单位矢量s垂直于丝杠螺母接触表面时的力值为Fn。fsgnωrelFnj表示摩擦力， j为丝杠的运动方向[2]。

式中，δ—螺旋升角；

ψn—法向齿形角。

(4)

螺母作用于丝杠的力为：

Fw=Fns+fsgnωrelFnj=

(5)

Fω第一个分量产生螺母作用于丝杠的力矩为：

(6)

Fω第三个分量产生螺母作用于丝杠的垂直力为：

P=-Fn(sx,-fsgnωrelsinδ)

(7)

由式(6)、(7)可得：

T=PrΛ

(8)

f为螺纹处丝杠与螺母相对滑动速度的函数：

(9)

将(9)式简化为：

(10)

式中，fr—摩擦系数。

当丝杠向上运动时：

(11)

当丝杠向下运动时：

(12)

由于文献[5-6]证明了螺旋升降机只有在下降时才会发出异响声和振动，故只分析丝杠下降时的运动情况。

假设丝杠的速度为定值，由丝杠的垂直运动方程得到：

(13)

式中，m2—丝杠的质量；

m3—搭载仪器总质量；

P—螺母作用于丝杠的轴向推力。

对方程(3)求导，可得：

(14)

把式(8)、式(13)和式(14)代入方程(1)，可以得到向量矩阵型运动方程为：

(15)

式中，

方程(15)即为研究螺旋升降机自激振动的数学模型。

2　稳定性判定

由方程(15)可知，螺旋升降机丝杠螺母副的惯性矩阵是非对称矩阵，所以垂向平动和绕铅垂轴转动存在非对称的惯性耦合现象，这将影响系统运动的稳定性[7]。也就是说，惯性矩阵的非对称性是造成系统自激振动的主要原因。

由方程(15)可以得到系统的特征方程：

(16)

展开上式，可以得到方程式：

Aλ4+Bλ2+C=0

(17)

式中，A=J(m1+m2+m3)+Λdr2tanδm1(m2+m3)

B=kg[J+Λd(m2+m3)r2tanδ]+kφ(m1+m2+m3)

C=kφkg

系统具有稳定性的充要条件即为方程(17)有根，根据韦达定理有：

(18)

当方程(18)不能同时满足时，螺旋升降机动力学特性不稳定，发出异响声和强烈的振动。

3　自激振动的影响参数

以某螺旋升降机为例，其参数为：丝杠的密度ρ=7700kg/m3，长度l=1.5m，牙型角ψn=150，螺距p=8×10-3m，螺母质量m1=0.268kg，螺母的弹性模量E=1.1×1011N/m2，剪切模量G=3.9×1010N/m2。

当螺旋升降机空载时，即m3=0kg，取丝杠中径r=11×10-3m，研究摩擦系数[9-11]对系统稳定性的影响。把B2-4AC的值作为以摩擦系数fr为变量的函数，用MathCAD[8]计算的曲线如图3所示。

从图中可以看出，随着摩擦系数fr的增大，B2-4AC的值逐渐减小。当fr较小时，B2-4AC﹥0，系统稳定；随着fr的增大，B2-4AC﹤0，系统发出异响声和振动。因此，可以通过保证良好的润滑来避免系统自激振动。

图3　摩擦系数对系统稳定性的影响

当螺旋升降机空载时，即m3=0kg，取摩擦系数fr=0.3，研究丝杠中径[9-11]对系统稳定性的影响。把B2-4AC的值作为以丝杠中径r为变量的函数，用MathCAD[8]计算的曲线如图4所示。

从图中可以看出，随着丝杠半径r的增大，B2-4AC的值增大。当r较小时，B2-4AC﹤0，系统发出异响声和振动；随着r的增大，B2-4AC﹥0，系统稳定。因此，丝杠中径是保证系统稳定性的重要参数。

图4　丝杠中径对系统稳定性的影响

取丝杠中径r=11×10-3m，摩擦系数fr=0.1，研究轴向载荷[9-11]对系统稳定性的影响。把B2-4AC的值作为以搭载仪器总质量m3为变量的函数，用MathCAD[8]计算的曲线如图5所示。

从图中可以看出，随着搭载仪器总质量m3的增大，B2-4AC的值也在增大。当m3较小时，B2-4AC﹤0，系统发出异响声和振动；随着m3的增大，B2-4AC﹥0，系统稳定。因此，可以通过改变搭载仪器总质量来保证系统正常工作。

图5　轴向载荷对系统稳定性的影响

4　结束语

本文利用Gallina二自由度模型对螺旋升降机在下降过程中发出的异响声和振动进行研究。指出丝杠螺母副惯性矩阵的非对称性是造成系统自激振动的主要原因。此外，分别研究了摩擦系数、丝杠中径和轴向载荷对系统稳定性的影响，并提出了避免螺旋升降机自激振动的相关措施。

[1] 陈庆为，黄国庆，李春，等.蜗轮丝杠升降机优化设计[J].起重运输机械，2013(6)：55-57.

[2] 张武，高启坤，杨晓苞，等.丝杠螺母副升降机构动力学稳定性分析[J].火控雷达技术，2011，40(2):76-81.

[3] 万海波.切削载荷下机床主轴的振动响应分析[J].组合机床与自动化加工技术，2014(4):22-25.

[4] Paolo Gallina. Vibration in screw jack mechanisms: experimental results [J]. Journal of Sound and Vibration, 2005, 282: 1025-1041.

[5] 刘鸿文.材料力学[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6] Polo Gallina，M Giovagnoni. Design of a screw jack mechanism to avoid self-excited vibrations [J]. Journal of Dynamic Systems Measurement and Control, 2002, 124: 147-480.

[7] 丁文镜.自激振动[M].北京：清华大学出版社，2009.

[8] 宋征，林勇，王保东，等.Mathcad7.0入门及其工程应用[M].北京：人民邮电出版社，1999.

[9] Jaeyoung Kang, Keysun Kim. Squeak noise in lead systems: self-excited vibration of continuous model [J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 328: 3587-3595.

[10] Jaeyoung Kang, Charles M Krousgrill, Farshid Sadeghi. Wave pattern motion and stick-slip limit cycle oscillation of a squealing disc [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 325: 552-564.

[11] A Akay, O Giannini, F Massi, et al. Disc brake squeal characterization through simplified test rigs [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2009, 23: 2590-2607.

(编辑赵蓉)

Self-excited Vibration Analysis of Screw-nut Auxiliary Self-excited Vibration Analysis of Screw-nut Auxiliary

LI Mei, YANG Ping, HE Bo, ZHAO Chun-juan

(School of Mechatronics Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

Research the squeak noise and vibration when screw jack mechanism goes down using Gallina two degrees of freedom model. Point out that vertical translation and rotation around the vertical axis exist asymmetric coupling phenomenon because the inertia matrix of screw jack mechanism is asymmetric matrix. Simultaneously, research show that the asymmetry of inertia matrix is the main reason causing self-excited vibration. And get the stability criteria of trapezoidal screw-nut auxiliary. Combining the parameters of screw jack mechanism and using MathCAD, get the curves of friction coefficient, screw diameter and axial load impacting on system stability. The measures of avoiding self-excited vibration are also put forward.

screw jack mechanism; screw-nut auxiliary; self-excited vibration

1001-2265(2016)04-0056-03DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.04.015

2015-06-01；

2015-07-03

国家自然科学基金项目(51405067)

李梅(1989—)，女，四川德阳人，电子科技大学硕士研究生，研究方向为数字化设计、仿真与制造，(E-mail)605437058@qq.com。

TH132；TG65

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