高中数学“问题串”教学模式的实践研究
2016-10-28张燕
张燕
[摘 要] 数学课堂教学如何事半功倍呢？如何让同类问题下的教学显得更有效、更高效呢？多种教学模式一直受到教师的研究、探讨，相对而言问题串教学模式是一种行之有效的手段.
[关键词] 数学；问题串；教学；整合性；深度；三角；函数
众所周知，数学课堂教学如何再高效一些是我们教学一直所追求的核心. 从近年来数学教学的特点来看，试题思考角度的多样性、难易程度、对知识整合能力的要求等等都有着更高的教学要求.现阶段下如何实现诸多要求的数学课堂教学呢？从陕西师大罗增儒教授对于解题的理解和观点来看：课堂教学需要加强对于数学问题本质的理解，这种本质体现在两个方面，其一是数学问题中所蕴含的数学知识，其二是对于这样的单一知识点是否具备与其他知识存在相互的整合性.既明白了事理，又能从事理背后去思考知识的发散性，这样的教学往往是高效的、事半功倍的.
中学数学问题串教学的设计与尝试需要依赖三个特性，笔者认为可以从下列视角去思考.
（1）价值性：教学是服务于学生的，尤其是数学教学这种热点往往数年更换的学科，更要在问题串教学中注重与时俱进的效应，诸如：空间几何曾经的热点二面角求解已经不再是现阶段教学的难点和重点，对于一个二面角求解中不断变换各种方法的问题串教学成为过去式，这就要求教师更新知识体系，不断与时俱进；
（2）合理性：问题串教学需要尊崇应试热点的基础上，也需要考虑学生的学情现状，这里需要教师在问题串设计的时候非常合理地设计符合学情的问题串，这既要与应试要求相结合，也要略高于学生能力的“最近发展区”，这样的设计是比较合理的；
（3）创新性：问题串教学不能一味地从各种教辅资料中进行选编，还要在这样的基础上做一些符合当下实效性研究与创新，这种创新对于教师更深入地认识数学知识的内在，以及学生对于问题串知识整合的理解将会有更进一步的提高.
整合性角度的问题串设计
数学应试中有很多知识是考查基本的数学知识，这些知识构成了学生数学学习的基本. 笔者从教学一线发现，这些知识从某一个点入手或者从另一知识点入手，对于学生碎片化、离散的教学是难以取得有效的效果的. 因此，对于注重基本性的问题而言，从知识整合性的角度、问题解决多样化的角度去设计问题串，往往容易将问题处理得非常合理和高效，笔者以一个常见的三角问题为例.
问题1：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知b2-c2=a2-ac.
（1）求B的值；
（2）若b=2，求sinA+sinC的取值范围.
解析：（1）B=.
（2）因为A+C=，所以C=-A，所以0 所以sinA+sinC=sinA+sin-A=sinA+cosA=sinA+. 因为0 当A=0或A=时，sinA+sinC=，此为最小值，所以 说明：本题是解三角形中的基本问题，对于这样的问题处理，离不开三大基础知识的支撑，即正弦定理、余弦定理、面积公式. 对于这三大基础知识的灵活转化、运用，我们可以从这些知识的角度中进行整合性的问题串设计，笔者给出一次探索尝试. 问题串1：若b=2，△ABC为锐角三角形. 求sinA+sinC的取值范围. 分析：我们知道，对任意角的问题解决往往是比较容易的，考虑到对特殊三角形的研究有更进一步的问题解决能力的提高，因此笔者将条件加强为限制在锐角三角形中进行. 如果将△ABC限制为锐角三角形，那么，此时要满足条件，则角A的取值范围应该从0，变为，，于是sinA+sinC=sinA+，此时仍将A+看成一个整体，则其取值范围是，，考虑其图象，可得sinA+sinC∈，. 问题串2：若b=2，求ac的最大值. 分析：改变问题的求解，研究ac乘积的最大值，笔者将问题巧妙地转换为边长间关系的求解，此时也可以运用问题串1中利用角A作为自变量来进行函数模型的求解，但是从余弦定理的角度思考问题，则显得更为容易. 由12=a2+c2-ac可以得到12=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时等号成立. 问题串3：若b=2，求a2+c2的最大值. 分析：我们知道，不等式在三角问题中的使用可谓比较频繁，二维平面中的四大平均数的使用，是学生比较难以掌握的一个知识点. 将其渗透到三角背景的问题串中，清晰地展示了四大平均数的关系和知识整合性的训练.利用余弦定理，有12=a2+c2-ac≥a2+c2-=，即得：a2+c2≤24，当且仅当a=c时等号成立. 问题串4：若b=2，求△ABC的面积的最大值. 分析：本题是问题串2 的进一步加强，学生思考问题往往缺乏知识间的衔接性，我们可以引导学生思考，要解决面积最大值S△ABC=acsinB=ac，只需求ac的最大值即可，因此问题串4本质依旧是问题串2，比较容易得到S△ABC≤3. 问题串5：若b=2，求三角形边b所在高的最大值. 分析：进一步对三角形进行设计，思考边b所在的高的最大值. 通过分析，不难发现S△ABC=bhb这一关系式，因此问题即转换为问题串4，进一步理解本质依旧是问题串2的求解，因此hb≤3. 不断变换问题串的设计，旨在引领学生思考问题转换的合理性，这些问题体现了知识整合角度的问题串设计，需要教师在教学中不断关注和加强. 知识深度方面的问题串设计 数学问题的研究不仅要注重广度、整合性，也要关注某一个问题的深度研究，这种具备深度的问题串设计是激发学生思考问题一般性的处理方式，也是提高教师专业化素养的途径之一.
问题2：已知函数f（x）=-x2+x，是否存在实数a，b（a 分析：引导学生发现此问题关键是考虑定义域所在的区间与对称轴的关系，结合函数图象，就可以发现分（1）a 解析：（1）当a （2）当a<1 （3）当1 考虑到命题者对于定义域和值域是四倍关系，笔者将问题改编成下列问题串，请学生进一步思考其特殊情形，从特殊情形为一般性情形做好基本的铺垫： 问题串1：已知函数f（x）=-x2+x，是否存在实数a，b（a 问题串2：已知函数f（x）=-x2+x，是否存在实数a，b（a 这两题依然是对a，b分（1）a 问题串3：函数f（x）=-x2+x，是否存在实数a，b（a 探究后发现：（1）当a 说明：本案例围绕着问题进行深度的思考，随着教师对其特殊情形的设计，进一步到一般性结论的研究，大大拓展了学生对一类问题研究的方式，但对于深度性问题串的设计需要教师在教学前有足够的思考. 从问题串设计的角度来说，还可以是一些问题广度方面的，可以是一题多解方面的，可以是多题一解方面的等等，限于篇幅，文章仅仅从教学比较基本的角度给出了案例，进行了浅显的分析和思考. 从问题串教学实践来看，笔者有了一定的经验和心得： （1）问题串设计必须尊崇学生学情的实际，必须是循序渐进的，符合学生心理认知结构和发展水平. 某一次笔者设计的问题串是从教材基本问题与高考真题的链接，学生在跨度过于大的问题串处理上显得有些不知所措； （2）问题串的设计还需要实效性，笔者发现高考真题和模拟题不断推陈出新，教师要注重最新信息的使用和编制，及时更正问题串题库的使用； （3）在问题串最后的设计上，笔者认为自身的研究还是很不足的，无论是知识深度、广度、整合性等等，笔者一直希望融入创新的问题串设计，偶有成功，但是还有很多不足，需要在后续研究和实践中继续加强.
