数学解题中高效审题策略探析

苏永强

[摘 要] 针对教学实践过程中，部分学生因缺乏认真审题、耐心分析问题的能力，使之在往下的解题中显得束手无策，最后落得半途而废或事倍功半，结合部分实例，通过对审题、解题具体过程的分析，谈谈解题教学中引导学生如何进行高效审题，进而提高学生分析、解决问题的能力.

[关键词] 审题；解题；策略；能力

学生解题出现失误的原因往往是由于他们审题不认真，未看出题目的潜在本质或题目隐含的关系造成的. 解题虽然没有固定的模式，但是审题是解题的基础，由于深入细致地审题、分析、选择解法是成功解题的前提，审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解法后的反思回顾. 正确审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向. 事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分. 这就要求我们在平时教与学的过程中，有意识地进行审题习惯和能力的培养，逐步养成分析—判断—推理—综合运用知识解决问题的能力. 然而对审题能力的培养、解题方法的训练，并非一日之功，只有我们在解题的实践过程中帮助学生不断总结科学的思维方法和合理的解题步骤.学生的解题能力才能得以不断提升.

依题意析本质，理清解题的关键

确切地了解题意，区分题目的条件和要求，并在头脑中保持清晰的印象. 这是应用知识解决问题的开端，是决不可少的一步，审题有时是简缩的，一次便可完成. 但遇到比较生疏、复杂而困难的题目时，则往往是扩展的，而且要反复与后面的环节交错地进行. 教学实际表明，学生的解题发生障碍或错误时，常常是由于审题错误而造成的. 如，有些学生不重视审题，在题意或题目结构（特别是条件与结论的关系）没有弄清之前就进行猜测或盲目尝试答题，还有的学生常常由于疏忽题目中的某些条件特别是某些隐蔽的重要条件等等，都会导致答题的错误或答题的不完整.这也是我们的学生，特别是学困生最大的问题.

例1 设P=log23，Q=log32，R=log2（log32），则P，Q，R的大小关系是____.

审题：比较大小的问题，我们在函数的教学中是做过不少的. 关键在于构造函数或寻找中间量. 此题要把握的是：logaa=1（a>0，a≠1），loga1=0. 把握了这个关键，问题就不难解决了.

抓结论巧转化，捕捉解题的方向

问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误. 因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的. 审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向.

例2 （2015·北京）已知函数f（x）=ln.

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求证：当x∈（0，1）时，f（x）>2x+；（3）设实数k使得f（x）>kx+对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.

旧知识的重现，寻找解题的切入点

解答问题必须利用已经获得的旧知识. 旧知识的重现是在感知题目的答题条件与结论的基础上，通过联想、回忆而实现的. 事实上，学生在解答问题时所重现的知识，往往并不都是必需的，有些甚至是导致错误的. 这种情况，一方面可能由于没有认真审题. 另一方面，旧知识的干扰或大脑由于过度紧张而产生抑制，也会错误. 这时候要求学生审清题目，准确重现有关的基础知识，而学生往往不是没有学过这类知识的应用. 但当过后他人或老师指点，他们便会立即领悟并做出相应准确的理解. 因此，为了帮助学生顺利地再现必需的知识去解决问题，教师必须分析情况，采取有针对性的措施. 加强知识记忆，加强练习等等.

例3 cot20°cos10°+sin10°·tan70°-2cos40°=__________？摇.

审题：本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值. 在解题时方法不要拘泥于形式，要注意灵活运用，在求三角的问题中，要注意这样的口诀“三看”，即：（1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；（2）看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；（3）看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足直接使用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用了.

抓条件挖隐含，发挥条件的解题功能

？摇任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的. 条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路. 条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能.

例4 （2014·重庆）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）ω>0，-≤φ<的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

（1）求ω和φ的值；

（2）若f=<α<，求cosα+π的值.

审题：

拿问题做类比猜想，寻找解题的方法及途径

问题的类比是指学生通过思维把握问题内容的实质，找到它与相应知识的关联，从而把当前的问题纳入已有知识的体系中去. 这样，学生就能依据已有的知识去明确问题的实质，解释同类的现象或做出解题方法的判断. 这是准确解答问题的重要一环. 教学实际表明，学生在问题的类比方面常常发生困难或错误，主要是由于不善于从问题内容中抽出与有关知识相同的因素. 问题不能类比，也就无法通过知识的具体化来解决问题.这种错误正好说明了审题过程中抓住题目条件与结论要求是实现知识类比和找到解题途径以及正确解题的必要条件. 这实际上是一个问题类比和知识的具体化，亦即知识迁移的问题.因此，有心理学家把知识的应用过程看作是知识的迁移. 据此，教师在教学过程中，应尽量帮助学生把具体的知识上升到一般的原理，然后通过“迁移”去理解各种现象，解决新的问题，以达到应用知识的最佳层次.

例5 已知如图1，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，BC′⊥A′C，BC′⊥AB′，求证：△ABC为等腰三角形.

图1

审题：此题的难点是确定△ABC的底边，这必须靠猜想. 猜想①： BC为底边，理由是BC′同时与A′C和AB′垂直；猜想②：若加上条件A′C⊥AB′，则 △ABC为正三角形；猜想③：有A′C⊥AB′时，此三棱柱可“旋转”，理由是直三棱柱，且AB′，BC′，CA′具有垂直的轮换性，直觉此三棱柱沿上、下底面的（假设的）中心连线旋转120°时“垂直”重合. 通过猜想③肯定②，从而肯定①. 由分析可知，猜想为难点找到了突破口，而且得到猜想③以及证明的途径. 只有自由的思想才会这样轻松猜想. 激活学生思维的火花时，让学生猜想吧！给学生“说”和“做”的机会.

抓结构寻特征，解题方案找突破

数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的.在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案.

例6 （2015·四川）设数列{an}（n=1，2，3，…）的前n项和Sn满足Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3成等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记数列的前n项和为Tn，求使得Tn-1<成立的n的最小值.

审题：

抓细节求完善，调整解题的方向

审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题. 例如括号内的标注、数据的取值范围、图象的特点等. 因为标注、取值范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件. 审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向. 所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性.

例7 各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，Sn=a+an（n∈N*）.

（1）求an；

（2）令bn=an，n为奇数，b，n为偶数，cn=b2n+4（n∈N*），求{cn}的前n项和Tn.

审题：

审图形抓特点，数形结合解题显身手

在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出的，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势. 抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键.

例8 如图2-1所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°. 点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O. 沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图2-2所示.

（1）求证：BD⊥平面POA；

（2）当PB取得最小值时，求四棱锥P-BDEF的体积.

审题：

从特殊到一般，轻松解题不再难

从特殊到一般也是我们常用的方法之一，在某些具有一定的规律的问题上，我们常常要用到这种方法.

例9 计算：+++…+的值.

审题：从个体来看，我们不难得到：==-，==-，==-，…，由此我们可以得到：=-，所以：原式=1-+-+-+…+-=1-=.

这样问题很快得到解决. 事实上，对这个问题，我们是从个体出发，进行实验探索的，由个体的特性，推广到一般的情形. 这也是在解题过程中常用的方法——从特殊到一般.

总之，引导学生学会审题、解题，是日常教学中最基本也是最重要的一环.而最基本的，也是我们在现实教学最容易忽视的. 正如在新课程改革中提出“淡化知识”，于是便又忽略必要的知识传授一样.而恰恰相反，只有给学生传授一定相应的知识，并引导学生掌握审题、解题的基本方法，经过反复训练，便可以形成能力，使学生的学习的兴趣获得保持和发展，达到教是为了不教的教学目的，这正是授之以“渔”的教学策略的具体化的体现.