重视知识发生过程促进学生思维发展

黄保球

[摘 要] 高中数学教学中，基于知识发生去理解数学概念的构建、知识的应用与数学探究，可以建立以思维发展为主线的数学教学思路，从而促进数学的有效教学.

[关键词] 高中数学；知识发生；概念构建；知识应用；数学探究

在课程改革进入深水期之际，高中数学教学出现了喜忧参半的景象：一方面，对课程改革的讨论不再局限于教学方式本身，肤浅的小组合作学习与数学探究等也远离了数学课堂，这无疑是课程改革的一种进步，一种由形式向实质转变的进步；另一方面，也由于课程改革的基本要领远离了教学研读的情境，使得课程改革的一些理念远离了课堂，从而使得当前的教学有向应试回潮的现象. 笔者以为要改变这一现状，关键在于教师建立自身的教学观点，在继承传统数学教学优点的同时，进一步吸纳课程改革中形成的科学有效的观念，以使得自己的教学既适应课程改革的需要，也适应学生发展尤其是数学素养提升的需要.

基于这一认识，笔者以为在高中数学教学中要高度重视数学知识的生成过程，要高度重视学生的思维发展，这样才能让有效教学的理念在高中数学这一具体的学科语境中得到巩固与发展. 本文试就此观点进行一些讨论.

重视数学概念的形成过程，促进学生概念构建能力的提升

数学概念是数学知识的基石，数学概念的教学历来为高中数学教师所重视. 与此同时也应当看到，对于数学概念的教学更多的情况下还是局限于教材的设计，因而也就缺少了从学生的角度去看待概念的生成过程，这就使得学生的原有经验与认知方式不能有效地参与数学概念的构建，从而白白流失了促进学生概念构建能力提升的机会.

笔者以为，数学概念的教学有一个重要的前提，那就是学生对建立概念所需要的材料的思辨与分析. 课程改革对高中数学概念教学的要求是，“引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程”，这意味着在数学概念构建的过程中，学生的作用不能忽视. 事实也证明，如果真正让学生参与数学概念的构建，那学生对概念的理解与掌握要深刻得多，应用也要娴熟得多.

以“数列极限”概念的教学为例，在生活中，学生对极限的理解常常有“极端”的意思，也有“极尽所能”的意思（这两种说法均来自于笔者在实际教学中的口头调查），这说明当学生用语言来描述“极限”这一概念的时候，有着强烈的前概念在发挥作用. 因此笔者在教学这一概念的时候，先给出了一个古老的说法，那就是“一尺之竿，日取其半，万世不竭”. 具有一定语言素养的学生，自然能够读懂其中的含义：一根长为一尺的竿子，假如一日截掉它的一半，那么即使是千万年后仍然无法切割完毕（这也是学生在课堂上的原话）. 这样的朴素理解，实际上是在学生的思维中建立了一个等比数列的模型，也就是说在学生的思维中已经完成一个“日取其半”的思维加工，然后用数学语言描述这一过程时，为公比的数列模型就容易形成. 在此基础上再让学生将数列的项呈现在数轴之上，学生就容易得到数列极限这个概念的特征. 而当学生发现这样的数列是无穷数列且无限接近于一个常数时，数列极限这一概念的具体形象便完全呈现出来.

分析这一概念形成的过程，笔者发现在其中讲授很少，很多数学理解都是学生自主构建出来的，而之所以有这样的效果，其实也就是笔者给予了学生相当丰富的空间，学生可以在这个空间中自由地建立数学模型，自由地思考该数列模型的特征，当这个特征在小组讨论的过程中成为大家的一种共识的时候，他们就会对自己的发现抱有相当的信心，从而让数学概念建立的基础更加牢固. 在这个过程中，学生的思维能力是如何得到发展的呢？根据笔者的观察与判断，其应当是这样的：学生在教师的问题驱动之下，开始结合给出的“一尺之竿，日取其半，万世不竭”表述构建数学模型，这个时候的数学模型还是物质性的，学生的思维当中一般都是一个“一尺之竿”，然后真的有“日取其半”的动作，这是一种形象思维的产物；然后再用抽象思维加工这个产物，于是便形成一个抽象的“1”，并日取其“”，于是抽象思维支撑下的数学模型便诞生了.在用纯粹的数列、数轴表示时，学生的抽象思维更是得到了充分的培养，这些思维过程应当说就是极限数列形成的重要支撑.

关注数学知识的应用过程，促进学生问题解决能力的提升

数学知识的应用是高中数学教学的重中之重，通常的应用往往是数学习题，当然也有一些实际问题的解决，这里最显而易见的思维就是问题解决过程中的思维. 课程改革对问题解决高度重视，对于作为一种思维形式存在的问题解决也高度重视. 但在实际教学中，问题解决常常被一线教师认为就是解决问题，因而一种思维方式很容易就成为一种解决问题甚至数学题的过程，应当说这是对问题解决的一种不恰当的理解.

教育心理学的研究结果表明，问题解决是一种重要的思维形式，也是一种能力体现.在高中数学教学过程中，问题解决有两种体现：一是对于实际问题而言，就是学生利用数学知识构建实际问题解决的模型，然后借助数学模型来完成问题的分析、解决、评估的过程；二是对于数学习题而言，是学生在面对数学习题的时候，能够准确迅速地调用相关的数学知识，去完成该习题中问题与已知之间的逻辑关系. 通常情况下，高中数学教学以后一种问题解决的思路为主，因此此处针对此类问题解决进行阐述.如下一题：

如图1，在四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.

（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长.

图1

在此问题解决的过程中，学生的思维应当能够根据题意，将该图放到空间直角坐标系中去完成，如设该空间直角坐标系为A-xyz，则可以得出P、B、C、D等各点的坐标，从而借助于向量知识来完成问题的求解. 事实上在教学中，学生感觉到最惊奇的就是开始这个思维，有学生提出，怎么就能想得到将一个纯粹的几何题放到空间直角坐标系中去呢？

学生问出这个问题，反映出在学生的思维中，还没有形成很好的数形结合的思想，而这恰恰是数学问题解决的一大关键，某种程度上也反映着学生的思维水平. 相应的是，在本题的解决过程中，教师可以之为机会，跟学生强调只要在数与形之间存在着联系，那问题的解决就可以考虑从形到数，或者从数到形，只要一方能够促进另一方的问题的解决，那这种思路就是可取的. 在实际教学中笔者还发现，学生的这种数形结合思想的缺失与日常的数学问题解决存在关系，由于此类问题相对较少，因此在学生的思维中难以形成清晰的解决思路，从而制约了学生的思维触角向数形结合延伸，这也提醒我们，日常的数学问题解决，不能囿于常规，需要发散性训练.

设计数学探究的实施过程，促进学生逻辑思维能力的提升

数学探究是课程改革中的重要概念，也是提升学生思维尤其是数学思维能力的良好方式.从当前的实际来看，数学探究往往还只是少数重要知识的教学选择，笔者以为这是符合当前实际需要的. 耗时较多的数学探究不必占据所有的数学知识的学习，而对于重要的数学规律的探究，则可以让学生的思维能力尤其是逻辑思维能力得到明显的提升. 数学探究的思想必须建立，在一些重要规律的某个环节实施探究，也是有价值的尝试.

在“平面向量的基本定理”教学中，笔者给学生提供了若干个可以分解为水平方向与竖直方向的实例，让学生去比较鉴别，结果学生发现了其中的统一性规律，然后提出了一个问题：是不是每个向量都能像这样分解. 这个问题与通常情况下提出的“平面内任一向量是否都可以用两个不共线的向量来表示”已经相当接近，这说明这样的比较过程是有效的，是促进了学生的思维发展的. 也许有人会说，这不是一个像样的数学探究啊. 从形式上来看可能确实如此，但笔者以为数学探究不一定非得是大规模的、各个环节齐全的探究，完全可以基于学生思维发展的细节性探究. 在笔者提供的实例中，学生的思维经历了分析、比较、提问、猜想等过程，已经具有了数学探究的不少特征，将其理解为数学探究，并以这种思路贯串更多的数学规律的教学，笔者以为是恰当的.