例谈将数学实验融入高等数学教学中的做法*

金正猛，郑敏玲

(1.南京邮电大学 理学院，江苏 南京 210023；2. 湖州师范学院 理学院， 浙江 湖州 313000)



例谈将数学实验融入高等数学教学中的做法*

金正猛1，郑敏玲2

(1.南京邮电大学 理学院，江苏 南京 210023；2. 湖州师范学院 理学院， 浙江 湖州 313000)

高等数学教学中融入数学实验的基本目的，是使学生在数学实验的过程中巩固所学到的数学知识，并进一步培养学生应用数学理论与方法解决实际问题的能力。本文从具体案例的角度出发，重点论述了数学实验在高等数学教学中三方面的应用及意义。

高等数学；数学实验；案例

高等数学是理工科院校非数学专业学生必修的基础理论课，其目的在于培养当今社会所需工程技术人才必须具备的基本数学素质。从工科数学的角度来分析，学生创新精神创新能力的培养主要是通过应用数学来体现，重点在于培养学生用数学的思想和方法解决实际问题的能力。在高等数学传统的教学方法中, 教学内容重理论轻应用，教学方法重演绎轻归纳，教学模式单一, 过分强调和依赖教材。这不但影响了学生学习高等数学的积极性, 尤其影响了后续课程的学习，从更长远的角度考虑不利于应用型人才的培养。基于数学实验的高等数学教学改革就是针对上述问题而提出的, 其目的是培养学生应用数学知识分析、解决实际问题的能力和运用计算机进行科学计算的能力。

数学实验作为一门课程在我国一些高校中开设已有十多年历史， 一些不同层次的学校也取得了显著的成绩。数学实验，即指从实际问题出发，建立数学模型，借助计算机，运用数学软件，让学生亲自设计和动手，体验解决问题的过程，从实验中去学习、探索和发现数学规律。高等数学教学中融入数学实验案例教学的基本目的，是使学生在数学实验的过程中巩固所学到的数学知识，并进一步培养学生应用数学理论与方法解决实际问题的能力。笔者从事理工科大学高等数学和数学实验等课程的教学多年，将从数学实验具体案列出发，谈谈高等数学教学中融入数学实验案例的几点体会与做法。本文中的案例演示均采用Matlab数学软件。

一、加深学生对抽象概念的理解，激发学生的学习兴趣

在高等数学的学习中，很重要的一点在于对概念的理解与掌握，但是有些非常重要抽象的概念，仅仅靠老师在课堂上以传统教学方式的讲解，理解起来很有难度。例如：一元函数定积分的定义。传统的教学模式无非是老师在定义中反复强调“分割—近似代替—求和—取极限”四个步骤，然后再给出定积分的定义。然而，这对刚刚接触积分学的大一学生来说是很难接受的。如果我们在教学过程中，借助于数学实验，充分利用数学软件的可视化功能，可使学生的思维形象化，可操作化，从而改变数学抽象的内容，使晦涩的数学概念变得生动而有趣。

在Matlab命令窗口中输入：

clear all; clc;

syms x;

rsums(x^2,0,1)

执行以上命令，可弹出如下的对话框：

在图1(a)中，[0,1]区间被等份分割为5个小的子区间，5个小矩形的面积之和为0.33。当分割的越来越细时(见图1(b))，我们发现所有的小矩形的面积之和越来越接近曲边梯形的面积，当然此时的近似值0.3333已很接近定积分的真实值1/3。实际上，通过向右拉动图1(b)中的小方块我们还可以得到分割得更细的小矩形，此时的近似值会更接近积分的真实值。通过以上一系列的动画演示，有助于学生理解定积分的概念及其几何意义，并激发其求知欲，提高学生学习的积极性与主动性。

二、促进学生对复杂定理的掌握，发展学生的数学实际应用能力

在高等数学的教学中，经常会遇到很多复杂的定理。例如：微分学中的泰勒中值定理(泰勒公式)。按照传统的教学方式，有的学生学完该定理后，第一感觉就是定理太复杂，公式太长，看不出该定理的任何用处；有的学生即使学生课堂上能勉强理解，但是往往掌握不了定理的精髓，势必会影响后面对该定理的运用。如果我们在教学过程中，巧妙的运用数学实验案例教学，充分利用数学软件的强大的绘图功能和动态演示效果，可促进学生对抽象定理的理解，从而发展学生的数学实际运用能力。

例2利用Matlab数学软件动态演示函数xcos(x)的泰勒展开式，讲解泰勒中值定理。

在命令窗口中输入：

clear all; clc;

taylortool

执行以上命令，可弹出如下的对话框：

我们知道，泰勒公式的精髓在于局部范围内用较简单的多项式函数(泰勒多项式)去近似代替较复杂的函数。在图2中，蓝色曲线是复杂函数xcos(x)的图形，红色曲线表示的是在x=0点展开的7次泰勒多项式的图形。不难发现，在0点附近，这两线曲线已经重合。也就是说，在x=0点的某个领域内，可以用7次的泰勒多项式函数去近似代替原来复杂的函数，误差(拉格朗日型余项)几乎为0。而且，我们发现在整个的区间[-2π,2π]范围内，两条曲线并不完全重合。通过这样的分析，学生自然就会对这种局部的近似代替有非常深刻的理解。进一步，通过调整图2中展开点a的值，泰勒多项式的最高次数N的值以及自变量的x的取值范围等相关数据，我们可以得到一系列的动态演示效果，这对学生全面深刻的理解泰勒公式会起到不可估量的作用。实际上，泰勒公式在工程近似计算问题中的应用非常广泛。只有学生在深刻理解掌握该定理的本质以后，才能在后续的实际问题应用中得心应手。

三、打破传统的数学学习方法，培养学生的创新精神和创造能力

数学实验的过程，是利用所学的数学知识，对提出的问题进行分析，并借助计算机和数学软件来尝试解决问题。在尝试的过程中发现，理解和掌握一些新的结论。这样就打破了传统的数学学习方法，有利于学生创新精神和创造能力的培养。当然，高等数学中的数学实验案例教学不宜占用过多的理论课教学时间，否则会喧宾夺主。以下是笔者在一次习题课中,借助数学软件讲解数学极限题证明的过程。

由于该题中数列具有递推的性质，在证明该题之前我们可以先编写一个简单的程序，借助计算机来探寻该数列的规律。在Matlab中输入：

clear all; clc;

f=inline('sqrt(2+x)');%先定义函数

x1=sqrt(2);

fprintf('%g,%g ',1,x1);

for i=2:1:20

x0=f(x0);

fprintf('%g, %g ',i,x1);

end

执行以上命令，输出该数列的前20项：

1,1.41421

2,1.84776

3,1.96157

4,1.99037

5,1.99759

6,1.9994

7,1.99985

8,1.99996

9,1.99999

10,2

……

20,2

将数学实验融入到高等数学的课堂教学中，符合大学数学教学改革的思路，能够帮助学生加深对抽象概念的理解，促进学生对复杂定理的运用和掌握，培养学生的创新思维和创造能力。与此同时，能够突出高等数学课程的应用价值，有利于培养学生的科学计算能力和运用数学思想方法解决实际问题的能力。当然，如何选取恰当的数学实验案例，如何在教学中适时合理地引入，还需要仔细推敲，力求做到科学化、合理化。

[1]李大潜. 将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006(1)．

[2]丁卫平，李新平. 基于数学实验的高等数学教学改革[J].高等理科教育，2007(2).

[3]李昆，赵刚.数学实验在高等数学教学中的应用[J].科技信息，2011(23).

[4]李大潜.从数学建模到问题驱动的应用数学[J].数学建模及其应用，2014,3(3).

[5]韩明.将数学实验的思想和方法融入大学数学教学[J].大学数学，2011,27(4).

[6]胡桐春.高等数学教学与数学实验[J].高等教育研究，2006,22(2).

[7]王秋亮.关于MATLAB在高等数学教学中的应用分析[J].软件导刊(教育技术)，2016(3).

[8]薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解：第3版[M]北京：清华大学出版，2013.

Some Practices of Advanced Mathematics Teaching by Incorporating Mathematical Experiments

JIN Zheng-meng1, ZHENG Min-ling2

(1.Nanjing University of Posts and Telecommunications, School of Science，Jiangsu Nanjing 210023,China;2. Huzhou University, School of Science，Zhejiang Huzhou 313000,China)

The fundamental purposes of advanced mathematics teaching by incorporating mathematical experiments are to let students fully bear the mathematical knowledge which have been learned in the process of mathematical experiment, and further to help students to obtain the ability of solving actual problems by applying mathematics theory and method. This paper from the perspective of specific cases will mainly discuss three applications and significances of mathematical experiments in the teaching process of advanced mathematics.

Advanced Mathematics; Mathematical Experiments; Practices

2015-10-12

南京邮电大学教学研究项目(编号：JG00715JX83)。

金正猛，博士，副教授,从事非线性偏微分方程及其应用研究。

G642

A

1009-1734(2015)06-0054-04