（2，p）型二步幂零李代数自同构的一个充要条件

张再华，任斌

（苏州科技学院数理学院，江苏苏州215009）

（2，p）型二步幂零李代数自同构的一个充要条件

张再华，任斌*

（苏州科技学院数理学院，江苏苏州215009）

刻画出李代数的自同构是李代数结构研究的一个重要方面。这一问题在幂零李代数情形下很难解决，找出自同构的各种等价条件是解决这一问题的有效途径。通过矩阵的巧妙计算，得到了二维中心的二步幂零李代数自同构的一个充要条件。

幂零李代数；基；自同构

自同构是李代数结构理论研究的重要方面。研究者对李代数的自同构做了大量的研究工作[1-5]，复数域上半单李代数的自同构已经很清楚，相比之下，幂零李代数的自同构还远未搞清。究其原因，主要在于幂零李代数随着维数的升高其结构极端复杂。这也是幂零李代数自同构问题进展极其缓慢的原因。文献[6]对维数小于等于4的各种不同构类幂零李代数的自同构群的结构进行了研究。二步幂零李代数是一类重要的幂零李代数，其结构相对简单。文中得到了二维中心的二步幂零李代数自同构的一个充要条件。

文中所讨论的李代数N都是复数域C上有限维幂零李代数。

1　基本概念和基本结论

定义1[7]设N是域F上的李代数。若φ为李代数N到自身的可逆线性变换，又满足

则称φ为N的自同构。N的所有自同构构成一个群，称为N的自同构群，记作Aut（N）。

引理1[8]若N是一个幂零李代数，则下面两个命题等价：

（1）{x1，x2，…，xn}是N的一个极小生成元系；

（2）{x1+N2，x2+N2，…，xn+N2}是向量空间N/N2的一个基，这里N2=[N，N]。

引理2设{x1，x2，…，xn}为二步幂零李代数N的一组基，φ是N上的一个可逆线性变换，则φ是自同构当且仅当φ[xj，xk]=[φ（xj），φ（xk）]，1≤j，k≤n。

定义2一个二步幂零李代数N称为（2，p）型，如果dim N=p+2，dim N2=2。

设N是一个（2，p）型的二步幂零李代数，则N有一个极小生成元系{x1，x2，…，xp}。

设{xp+1，xp+2}是N2的基，则有p×p阶斜对称矩阵E，F，使得

即

这里Ip表示p级单位矩阵。

2　主要结果

[1]BARKER G P.Automorphisms groups of algebras of triangular matrices[J]．Linear Algebra and its Applications，1989，121：207-215．

[2]JϕNDRUP S．The group of automorphisms of certain subalgebras of matrix algebras[J]．Journal of Algebra，1991，141：106-114．

[3]COELHO S P．The automorphism group of a structural matrix algebra[J]．Linear Algebra and its Applications，1993，195：35－58．

[4]WANG Dengyin，YU Qiu，ZHAO Yanxia.Automorphisms of the standard borel subgroup of orthogonal group O（2m，R）over commutative rings[J]. Journal of Algebra，2007，317（2）：534－543．

[5]YU Qiu，WANG Dengyin，OU Shikun．Automorphisms of the standard Borel subalgebra of Lie algebras of Cm type over a commutative ring[J]．Linear and Multilinear Algebra，2007，55（6）：545-550．

[6]赖新兴，偶世坤，罗淑珍．幂零李代数的自同构群的结构[J].江西理工大学学报，2012，33（1）：83-85.

[7]孟道骥．复半单李代数引论[M]．北京：北京大学出版社，1998．

[8]SANTHAROUBANE L J.Kac-Moody Lie algebra and the classification of nilpotent Lie algebra of maximal rank[J].Canad J Math，1982，34：1215-1239.

A sufficient and necessary condition for automorphism of two step nilpotent Lie algebras of type（2，p）

ZHANG Zaihua，REN Bin
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

Characterization of automorphism of a Lie algebra is an important aspect in the study of Lie algebraic structure.The problem is very difficult when Lie algebra is nilpotent.The effective way to solve the problem is to find out the equivalent conditions for automorphism.In this paper,by ingenious calculation of matrix,a sufficient and necessary condition for automorphism of two step nilpotent Lie algebras of type（2，p）is obtained.

nilpotent Lie algebra；base；automorphism

O152MR（2000）Subject Classification：17B05；17B30；17B40

A

1672－0687（2016）01－0027－04

责任编辑：谢金春

2013－10－16

国家自然科学基金资助项目（11271056）

张再华（1979-），男，江苏宿迁人，硕士研究生，研究方向：李代数。*

任斌（1964－），男，教授，博士，硕士生导师，E－mail：renbin1964@163.com。