龙滩河大桥稳定性及自振特性分析

张晋媛

(山西省交通规划勘察设计院，山西 太原　030012)



龙滩河大桥稳定性及自振特性分析

张晋媛

(山西省交通规划勘察设计院，山西 太原030012)

龙滩河大桥为3×85 m上承式拱桥，桥宽9.5 m。以其简化模型为基础，用有限元软件对其进行了结构稳定分析和自振特性分析。稳定分析中用增量法考虑了几何非线性的影响，结果表明拱的设计必须重视二阶效应。用Lanczos法分析了自振特性，得出了一些对工程建设有益的结论。

上承式拱桥；拱肋；特征值屈曲分析；几何非线性屈曲分析；自振特性分析

0　引言

拱桥所用的拱架是一种主要承受压力的平面曲杆体系，当拱所支承的荷载达到一定的临界值时，整个拱就会失去平衡的稳定性[1]。基于这个原因，分别对拱圈和整桥进行了屈曲分析,并且考虑了几何非线性。

桥梁自振特性是其动力分析的重要参数和基础，同时也可以反映有限元模型建立的正确性。对整体拱桥进行了自振特性分析，计算了整桥的自振频率和振动模态。

1　工程概况

龙滩河大桥为公路3×85 m3跨连拱体系，为钢筋混凝土箱肋上承式结构，桥总宽为9.5 m，行车道净7+2×1.0 m人行道，桥面横坡为双向1.5%，设计荷载为公路—Ⅱ级。拱桥参数指标为跨径及失高分别为L0=85 m，f0=14.167 m,失跨比f0/L0=1/6，拱轴系数m=1.543；拱肋由两个单箱组成，宽2.24 m，高1.80 m，拱上结构采用钢筋混凝土空心板，板厚35 cm，拱上立柱、盖梁、桥面板均为预制安装，桥面板横向共9道，纵向在第二孔与第三孔交接处断开，其余连续，在主拱圈与立柱之间设置底座，底座预埋钢筋设置在拱圈顶板和拱箱纵缝中，横系梁采用工字型断面，设置在立柱附近的横隔板处，上下缘钢筋与拱肋底板钢筋相连，腹板钢筋与横隔板钢筋连接。

全桥共设置4道伸缩缝，布置在两桥台与桥墩顶的板梁上，缝宽4 cm；人行道板纵铺在行车道板上，采用栅栏式栏杆。

0、3号台采用明挖基础，1、2号桥墩采用明挖扩大基础。

2　模型建立

采用有限元软件ANSYS对龙滩河大桥进行建模及计算。模型采用空间杆系结构，拱圈用多段直线梁单元逼近，每跨分为26个单元。实际桥面板之间设铰缝用来限制桥面板的竖向位移但不限制转动，力学模型为桥面单元间建立2个刚臂单元，并释放中间结点的转动自由度。拱上立柱统一划分为4个单元。桥梁上的人行道板和栏杆的质量分布采用质量点单元模拟。各单元采用的单元类型见表1。

表1　各单元采用的单元类型

计算各单元截面特性，将截面特性赋给各单元实常数，在取用实常数时要注意局部坐标与整体坐标系之间的转换。

建立的整体模型如图1所示，1号墩处墩与拱圈的耦合及桥面板的铰缝模拟的局部模型如图2所示，墩底采用固结约束形式。

图1　整体模型

图2　1号墩处局部模型

3　结构屈曲分析

结构有两类稳定问题，第一类叫做平衡分支问题，即达到临界荷载时，除结构原来的平衡状态理论上仍然可能外，出现第二个平衡状态；第二类是结构保持一个平衡状态，随着荷载的增加在应力比较大的区域出现塑性变形，结构变形很快增大，当荷载达到一定数值时，即使不再增加，结构变形也自行迅速增大而至使结构破坏。实质上结构稳定问题都属于第二类，但是，因为第一类稳定问题的力学情况比较单纯明确，在数学上作为求特征值问题也比较容易处理，而它的临界荷载又近似地代表相应的第二类稳定的上限，所以在理论分析中占有重要地位[1]。

结构的特征值方程为[1]

{[KD]+λ[KG]}{Δδ}=0

(1)

式中，[KD]为结构的弹性刚度矩阵；[KG]为结构的几何刚度矩阵；λ为第i阶特征值；Δδ为相应该阶屈曲

荷载时结构的变形形状，即屈曲模态，屈曲荷载为λcr{F}。

3.1主拱圈的特征值屈曲分析

拱圈承受荷载以受压为主，有可能发生面内弯曲失稳或面外侧倾失稳，理论分析已证明，对于无铰拱，面内第一阶失稳只可能是反对称形式。

建立模型，包括两个三跨拱肋、联系梁、墩柱，仅对拱圈施加自重荷载P0，进行特征值屈曲分析，第一阶特征值为λ1=63.2，则实际临界荷载P=λiP0=63.2P0。为方便和下面要讨论的非线性屈曲分析作对比，将自重荷载扩大63.2倍(将材料密度扩大63.2倍)后重新计算特征值屈曲问题。计算得前10阶特征值见表2。

表2　63.2倍自重荷载对应的前10阶特征值和模态

注：L—侧向；V—竖向；S—对称；A—反对称。

从表2可看出，前3阶模态均为面内纯弯屈曲，反对称，理论分析表明无铰拱面内屈曲低阶模态为反对称，计算结果符合理论。第4阶模态至第10阶模态中，除第7阶为纯弯曲外，其余均为面外侧倾失稳形式，有对称也有反对称。

图3、图4列出了其中第1阶、第5阶模态。

图3　第1阶模态(竖向反对称弯曲)

图4　第5阶模态(侧向反对称弯曲)

3.2全桥的特征值屈曲分析

为了全面把握龙滩河大桥全桥的屈曲模态特征，应适当多提取一些模态，本文提取了前16阶模态。表3列出了全桥在自重作用下的前16阶特征值和模态；图5、图6列出了其中自重作用下全桥特征值屈曲的第1阶、第4阶模态。

表3　自重荷载作用下全桥前16阶特征值和模态

注：L—侧向；V—竖向；S—对称；A—反对称；屈曲形式：局部指立柱侧倾明显，拱圈弯曲不明显；整体指拱圈弯曲和立柱弯曲都明显。

图5　第1阶模态(墩上立柱侧倒)

图6　第4阶模态(整体反对称竖弯)

分析各阶屈曲模态特征，可得到如下结论：

(1)根据拱上立柱、墩上立柱和拱圈的变形大小程度，大致可分为局部屈曲和整体屈曲。低阶模态为立柱局部失稳，因为墩上立柱较柔，第1阶和第2阶均为墩上立柱失稳，这是合理的。

(2)拱桥的稳定性验算一般更加关心其整体失稳，第3、4、5阶模态虽为整体失稳但仍以立柱失稳为主，本文安全地归为整体失稳；第12、13、14、15阶模态为典型的整体失稳形式。在自重作用下第3阶模态的特征值是29.589，第12阶模态的特征值为45.883，数值都较大。即便是第1阶模态也达到了26.287，说明该桥的局部与整体稳定性较好。

3.3几何非线性屈曲分析

前面的计算都是基于理想纯压拱的假设并忽略拱轴压缩，实际拱桥设计时虽然尽量使恒载压力线与拱轴线重合，但由于施工误差及非对称加载等因素，使得实际拱的失稳形态大部分属于第二类失稳，即极值点失稳[1]。通常按几何非线性和材料非线性理论来求解拱桥失稳极限荷载。本文中仅考虑几何非线性，认为材料的弹性极限无限大。

拱桥结构的非线性方程为[1]

([KO]+[KL]+[Kσ]){Δδ}={ΔF}

(2)

首先选择大小合适的荷载，进行特征值屈曲分析，得到第一阶特征值(约为1.0)和模态，随后需引入初始几何缺陷[4-5]，考虑到引入的方便，计算采用拱桥在一阶线弹性屈曲变位的某一微小量值作为几何非线性计算的初始几何缺陷，在下面的非线性计算中，考虑到计算收敛速度等因素，初始几何缺陷大小取线弹性屈曲变位的1%～5%。将模态形状乘以0.04，作为形状缺陷施于结构进行几何非线性静力分析。图7和图8分别是第二跨拱的拱顶处和四分点处的荷载-位移曲线图，图中横坐标表示挠度，以向上挠为正，纵坐标表示第一跨拱脚处竖向反力，可反映荷载大小。

由图7可知，第二跨拱顶从加载一开始就向下挠，直到达到极限荷载时，挠度不断增大，之后荷载减小，挠度仍保持增大，表明发生极值点失稳，极限荷载对应的拱脚反力为137 002 kN。由图8可知，第二跨拱的四分点，开始施加荷载时，挠度向下增大，当荷载达到一定数值时，位移反向，开始向上挠(第一个拐点)，且位移增加很快，达到极限荷载后，位移又迅速反向(第二个拐点)。

拱的特征值屈曲模态，屈曲前拱不变形，屈曲后发生反对称或者对称变形。显然，拱的变形考虑几何非线性的弹性极限分析与特征值屈曲完全不同。另外，拱脚的弹性极限反力，按拱顶的荷载-位移曲线可确定为137 002 kN，但是观察四分点的荷载-位移曲线，第一个拐点处位移开始随荷载迅速增大，从变形的角度看应确定为极限状态，此时拱脚的反力为120 000 kN左右，比第二个拐点处小12.4%，这说明确定连拱的极限承载力不能只观察拱顶的荷载-位移曲线的极值点，还应观察拱的其它控制截面，如拱的1/4跨截面、3/4跨截面。

图7　第二跨拱顶荷载-位移曲线

图8　第二跨拱四分之点处顶荷载-位移曲线

按照特征值分析方法，计算得到临界荷载时拱脚反力为235 380 kN，弹性极限荷载比线性方法得到的临界荷载约小50%，可见，考虑变形二阶效应的极限设计方法非常重要。

上述分析假定拱的初始缺陷为第一阶屈曲模态的0.04倍，现分别取初始缺陷为第一阶模态的0.07倍和0.12倍重新计算，得到两工况下第二跨拱顶的荷载—位移曲线，如图9和图10所示。

图9　第二跨拱顶荷载-位移曲线(缺陷为0.07倍模态)

图10　第二跨拱顶荷载-位移曲线(缺陷为0.12倍模态)

由图9、图10可知，初始几何缺陷取第一阶屈曲模态的0.04倍、0.07倍和0.12倍的荷载-位移曲线形状相似，但极值点确定的极限荷载不同。缺陷比例取0.07倍时，极值点处拱脚反力为134 259 kN，缺陷比例取0.12倍时，极值点处拱脚反力为129 934 kN。显然，初始几何缺陷越大，极限荷载越小。

通过对全桥几何非线性屈曲分析可以得出以下几点：

(1)本桥按几何非线性分析，拱圈弹性极限承载力足够大。悬链线拱承受的荷载实际上为从拱顶到拱脚按三角形分布的线荷载，弹性极限分析的荷载形式按照恒载分布形式(近似为均布形式)施加，荷载直接取特征值屈曲临界荷载(63倍拱圈自重)，得到弹性极限荷载为63×0.5≈31倍拱圈自重(初始几何缺陷比例取0.04倍时)。假设拱上建筑的自重是拱圈的3倍，则承受力储备为31/(3+1)=7.75。尽管所取得荷载形式与实际形式有差别，因安全系数够大，故可认为本桥拱圈弹性极限承载力足够大。

(2)考虑变形影响的二阶分析后，拱圈弹性极限承载力比特征值屈曲临界力大幅度降 低，拱的设计必须重视二阶分析。

(3)加载全过程分析的变形曲线与特征值屈曲形状不同。无铰拱屈曲形式为反对称曲线，引入初始几何缺陷后，加载开始时为正对称变形，随着荷载增大，变形曲线不规则，但是有向反对称形状过渡的趋势。

(4)初始几何缺陷大小对弹性极限承载力有影响。初始几何缺陷越大，极限承载力越小，故拱的施工应做好线性控制，尽量减小施工误差[4]。

4　结构自振特性分析

采用Lanczos法[2-3]对龙滩河大桥进行自振特性分析，在恒载+活载情况下列出结构各阶频率并查看振型图。前26阶振型有很多阶是立柱局部振动，分析桥梁结构特性可将这些振型略去。结构前26阶频率和振型特征见表4。

表4　结构前29阶振型(不含立柱局部振动振型)

注：L—侧向；V—竖向；S—对称；A—反对称；L—扭转。

(1)侧向弯曲出现在低阶振型中，从第8阶开始大量出现竖向反对称振型，表明桥梁的横向刚度比竖向刚度小。

(2)随着阶数的增大，振型形状越来越复杂，弯曲和扭转的耦合效应变得明显。

(3)该桥的振型比较密集，表4中表明频率为1.5 Hz附近分布了近6阶振型，第2阶振型频率为1.109 Hz ，第9阶振型也仅为1.543 Hz，说明该桥在一个不宽的频带范围内许多振型可能被激起[6]，在进行振型组合时应该采用考虑各模态相互影响的CQC法。

图11、图12列出了几阶典型的振型图。

图11　第2阶振型(中跨侧向对称弯曲)

图12　第8阶振型(整体反对称竖弯)

5　结论

(1)拱圈前三阶模态均为面内纯弯屈曲、反对称，说明该桥设计合理且不易发生面外侧倾失稳；全桥的面内稳定问题不突出且安全储备较高，面外稳定性较好，不易发生面外侧倾失稳。

(2)考虑变形影响的二阶分析后，拱圈弹性极限承载力比特征值屈曲临界力大幅度降低，加载全过程分析的变形曲线与特征值屈曲形状不同，所以拱的设计必须重视二阶分析；初始几何缺陷大小对弹性极限承载力有影响，初始缺陷越大，极限承载力越小，故拱的施工应做好线形控制，尽量减小施工误差。

(3)从龙滩河大桥的自振特性可以得出，该桥的横向刚度比竖向小且该桥的振型比较密集，在进行振型组合时应该采用考虑各模态相互影响的CQC法。

[1]李国豪．桥梁结构稳定与振动[M]．北京：中国铁道出版社，2003．

[2] 王新敏．ANSYS工程结构数值分析[M]．北京：人民交通出版社，2007．

[3] 葛俊颖，王立友．基于ANSYS的桥梁结构分析[M]．北京：中国铁道出版社，2007．

[4] 信丽华，林玉森，段树金．初始几何缺陷对钢管混凝土拱桥极限承载力的影响[J]．石家庄铁道学院学报，2009，22(3)：10-13．

[5] 信丽华，林玉森，段树金．钢管混凝土单圆管肋非线性分析[J]．石家庄铁道学院学报，2007，20(2)：17-21．

[6] 毕凯明，贺国京．野山河大桥动力特性分析[J]．世界地震工程，2008，24(1)：148-152．

Analysis of Stability and Self-vibration Characteristics of Longtanhe Bridge

Zhang Jinyuan

(Shanxi Provincial Transport Planning &Survey Institute ,Taiyuan 030012, China)

Longtanhe Bridge is a arch deck bridge with the span of 3×85 m and width of 9.5 m.Based on the simplified model of the Longtanhe bridge,the stability and self-vibration characteristics were analyzed in this paper with finite element software.The geometric nonlinear effects are considered in the stability analysis with increment method,and the results illustrate that the second-order effect must be considered in the design.The self-vibration characteristics were analyzed with Lanczos, and some conclusions were got useful for the engineering construction.

arch deck bridge；arch rib；eigenvalue buckling analysis；geometric nonlinear buckling analysis；self-vibration characteristics analysis

2015-07-12责任编辑:车轩玉DOI:10.13319/j.cnki.sjztddxxbzrb.2016.03.05

张晋媛(1985-), 女, 工程师，主要从事桥梁抗风与抗震的研究。E-mail: 571387621@qq.com

U448.22

A

2095-0373(2016)03-0026-07

张晋媛.龙滩河大桥稳定性及自振特性分析[J].石家庄铁道大学学报:自然科学版,2016,29(3):26-32.