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变化多端的全等三角形

2016-10-24万广磊

初中生世界 2016年34期
关键词:平行线轴对称本题

万广磊

变化多端的全等三角形

万广磊

全等三角形的魅力在于运动.中考数学试题一般以平移、轴对称(翻折)和旋转为图形变换方式,综合考查全等三角形的判定与性质.下面以2016年的中考数学题为例进行剖析.

一、平移

例1(2016·湖北武汉)如图1,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证:AB∥DE.

图1

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,解题的关键是根据已知条件结合图形选择合适的方法.要证AB∥DE,需证∠ABC=∠DEF,因此考虑证明它们所在的两个三角形全等.已知有两组边分别相等,再证明另一组边分别相等,利用“SSS”证明即可.具体步骤:

证明:∵BE=CF,∴BC=EF;

在△ABC和△DEF中,

∵BC=EF,AB=DE,AC=DF,

∴△ABC≌△DEF(SSS),

∴∠ABC=∠DEF,∴AB∥DE.

【点评】纵观本题,图中的△DEF与△ABC是通过平移得到的,平移不改变图形的形状和大小,平移前后对应线段相等且平行(或在同一直线上).在有两组对应边分别相等的前提下,可以求第三组对应边相等,或者求两组对应边的夹角相等,注意必须是夹角;若有三组对应边分别相等,则可以直接根据“SSS”求解.已知两边和其中一边的对角分别相等,不能判定三角形全等,即不存在“SSA”判定三角形全等的方法.如图2所示,AB=DE,∠B=∠DEF,AC=DF,但是△ABC与△DEF不全等.

图2

图3

二、轴对称(翻折)

例2(2016·江西)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将Rt△ABC向下翻折,使点A与点C重合,折痕为DE,求证:DE∥BC.

【分析】本题考查了三角形的折叠和平行线的判定,解题的关键是运用轴对称图形的性质.要证明DE∥BC,必须考虑到∠AED=∠ACB= 90°,而如何得到∠AED=90°,就联想到ED平分一个平角,这可以由折叠得到.

证明:由折叠可知:△ADE≌△CDE,

∴∠AED=∠CED,

又∵点A与点C重合,∴∠AEC为平角,

∴∠AED=∠CED=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠AED=∠ACB,∴DE∥BC.

【点评】图中的△ADE与△CDE是通过折叠得到的,折叠属于轴对称变换,根据轴对称图形的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,进而可以找出位置变化前后相应的角相等,线段相等,进而转化为全等判定的条件.

三、旋转

例3(2016·湖北荆门)如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别在AB、AC上,CE= BC,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CF,连接EF.

(1)补充完成图形;

(2)若EF∥CD,求证:∠BDC=90°.

图4

图5

【分析】本题是一道作图与证明的综合题,其中涉及直角三角形、图形的旋转、全等三角形的判定、平行线的性质等,在解第(2)问时,关键是得到△BCD≌△ECF,结合条件推出∠F=90°,通过全等三角形对应角相等,得到∠CFE=∠BDC=90°.具体步骤:

解:(1)解:所补图形,如图5所示;

(2)证明:∵∠BCA=∠DCF=90°,

∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA,

即∠BCD=∠ECF.又CB=CE,CD=CF,

∴△BCD≌△ECF(SAS),∴∠BDC=∠CFE,

∵CD∥EF,∴∠DCF+∠CFE=180°,

∵∠DCF=90°,∴∠BDC=∠CFE=90°.

【点评】图中的△CEF是通过旋转△CBD得到的,旋转不改变图形形状和大小,旋转角相等,由此可以得到相应的角相等,为全等三角形的判定和角度的计算提供了条件.

四、旋转与平移的组合

例4(2016·河北)如图6,点B、F、C、E在直线l上(F、C之间不能直接测量),点A、D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.

(1)求证:△ABC≌△DEF;

(2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.

图6

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质,关键是寻找全等三角形判定的条件.第(1)问中,已知两边分别相等,再根据BF=EC得BC=EF,可根据“SSS”证得△ABC≌△DEF;(2)由△ABC≌△DEF可得∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,再根据“内错角相等两直线平行”可证得AB∥DE,AC∥DF.具体步骤:

解:(1)证明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+CF,

即BC=EF;又∵AB=DE,AC=DF,

∴△ABC≌△DEF.

(2)有AB∥DE,AC∥DF.

理由:∵△ABC≌△DEF,

∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.

∴AB∥DE,AC∥DF.

【点评】图中的△DEF与△ABC是通过旋转再平移得到的,其中的对应边和对应角并不会因为位置的变化而改变,这也为全等三角形和平行线的判定提供了条件.

(作者单位:江苏省扬州大学附属中学东部分校)

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