等比数列前n项和公式的教学设计

黄瑞瑛

【摘 要】[序]培养学生类比推理能力是发展学生发现和自主创新的有效途径，是新课改所倡导的“合情推理”的重要体现。等比数列的前项和公式，等比数列应用举例，在整个中学数学内容中，处于一个知识汇合点的地位，可以解决实际生活问题.以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的方法.等比数列前项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法是研究数列求和的一个重要方法，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，参与学习，认识和理解数学知识，发展能力。

【关键词】等比数列；前n项和；建构主义；教学设计

【课题】 6.3.3 等比数列前n项和公式

【授课班级】 2013级汽修大专2班（专业：汽修；学生数：39人）

【授课时间】 2014年12月16日

【授课类型】 新授课

【教学目标】

知识目标：

理解等比数列前项和公式.

能力目标：

（1）应用等比数列的前n项和公式，解决相关计算，培养学生的计算技能；

（2）应用数列知识，培养学生观察、反思、归纳能力.

情感目标：

（1）经历数列的前n项和公式的探索，增强学生的创新思维；

（2）赞赏国际象棋的发明人在数学史上流传的故事，形成对数学的兴趣，感受数学文化.

【教学重点】

等比数列的前项和公式.

【教学难点】

等比数列前项和公式的推导.

【教学方法】

引导发现法，对公式的教学，要充分提示公式之间的联系，理解与掌握公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件.公式的教学一般分为问题呈现阶段，探索与发展规律阶段，应用知识阶段.本节课的教学过程可概括如下：

（1）复习旧知识，创设问题情境，引出新课题；（2）推导公式，弄清条件，认识新知识；

（3）运用公式，巩固新知识；（4）课堂小结，布置作业.

【教学手段】

教学课件.采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现得更加完美.

【教材分析】

本节内容为新授课，主要内容是等比数列的前项和公式，等比数列应用举例，是在学生学习了等差数列、等比数列的概念及通项公式，等差数列的前n项和公式的基础上进行的，是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具，也是高中数学的重要内容，在整个中学数学内容中，处于一个知识汇合点的地位，又可以解决实际生活问题.

【学情分析】

所教授班级为职业高中高二学生，学生的学制是五年一贯制，学生均参加过中考，对数学相关知识有一定基础，但学生对数学的学习热情不高.建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系，在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，参与学习，认识和理解数学知识，发展能力.因此本节课由实例引入，在前面学习的等差数列通项公式和求和公式及等比数列的通项公式的基础上进行学习，重点是等比数列的前项和公式，难点是前项和公式的推导及知识的简单实际应用.通过学习提高学生对知识的掌握，为后续学习运用打下基础.

【教学设计】

在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”.所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程.因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的方法.等比数列前项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法是研究数列求和的一个重要方法，应该让学生理解.等比数列的通项公式与前项和公式中共涉及五个量：？琢1、q、n、？琢n、Sn，只要知道其中的三个量，利用方程思想，就可以求出另外的两个量.

【课时安排】

1课时.（45分钟）

【教学过程】

一、提兴趣，创情境 -引入 （7分钟左右）

【趣味数学问题】

传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨？班？达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏.

国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒……依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子，并把这些麦粒赏给您的仆人吧.”

国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒.

计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒……国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺.

这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？

（教师质疑，学生思考.）

各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比數列，大臣西萨？班？达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和.今天我们来学习如何计算.

（设计意图：给学生以一定的时间，鼓励学生对问题自由思考，积极解决.引导学生从已学过的等比数列、等差数列的通项公式的推导方法，及结构特点着手.培养学生类比、联想能力.）

【注】 在求等比数列的前n项和时，一定要判断公比q是否为1.

思考： 在等比数列{？琢n}中，知道了？琢1、q、n、？琢n、Sn五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量.针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？

与等差数列类似，等比数列的前n 项和公式及通项公式 ，共涉及这五个量，而它们又通过通项公式及前n项和公式联系着，因此只要知道其中的任何三个量，即可得到以其余两个量为未知数的方程组，从而可以求出其余两个量.

（设计意图：教师引导启发学生思考求解，类比方法是认识事物的重要方法，提示学生在学习过程中，注意用类比的方法记忆知识，解决问题，并进一步渗透方程的思想.）

三、用例题，固知识 -例题 （9分钟左右）

例5 写出等比数列

1，-3，9，-27，…的前n项和公式并求出数列的前8项的和.

（设计意图：通过例题进一步领会知识.）

（引入的题）现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？

（设计意图：前后呼应，使教学内容完整.）

国王承诺奖赏的麦粒数为

据测量，一般麦子的千粒重约为40g ，则这些麦子的总质量约为7.36×1017g，约合7360多亿吨.这是大得让人无法想象的数.若把这些麦粒排成4m高、10m宽的麦墙，它将有3×108 km长，这是地球到太阳距离的80倍.国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！？

正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下.其实，您只要让达依尔大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了.假如达依尔大人一秒钟数一粒，数完18，446，744，073，709，551，615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下.）！就算达依尔大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分.这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是达依尔大人自己没有能力取走赏赐.”国王恍然大悟，当下就召来达依尔，将教师的方法告诉了他.西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后达依尔还是获得了很多赏赐.

（设计意图：数学源于生活，数学用于生活.提高学生的学习兴趣.）

四、做练习，会运用 -練习 （7分钟左右）

写出等比数列1，-2，4，-8，16，…的前n项和公式并求出数列的前5项的和.

（设计意图：学生进行解题，教师巡视，及时点评.利用与例题相似的练习，重点加强对等比数列的前n项和公式的运用.）

五、勤梳理，能归纳 -小结 （3分钟左右）

1.等比数列的前n项和公式的推导，运用.

2.等比数列的前n项和公式的实际运用，如涉及增长率等问题.

（设计意图：可以交给学生，先让学生自己总结，自我发现归纳.教师在学生总结的基础上进行再概括时，应当注意思想性，结合实际提高学生学习兴趣.）

六、再探索，纳知识 -作业 （1分钟左右）

必做题：求等比数列…的前10项的和.

选做题：写出等比数列-2，4，-8，16，…的前n项和公式并求出数列的前8项的和.

（设计意图：加强学生对等比数列的前n项公式的记忆及灵活应用，选做题的设置有利于有能力的同学“更上一层楼”.）

设计选作思考题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”

（设计意图：这首中国古诗的答案是3，思考题体现数学的文化价值.）

（教学预判：如学生的程度较好，加做练习：已知等比数列.）

（设计意图：对课堂有更为充分的把控，让学生能更好地运用知识.）

板书设计

【教学反思】

本节课采用“多媒体优化组合—激励—发现”式教学模式进行教学。该模式能够将教学过程中的各要素，如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合，使其融为一体，创造较好的教学氛围。实际教学中基本完成所设想的内容，通过设计情境“象棋的起源”引入课题，激发了学生的兴趣，调动了学习的积极性。创设问题情境时往往并不直接揭示所学的数学内容，而需要学生基于自己的实践和思考，从中提炼数学信息。