导数在经济分析中的应用

张晓丽　李东平

摘 要：数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念，是经济学应用的一个重要工具。本文运用导数作为分析工具，对每个经济环节进行定量分析，并通过弹性分析与边际分析的有机结合，衡量出如何确定最优的价格以获取最大利润。利用导数来解决经济问题是非常有效的方式，使我们既可以从数学的角度得出结论，又可以在经济的理论上得到合理解释，从而达到为企业经营者的科学决策提供依据的目的。

关键词：导数；经济学；边际分析；弹性分析；优化分析

一、导数的定义及几何意义

定义：设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，如果极限存在，则称函数f（x）在x0处可导，并称其极限值为函数f（x）在x0处的导数，记为f ′（x0），即f ′（x0）=。其中令x=x0+Δx，Δy=f（x0+Δx）-f（x0），则公式可改写为==f ′（x0）。所以f ′（x0）是Δy與Δx之比的极限。称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而f ′（x0）则为函数f（x）在x0处关于x的变化率。如果导数定义中极限不存在，那么称函数f（x）在点x0处不可导。

函数y=f（x）在点x0的导数f ′（x0）的几何意义是：y=f（x）在点（x0，y0）处切线的斜率。

二、导数在经济分析中的应用

（一）边际与边际分析

如果y=f（x）在x0处可导，那么它在x=x0处的变化率为，即函数y=f（x）在点x0的导数f ′（x0），在经济分析中我们称它为f（x）在点x0处的边际函数值。设在点x=x0处，x从x0改变一个单位时y的增量Δy的准确值为Δy

x=x0

Δx=1，由于实际的经济问题中，x一般是一个比较大的量，而Δx=1与x相比就可以看作是一个相对较小的量，由微分学可知，Δy的近似值可表示为Δy

x=x0

Δx=1≈dy=f ′（x）Δx

x=x0

Δx=1=f ′（x0）。这说明f（x）在点x0处，当x改变一个单位时，y近似的改变f ′（x0）个单位。在实际应用中，我们通常略去“近似”二字，来解释边际函数的定义。于是，就有以下定义：设函数y=f（x）可导，则称导数f ′（x）为边际函数，称f ′（x0）为f（x）在点x0处的边际函数值。

（二）弹性与弹性分析

弹性也是经济学中重要的概念之一，它反映了一个经济变量变化对另一个经济变量变化的影响程度。弹性常用于对需求、供给、生产收益等问题的讨论。弹性的计算有两种：点弹性和弧弹性。这里我们只介绍函数的点弹性。下面将给出一般函数的弹性定义。设函数y=f（x），Δx和Δy分别为自变量和函数的绝对改变量，Δx/x和Δy/y分别称为自变量的相对改变量和函数的相对改变量，而

称为函数f（x）从x到x+Δx两点间的弹性，若y=f（x）在点x处可导，则称

=·=y ′·=f ′（x）·为f（x）在点x处的弹性，记作。对于一般的x，是x的函数，称为f（x）的弹性函数。在点x0处的值记为

x=x0，当Δx很小时，

x=x0≈

。这说明，

x=x0表示在点x0处，当x相对改变量为1%时，f（x）近似改变了

x=x0%（在应用中常常略去“近似”），也就是说，反映f（x）随x的变化而变化的幅度，即f（x）对x变化反应的灵敏度。

三、优化分析

经济学中经常遇到的优化问题，例如最大产出分析、最大收入分析、最大利润分析、资源合理利用的优化分析等，数学的最优化求解方法是这类问题的主要解决方法。进行优化分析可以帮助企业管理者以最低的生产成本获得最大化收益，意义非常深远。这里考虑运用边际函数求最大利润。利润等于收入减去成本，边际利润为边际收入减去边际成本，即ML=MR-MC。

1）当MR-MC>0时，每增加一个单位的产品，所增加的收益大于所增加的成本，因而总利润增加，但没能达到获得最大收益的规模，此时，企业应该扩大生产规模。

2）当MR-MC<0时，每增加一个单位的产品，所增加的收益要小于所增加的成本，从而总利润减少，说明企业应该减少生产规模。

3）当MR-MC=0时，即MR=MC，企业达到最优的产量规模。即L（x）取得最大值的必要条件是：边际收益与边际成本相等。另外，如果要保证利润取得最大值，利润对产量的二阶导数必须小于零，即：=-<0，即<。其中，是边际收益的变化率，即边际收益曲线的斜率，是边际成本的变化率，即边际成本曲线的斜率。所以，利润最大化的必要条件是边际收益边际成本相等，充分条件是边际成本曲线的斜率大于边际收益的曲线的斜率。不管是竞争性的还是非竞争性的企业都适用。

通过以上分析，我们发现，在达到某一点x0之前，增加产量会使企业获利增加；过了这一点，产量增加反而会使利润减少。

以上只是导数应用的一小部分，然而其他优化问题还有很多，例如税收的最大化问题、最佳存款利息等等，而这类问题在引入导数的概念以后更加容易解决。

参考文献：

[1] 韦永强.正确理解和运用经济分析中的符号和用语[J].广西会计，1990（10）.

[2] 张家堳.经济分析中的数字运用和分析用语[J].财务与会计，1985（10）.

[3] 苗成喜，王维宝.初中数学在经济分析中的几个应用[J].中学数学杂志，2003（08）.

项目号：

1.吉教科合字[2004]第104号：微分包含定性理论在经济预测中的应用研究

2.吉教科合字[2005]第166号：数学模型在经济投资决策方案中的应用研究