基于熵权和多目标优化的投标报价方案优选

南铁雷

摘要： 随着招标投标制的推行以及工程量清单计价方式的实施，我国水利工程建设市场面临着越来越激烈的竞争，投标人为了在尽可能中标的同时实现利益的最大化，往往采用不平衡报价法进行投标。这不仅对发包人的经济利益造成损害，还扰乱了招投标的正常秩序，因此发包人在评标阶段要对各投标方案进行优选。本文将熵权理论引入多目标优化的数学模型中，利用熵权法较为客观地确定各指标权重，并通过分析计算各投标方案与理想点间的相对海明距离，确定各投标方案的不平衡度，从而达到优选投标方案的目的。案例分析表明，该方法准确有效，能够为招标人评标提供参考和依据。

Abstract： With the implementation of the bidding system and the implementation of the bill of quantities， the competition in the construction market of water conservancy projects is becoming increasingly fierce， the bidder in order to achieve the best possible bidder and achieve the maximum benefits， often using unbalanced bidding method. This not only damages the interests of the employer， but also disrupts the normal order of the bidding. Therefore， the employer in the bid evaluation stage to optimize the tender scheme. In this paper， the author introduced the theory of entropy weight into the mathematical model of multi-objective optimization， and used it to determine the index weight objectively. Then the author analysed and calculated the Relative Hamming Distance of each bidding scheme and the ideal point， and determined the degree of imbalance in the tender. Thereby we can select the best winner. The case analysis shows that the method is accurate and effective， and can provide reference and basis for the bid evaluation.

關键词： 熵权；多目标优化；招标投标；不平衡报价

Key words： entropy weight；multi-objective optimization；bid invitation；unbalanced bids

中图分类号：TU712 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2016）09-0030-04

0 引言

随着水利工程建设市场的竞争日趋激烈，投标人为了中标盈利并转移风险，往往采用不平衡报价策略进行投标。不平衡报价是指投标人综合考虑本企业的实际水平和市场因素，通过常规报价分析确定投标总报价后，在总报价基本不变的基础上，刻意增大或减小某些项目的报价，以期带来收益最大化的投标报价策略[1-2]。不平衡报价者一旦中标，必然会导致“低价中标，高价结算”，使发包人的利益遭受损失，因此在评标阶段要对各投标报价方案进行优选，避免不平衡报价者中标。Tong和Lu（1992年）[3]对不平衡报价的概念和运用形式进行了较为详细的分析。乌云娜、郝越明[4]量化分析了不平衡报价可能给发包人增加的支出。唐晓飞[5]分析了在评标阶段招标人如何定量识别报价的不平衡程度。本文将熵权引入到多目标优化的数学模型中，以合理的评价基点为基准，提出一种通过分析各投标人的清单项目投标单价确定不平衡度的方法，为招标人评标提供参考。

1 多目标优化理论

在一个复杂的系统工程中，事件往往是多目标问题。理想情况下，每个多目标问题都存在能使所有目标达到最佳的方案，但在现实情况下，由于目标间存在相互关联和制约，很难找到一个能够使多目标问题的所有目标同时达到最优的方案。为了解决实际问题，我们不得不在所有可行方案中选择合适较优的方案，因而多目标优选问题就转化为了整体择优问题。多目标问题各个目标的量纲往往不同，不具有可比性，需先对数据进行无量纲化处理，再运用理想点法，计算比较所有非劣解与理想点之间的距离特征值，则该多目标问题的优化解就是与理想点最接近的非劣解[6-7]。

1.1 构建多目标模型

设多目标问题有p个目标，分别为：

f1（x），f2（x），…，fp（x）

将目标优化（越大越优或越小越优），可表示为：

max或min{f1（x），f2（x），…，fp（x）} X∈D

若存在X*，使f1（x），f2（x），…，fp（x）达到最优，则称X*为该问题的理想点，即存在

F（X*）=[f1（X*），f2（X*），…，fp（X*）]T

满足所有约束条件。

而最接近理想点的非劣解即为优化解。

若非劣解分别为：

F1（x）=[f11（x1），f12（x1），…，f1p（x1）]T

F2（x）=[f21（x2），f22（x2），…，f2p（x2）]T

…

Fk（x）=[fk1（xk），fk2（xk），…，fkp（xk）]T

而该多目标问题的理想点为：

F*=[f1*，f2*，…，fp*]T

式中的fj*由原目标优化求出。则此时的fj*可统一表达为：

X=（x1，x2，…，xn）T，使max或min fj（x）约束于qj（x）？燮0（j=1，2，…p）

从而将非劣解和理想点的目标值用最优隶属函数？滋（fij）表征，非劣解的目标值在目标论域上的模糊子集为：

=[？滋（f11），？滋（f12），…，？滋（f1p）]T

=[？滋（f21），？滋（f22），…，？滋（f2p）]T

…

=[？滋（fk1），？滋（fk2），…，？滋（fkp）]T

理想点的目标值在目标论域上的模糊子集为：

=[？滋（f1*），？滋（f2*），…，？滋（fp*）]T

这样，不同量纲的目标值，均可用模糊隶属函数法处理后进行计算。

1.2 隶属函数

以上模糊子集可用隶属函数来表征，其隶属函数分为定量指标隶属函数和定性指标隶属函数，分别描述为：

①定量指标隶属函数。

若目标属性以小为优，即越小越优，则其最优隶属函数可表示为：

？滋ij= （1）

式中，？滋ij为第i方案第j个目标的最优隶属函数；fij为第i方案第j个目标的函数值（即目标值）；max（fij）为所有方案第j个目标的最大目标值；f*j为第j个目标的理想目标值。

若目标属性以大为优，即越大越优，则最优隶属函数可表示为：

？滋ij= （2）

式中，min（fij）为所有方案第j个目标的最小目标值。

②定性指标隶属函数。

定性指标可提前设立相应的模糊评语，按预设的模糊评语对评价指标进行分级并赋值，从而将其量化，再按定量指标确定隶属函数。

1.3 目标权重系数

目标的权重系数表明该目标在整个问题中的重要程度。权重系数越大，相对重要程度越高；权重系数越小，相对重要程度越低。确定目标权重系数的方法有很多，本文采用熵权法。

1.4 求得优化解

求解多目标问题可引入模糊数学中的距离概念，通过计算并比较各非劣解与理想点间的距离确定解的优劣程度，求得该问题的优化解。模糊數学中计算距离的公式有很多，此处选用相对海明距离公式。设 、 是目标论域中的两个模糊子集，则二者间的相对海明距离为：

？姿[ ， ]= （1-qj）？滋（fj*）-？滋（fij）（3）

式中，p为多目标优化问题中目标的个数，qj为第j个目标的权重系数，且 qj=1。

距离理想点最近的非劣解为该多目标问题的优化解，显然min ？姿[ ， ]为优化解，即第i方案距离理想点最近，为最优方案。

2 熵权模型

指标权重的确定直接影响评价的结果。熵是信息无序化程度的反映，本文用其度量指标的差异程度。评价指标的信息熵越小，其对应的熵权越大。熵权计算过程如下[8]：

①构建判断矩阵R：

设有m个评价事物，n个评价指标，则

R=（xij）mn（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）

②判断矩阵的归一化：

bij= （4）

式中：xmax、xmin分别为不同方案中同一指标的最大值和最小值。

归一化处理后得到归一化判断矩阵B：B=（bij）mn（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）

③确定评价指标的熵值Hi为：

Hi=- fijlnfij（i=1，2，…，n；j=1，2，…，m）（5）

其中：

fij= （6）

根据评价的实际意义，当fij=0时，认为ln fij是一较大数值，与fij相乘趋于0，故fij ln fij=0。但当fij=1，ln fij=0，则二者相乘的结果fij ln fij=0，此结果与实际相悖，故现对fij进行修正，将其定义为：

fij= （7）

④计算评价指标的熵权矩阵W：

其中：？棕i= ，且满足 ？棕i=1（8）

3 实例分析

现有一公开招标的倒虹吸工程，表1是其主要工程量清单。投标的施工企业中有6家通过了资格预审，各企业相应的土建施工项目投标报价情况如表2所示（表2中的评价基点为同一项目所有投标企业所报单价的平均值）。6家投标企业的总报价十分接近，但各企业针对不同项目的投标报价却有较大差别，不平衡报价的现象显然存在。

3.1 目标隶属函数值

①目标隶属函数的建立。

本文选取投标单价的合理值为理想点，可建立如下最优隶属函数：？滋ij=1- （9）

式中，？滋ij为第i投标方案第j个项目的最优隶属函数，且？滋ij∈[0，1]；fij为第i投标方案第j个项目的函数值（也即目标值）；f 为第j个项目的理想值，即评价基点。

②目标隶属函数值的计算。

根据式（9）分别计算表2中各指标的隶属函数值如表3所示。

3.2 评价指标权重系数的确定

①构建综合判断矩阵R：

根据表2数据，构建关于6个投标企业、9个投标报价的综合判断矩阵R。

R=

②求归一化判断矩阵B：

根据式（4）对矩阵R归一化处理，得到归一化判断矩阵B： B=

③计算熵值Hi和熵权？棕i

根据式（5）、（7）、（8）计算各评价指标的熵值Hi和熵权？棕i，如表4所示：

则权重集=

{0.107，0.100，0.101，0.135，0.093，0.098，0.137，0.092，0.138}。

3.3 求解多目标优化解

由式（3）可计算各投标方案较之理想方案的相对海明距离，此距离可用来比较各投标方案间的不平衡度，即相对海明距离越小，不平衡度越低，方案越优；相对海明距离越大，不平衡度越高，方案越劣。其中第j个目标的最优值？滋（f ）=1（j=1，2，…，9）。

企业1：？姿[ ， ]= [（1-0.107）（1-0.910）+（1-0.100）（1-0.654）+（1-0.101）（1-0.500）+（1-0.135）（1-0.617）+（1-0.093）（1-0.732）+（1-0.098）（1-0.670）+（1-0.137）（1-0.914）+（1-0.092）（1-0.932）+（1-0.138）（1-0.998）]=0.206；

同理可求得其他5家投标企业的相对海明距离，如表5所示。

则min？姿[ ， ]=min{0.206，0.418，0.496，0.680，0.589，

0.377}=0.206。

由此可看出企业A的投标报价与理想点距离最近，其投标报价的不平衡度最小，为最优投标单位。

3.4 结果分析

在上述案例中，6家企业的投标总价相差不大，但同一项目的单价却有很大出入。通过分析建模计算结果得出，企业A的投标报价不平衡度最小，各项报价与理想单价最为接近，是最优的投标方案。而企业D的投标报价不平衡度最大，是最劣的投标方案。

4 结语

评标并确定中标者是工程中一个重要的阶段，它直接决定着工程的成败。而价格因素又是评标中重点考虑的因素。因此，如何通过对各投标报价方案的分析优选出最佳方案，尽可能避免不平衡报价者中标，已经成为工程实际中亟待解决的问题。本文将熵权引入到多目标优化的数学模型中，以合理的评价基点为基准，通过对各投标人的清单项目投标单价进行对比分析求得其不平衡度，据此优选出最佳投标方案。通过案例分析可知，本方法简便易行，可借助EXCEL方便快捷地计算比较各投标人报价的不平衡度，为招標人评标提供更多参考。

参考文献：

[1]汪伦焰，安晓伟，等.熵权模糊综合评判法在不平衡报价分析中的应用[J].南水北调与水利科技，2014，12（4）：81-84.

[2]汤美安，王兆瑞.不平衡报价的不平衡度分析[J].山东建筑大学学报，2008，23（3）：263-265.

[3]Tong YZ，Lu YJ.Unbalanced bidding on contracts with variation trends in client-provided quantities [J]. Construction Management and Economics，1992，10（1）：69-80.

[4]乌云娜，郝月明.不平衡报价的量化分析及研究[J].建筑经济，2007（7）：62-64.

[5]唐晓飞.基于工程量清单计价模式下的不平衡报价研究[D].华东交通大学，2014.

[6]张国安，王孟钧，李屹.基于多目标优化的无碴轨道铺设施工方案优选[J].科技进步与对策，2009，26（11）：19-21.

[7]林镇周.论多目标优化在电力工程施工中的应用[J].电力建设，2000（9）：8-10.

[8]张先起，梁川.基于熵权的模糊物元模型在水质综合评价中的应用[J].水利学报，2005，36（9）：1057-1061.