一类非线性六阶波动方程的几乎守恒律

王宏伟

（安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳 455000）

一类非线性六阶波动方程的几乎守恒律

王宏伟

（安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳 455000）

研究了一类非线性六阶波动方程的Chaucy问题，通过引入一个修正的能量泛函，借助Airy方程的Strichartz估计，在Bourgain空间中证明了这类方程的几乎守恒律.

修正的能量泛涵；几乎守恒律；Bourgain空间

在研究具有表面张力的浅水波表面的毛细管重力波传播问题时，Daripa和Dash［1］提出了如下的非线性六阶波动方程

这里u（x，t）是未知函数，φ（x），ψ（x）是已知的初始函数，下标t，x分别表示对t，x求偏导数，f（u）是非线性项，β＝±1.方程（1）也可以作为弹性晶体中晶格动力学问题的数学模型［2］.

当非线性项f（u）＝u2时，Esfahani［3］研究了方程（1）局部解的适定性问题，即解的存在性、唯一性和解对初值的连续依赖性；Wang［4］讨论了周期解的适定性问题.对非线性项f（u）＝｜u｜2u，Wang［5］利用I－能量方法证明了当初值（φ，ψ）∈Hs×Hs－1，3／2＜s＜2时方程（1）整体解的适定性.

对更一般的非线性项f（u）＝｜u｜2ku，k≥1，k∈Z，方程（1）具有下面的能量守恒律［6，7］

当初值（φ，ψ）∈Hs×Hs－1，s≥2时，利用局部解的存在性和守恒律就可以得到方程（1）整体解的适定性.当初值的正则性指标s＜2时，能量可能是无穷大，此时守恒律没有意义.本文的主要目标是引入一个修正的能量泛函，并在初值的正则性指标1／2＜s＜2的条件下，证明这个能量泛函是几乎守恒的.随着时间的增大，该能量泛函可以得到控制，由此可以把局部解的存在区间延拓到任意的时间T，从而得到整体解的适定性.

1　预备知识

u（x，t）的时空Fourier变换定义为u∧（ξ，τ）＝∫R2e－i（xξ＋tτ）u（x，t）dtdx.对s∈R，Hs（R）表示通常的Sobolev空间，它的范数定义为‖f‖Hs＝‖〈ξ〉f∧（ξ）‖L2，其中〈·〉＝1＋｜·｜，记LqtLrx为混合时空范数

定义1 对s，b∈R，记Xs，b为Schwartz函数类在下列范数下的完备化空间

根据定义1，有如下范数的等价形式

利用Kato的光滑性估计［9］，有

由定义1直接可以得到

（4），（5）两式利用插值定理，有

使用最大值函数的估计，还可以得到

下面我们给出一个新的修正的能量泛函.给定s＜2和一个常数N》1，定义乘子I为

把算子I作用到方程（1），（2）两边，得到

合并以上两式，得到

2　主要结论

下面的定理说明，随着时间的增大，E（Iu）（t）是几乎守恒的.

定理 假定s＞1／2，N》1，Iu是（9）定义在［0，δ］上的解，则下列估计成立

证明 等式（11）两边在［0，δ］上对t积分，再应用Parseval公式，得到

要得到（12），只须证明下列不等式成立关于ξ2，ξ3，…，ξ2k＋2的对称性，不妨假定N2≥N3≥…≥N2k＋2.由于，故下面我们通过比较N和Ni的相对大小，分情况来证明（13）.

情形1：N》N2.此时根据m（ξ）的定义，（14）式的值等于零.（13）成立

情形2：N2＞N》N3.由于＝0，此时可以得到N1～N2.根据中值定理，有

由（6），（7）和Hlder不等式，可知

情形3：N2》N3＞N.此时，估计（14）如下

由于m（ξ2）～m（ξ3），得到

这里最后一个不等式成立是由于对任何p≥2－s，函数m（x）xp是单调增加的，并且m（x）〈x〉p是有下界的，这就表明

（1）N3》.此时A的估计如下

综合以上各种情况，定理得到证明.

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The Almost Conervation Law of a Nonlinear Sixth－Order Wave Equation

WANG Hong－wei
（Department of Mathematic and Statistics，Anyang Normal Unversity，Anyang 455000，China）

In this paper，we study the Cauchy problem of a nonlinear sixth－order wave equation.We introduce a new modified energy function.By use of the Strichartz estimates of Airy equation，the almost conservation law of this equation is proved in Bourgain space.

modified energy functional；almost conservation law；Bourgain space

O175.25

A

1001－2443（2016）03－0226－04

10.14182／J.cnki.1001－2443.2016.03.004

2015－04－10

国家自然科学基金（10771166）；河南省教育厅科学技术研究重点项目（14B110028，16A110007）；安阳师范学院培育基金（AYNUKP－B04）.

王宏伟（1977－），男，河南汤阴人，讲师，博士研究生.主要从事调和分析和偏微分方程的研究.

引用格式：王宏伟.一类非线性六阶波动方程的几乎守恒律［J］.安徽师范大学学报：自然科学版，2016，39（3）：226－229.