时标上一类时滞中立型动力方程的非振动解

2016-10-17刘光辉

湖南工程学院学报（自然科学版） 2016年2期

关键词：时标有界子集

刘光辉,王佩

(湖南工程学院理学院,湘潭 411104)

时标上一类时滞中立型动力方程的非振动解

刘光辉,王佩

(湖南工程学院理学院,湘潭 411104)

考虑了时标上时滞中立型动力方程(x(t)-cx(t-τ))Δ+q(t)x(t-σ)=0,其中τ>0,σ≥0为常数,q(t)∈Crd[T,R+).运用压缩映射原理获得了该方程非振动解存在的充分条件.

时标;中立型;振动;时滞

StefanHilger[1]对时标上时滞动力型方程开创性的研究,引起了广泛关注.近些年，很多学者对时标上动力方程解的有界性、渐近性、全局吸引性进行了深入研究,不断取得新结果[2-5].但对解的非振动性理论研究却甚少，时标上微分方程的非振动性理论不仅在数学领域中有着重要的意义，而且它本身对金融、期货、生物制药、环境科学、自动控制系统等领域的数学模型的解的讨论有着重要的应用背景.

1 预备知识

将离散和连续形式统一起来的时标(实数R的任意一个非空闭子集称作一个时标，本文以符号T表示)．常用的集合，如R,Z,N,[0,1]∪N，都是时标.但有理数集,无理数集,开区间(0,1)等都不符合时标定义，都不是时标.时标上一阶中立型动力方程的定性研究并不多，文献[7]考虑了

解的振动性.文献[8]考虑了

(x(t)-x(t-r))Δ+P(t)x(t-θ)-Q(t)x(t-δ)=0.

的有界解.

本文考虑时标上一类中立型动力方程:

(x(t)-cx(t-τ))Δ+q(t)x(t-σ)=0

(1)

这里τ>0,σ≥0为常数,q(t)∈Crd[T,R+).

2 主要结果

(2)

成立.这里M1<1,M2>M1>0，且

(3)

设X(t)是所有rd连续有界向量函数.设

(4)

定义算子T:A→X如下:

显然TX是rd连续的,对于每一个X∈A,当t≥t1时,由(2),(3)有:

2(1-c)-M1≤M2

又由(2)有:

因此TA⊂A.故A是有界的闭凸子集.

下证T为一压缩算子.

对于∀X1,X2∈A,t≥t1,有:

这表明:

从而T为压缩映射.因此存在一不动点X,TX=X,为(1)的一非振动解.证毕.

定理2 当-1

(5)

设X(t)是[t0,)上的rd连续有界向量函数.设

(6)

定义算子T:A→X如下:

显然TX是连续的,对于每一个X∈A,当t≥t1时,由(5)与(6)有:

2(1-c)-L1≤L2.

又

因此TA⊂A.故A是有界的闭凸子集.

下证T为一压缩算子.

对于∀X1,X2∈A,t≥t1,有:

这表明:

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[7] 刘光辉,夏文华.测度链上一阶中具有多时滞的非线性中立型泛函微分方程的振动性[J].湖南工程学院自科版,2011(4)：35-37.

[8] 刘兰初,刘光辉.测度链上具有正负系数的中立型动力方程的有界解[J].江西师范大学学报,2006(4)：336-338.

Nonoscillatory Solutions for One Netural Dynamic Equation onmeasure Chains

LIU Guang-hui,WANG Pei

(College of Science,Hunan Institute of Engineering,Xiangtan 411104,China)