独立的m维实随机过程均方极限的独立性

吕　芳,宋巧珍

(洛阳师范学院 数学科学学院， 河南 洛阳 471934)



独立的m维实随机过程均方极限的独立性

吕芳,宋巧珍

(洛阳师范学院 数学科学学院， 河南 洛阳 471934)

介绍了两个m维实随机向量序列相互独立时，其均方收敛的结果间仍具有相互独立性，并将此结论推广到任意有限维的两个实随机向量序列，以及任意有限维的两个连续参数实随机过程上去.

实随机过程；实随机向量序列；均方极限；独立性

1　基本概念

定义1[8]设已给概率空间(Ω,F,P)及一参数集T，若对每一t∈T，均有定义在(Ω,F,P)上的一个随机变量X(ω,t)，(ω∈Ω)与之对应，则称依赖于参数t的随机变量族X(ω,t)为一随机过程. 记为{X(ω,t),ω∈Ω,t∈T}，简记为{X(t),t∈T}.

若对每一t∈T，均有定义在(Ω,F,P)上的m个随机变量

X1(ω,t),X2(ω,t),…,Xm(ω,t)，(ω∈Ω)

与之对应，则随机向量族{(X1(ω,t),X2(ω,t),…,Xm(ω,t)),t∈T}为一m维随机过程，简记为{(X1(t),X2(t),…,Xm(t)),t∈T}.

T通常表示时间集，称为参数空间，当T为有限集或可列集时，如T={1,2,3,…}，称这类过程为随机变量序列，可写作{X(n),n=1,2,3,…}；类似地有m维随机向量序列，记为{(X1(n),X2(n),…,Xm(n)),n=1,2,3,…}.

定义2[9]设{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}为两个随机过程，其k+l维联合分布函数为

则称随机过程{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}相互独立.

概率空间(Ω,F,P)上的二阶矩随机变量的全体记作H，由文献[10]-[11]知H是一个线性空间，文献[12]对此空间上的内积和范数等作了说明.

定义5[9]设X=(X1,X2,…,Xm)是m维随机向量，则称

为m维随机向量X=(X1,X2,…,Xm)的特征函数，其中t=(t1,t2,…,tm)∈Rm.

2　相关定理及推论

文献[1]及[8]-[15]对均方极限的相关性质作了研究，现将部分结论罗列如下.

以上关于随机变量序列的均方极限的性质均可相应地推广到连续参数的随机过程{X(t),t∈T}上去，可参阅文献[9]；同时，对多维随机变量序列以及多维连续参数的随机过程以上结论仍然成立.

定理3设φ(X1,X2,…,Xm)(t1,t2,…,tm)是m维随机向量X=(X1,X2,…,Xm)的特征函数，φXi(t)，i=1,2,3,…,m是随机变量Xi的特征函数，则随机变量X1,X2,…,Xm相互独立的充要条件是

φ(X1,X2,…,Xm)(t1,t2,…,tm)

=φX1(t1)φX2(t2)…φXm(tm)[9].

以下所研究对象均在H空间中，不再额外说明.

3　主要结论及证明

定理4设m维实随机向量序列

{X(n)=(X1(n),X2(n),…,Xm(n)),n=1,2,3,…}

证2m维实随机向量(X,Y)=(X1,X2,…,Xm,Y1,Y2,…,Ym)的特征函数为

φ(X,Y)(s,t)=φ(X1,X2,…,Xm,Y1,Y2,…,Ym)(s1,s2,…,sm,t1,t2,…,tm)

(由{X(n),n=1,2,3,…}与{Y(n),n=1,2,3,…}的独立性)

=φ(X1,X2,…,Xm)(s1,s2,…,sm)·

φ(Y1,Y2,…,Ym)(t1,t2,…,tm) (由推论2)

=φX(s)·φY(t)

综上，φ(X,Y)(s,t)=φX(s)·φY(t)，由定理3知，随机向量X=(X1,X2,…,Xm)与Y=(Y1,Y2,…,Ym)相互独立. 定理得证.

事实上，在定理4中若两个实随机向量序列的维数不同结论依然成立(叙述为定理5)，同时，对于多维连续参数的实随机过程也有类似的结论(叙述为定理6).

定理5设l维实随机向量序列

{X(n)=(X1(n),X2(n),…,Xl(n)),n=1,2,3,…}

定理5和定理6的证明过程与定理4的证明过程类似，此处不再重复.

[1]殷羽.随机变量序列的几种收敛性[J] .科研探索与知识创新,2012,6(下):109-111.

[2] Bradley R C. On the spectral density and asymptotic normality of weakly dependent random fields[J]. J Theor Probab,1992,5:355-373.

[3] Bradley R C. Equivalent mixing conditions for random fields[J].Ann Probab,1993,21:1921-1926.

[4]Bryc W, Smolenski W. Moment conditions for almost sure convergence of weakly correlated random variables[J]. Proc Amer Math Soc,1993,119:629-635.

[8]毛用才,胡奇英. 随机过程[M].西安:西安电子科技大学出版社,2002.

[9]张卓奎,陈慧婵. 随机过程[M].西安:西安电子科技大学出版社,2003.

[10]尹国举,朱建华. 二阶矩模糊随机过程的均方收敛性[J].模糊系统与数学,2001,15(2):65-67.

[11]刘建平,王洪林.二阶矩模糊随机过程的均方收敛性[J].河北工程技术高等专科学校学报,2002,3:58-60.

[12]王进波.时标上的随机分析及应用[D]. 广东: 广东工业大学,2008:5.

[13]孙洪祥.随机过程[M].北京：机械工业出版社,2008.

[14]吴让泉,胡良剑.二阶模糊随机过程的均方收敛性及其应用[J].数理统计与应用概率,1998,13(3):175-182.

[15]袁野.不确定变量序列r阶收敛与二重收敛[D]. 苏州: 苏州科技学院, 2014：6.

On the mean square limits’ independence of independentm-dimensional real stochastic processes

LYU Fang,SONG Qiaozhen

(Department of Mathematics, Luoyang Normal University, Luoyang 471934, China)

It is proved that the mean square limits of two independentm-dimensional real stochastic vertor sequences are still independent.And the result was generalized to the case of finite-dimensional real stochastic vertor sequences and finite-dimensional real stochastic processes with continuous parameters.

real stochastic processes; real stochastic vertor sequences; mean square limits; independence

2016-05-18;

2016-06-28

吕芳(1980- )，女，河南焦作人，讲师，硕士，主要从事概率研究.

O211.62

A

1671-9476(2016)05-0026-04

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.006