与AM凸函数有关的积分不等式和单调函数

时统业,王斌

(1.海军指挥学院 信息系，江苏 南京 211800；2.海军蚌埠士官学校 航海系，安徽 蚌埠 233012)



与AM凸函数有关的积分不等式和单调函数

时统业1,王斌2

(1.海军指挥学院 信息系，江苏 南京 211800；2.海军蚌埠士官学校 航海系，安徽 蚌埠 233012)

利用凸函数与AM凸函数的关系，证明了AM凸函数存在单侧导数，并通过不等式建立了AM凸函数与其单侧导数的联系．在此基础上，用普通数学分析的方法获得了若干AM凸函数的不等式和单调函数．

AM凸函数；积分不等式；单调性

1　预备知识

定义1[1]设f(x)在区间I上有定义，f(x)在I上称为是凸(凹)函数，当且仅当：对任意x1，x2∈I，λ∈(0，1)，有

引理1[2]设f(x)为区间I上的凸函数，则f(x)在开区间(a，b)I内处处存在左、右导数(从而处处连续)，且对x，y∈(a，b)，x

引理2[3]设f(x)为[a，b]上的凸(凹)函数，则对任意x∈[a，b]，y∈(a，b)，有

定义2[4]设I(0,+∞)，f：I→(0,+∞)，若对任意x1，x2∈I和任意t∈[0，1]，存在r∈R，使得

则称f(x)是区间I上的AM凸(凹)函数，其中，当r>0时，称f(x)是I上的AMr+-凸(凹)函数，当r<0时，称f(x)是I上的AMr--凸(凹)函数．

引理3[4]设I(0，+∞)，f(x)是定义在I上的正值函数，则

(i) f在(a，b)内各点处的单侧导数存在；

(ii)对任意x，y∈(a，b)，x

(1)

(iii)对任意x∈[a，b]，y∈(a，b)，有

(2)

由此得

(iii)因g是[a，b]上的凸函数，由引理2可证得式(2)．

注2若f是AMr--凸(凹)函数，则引理4之(ii)中的不等式不变，而引理4之(iii)中的不等式反向．

引理5[5]设f是[a，b]上的连续凸函数，g在[a，b]上有连续的导函数且至多只有有限个零点，则有

引理6[4]设I(0,+∞)，f(x)是定义在I上的正的二阶可导函数，则

(i)f(x)为I上的AMr+-凸(凹)函数的充要条件是

2　主要结果

则有

(3)

证由引理4，对任意x∈[a，b]，有

(4)

(5)

在式(4)和式(5)中对x分别在[a，y]和[y，b]上积分后相加，则式(3)得证．

则有

(6)

(7)

则当r<1且r≠-1(r>1)时有

(8)

(9)

(10)

证由引理4及Young不等式有

(11)

因为0

(12)

对式(11)中的x，y在[a，b]×[a，b]上积分得

(13)

由式(12)、(13)，定理2得证．

证只对f是单调增加的AM-凸函数的情形证明，当f是单调增加的AM-凹函数时同理可证．对任意x∈(a，b)，有

那么

i)当r>0或r<-1时，u(x)在(a，b)上单调增加(减少)；

ii)当-1

证对任意x∈(a，b)，有

推论3设条件同定理4，则

那么

i)当r>-1时，Ψ(x)在(a，b)上单调增加(减少)；

ii)当r<-1时，Ψ(x)在(a，b)上单调减少(增加)．

证对任意x∈(a，b)，有

其中

由引理4，当r>0时，p(x)≥(≤)0；当r<0时，p(x)≤(≥)0．

推论4在定理5中，若又假设f在[a，b]上连续，则

i)当r>-1时，有

(14)

ii)当r<-1时，有

(15)

那么

i)当f是AMr+-凸(凹)函数时，θ(x)在(a，b)上单调减少(增加)；

ii)当 f是AMr--凸(凹)函数时，θ(x)在(a，b)上单调增加(减少)．

其中

i)当f是AMr+-凸(凹)函数时，有

ii)当 f是AMr--凸(凹)函数时，有

[1]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．2版．北京：高等教育出版社，2006： 268．

[2]刘三阳，李广民．数学分析十讲[M]．北京：科学出版社，2011：89．

[3]时统业，李照顺，夏琦．与MH凸函数有关的积分不等式和单调函数[J]．广东第二师范学院学报，2016，36(3)：23-29．

[4]宋振云．AM-凸函数及其Jensen型不等式[J]．淮北师范大学学报(自然科学版)，2015，36(1)：1-7．

[5]王良成．凸函数的两个积分性质[J]．达县师范高等专科学校学报(自然科学版)，2004，14(2)：12-13．

[6]杨军．用单侧导数判断函数的单调性[J]．四川师范学院学报(自然科学版)，2000，21(1)：108-109．

[7]李丹衡，邓远北．函数的左、右导数的应用[J]．高等数学研究，1999，2(3)：26-28．

Integral inequalities and monotone functions related to AM-convex functions

SHI Tongye,WANG Bin

(1.Department of Information，PLA Naval Command College，Nanjing 211800，China；2.Department of Navigation，PLA Bengbu Naval Petty Officer Academy，Bengbu 233012，China)

With the aid of relationship between convex functions and AM-convex functions，the existence of unilateral derivatives of AM-convex functions is proved，and the relation between AM-convex function and its unilateral derivative is established through inequalities. Based on this groundwork，integral inequalities and monotone functions for AM-convex functions are obtained by using mathematical analysis．

AM-convex function;integral inequality;monotonicity

2015-10-24;

2016-04-27

时统业(1963- )，男,河北张家口人，副教授，硕士，从事基础数学教学和研究，E-mail:shtycity@sina.com．

O178

A

1671-9476(2016)05-0011-05

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.003