光纤台灯的包络面

邱为钢

(湖州师范学院 理学院, 浙江 湖州　313000)



光纤台灯的包络面

邱为钢

(湖州师范学院 理学院, 浙江 湖州313000)

由变分原理推导了重力场中弹性杆的形状方程. 得到了竖直放置光纤开始弯曲时临界长度的数值结果. 数值模拟给出了光纤末端形成的包络曲面，并讨论了它与光纤长度的关系.

弹性势能；光纤；包络面

晚上当你关上大部分灯，点亮光纤台灯时，你会看到如图1所示的景象.

图1　光纤台灯的包络面

从侧面看，所有光纤末端亮的点组成一个包络面(图1中的虚线).我们会问，这个曲面有无解析表达式呢？这个曲面与光纤的哪些物理参数和几何参数有关呢？对于这些问题，假定光纤是一维弹性细杆，质量均匀分布，在文献[1]里可以找到解决问题的弹性杆的形状方程. 但理解这个方程，需要不少弹性理论的基本知识，大部分师范院校的力学和理论力学课程都没有深入阐述. 为让学过变分法的学生知道这个形状方程的由来，我们采用大家熟悉的能量法来推导[2].

弹性杆有两部分势能，一是重力场中的重力势能，二是弯曲弹性势能. 单位长度上的弹性势能与杆的曲率dθ/ds平方成正比，劲度(比例)系数是k[2]. 这样，弯曲光纤总势能是

(2)

其中s1=l/l0. 由解析几何知识可知

(3)

于是量纲归一化后的总势能V′为

(4)

假设切角θ(s)有变化，θ(s)→θ(s)+η(s)，其中变分η(s)满足边界条件η(0)=0. 忽略高阶小量，总势能式(4)有以下变化

(5)

对式(5)再次分部积分，得到

δV′=θ′(s1)η(s1)-θ′(0)η(0)+

(6)

对于任意的η(s)，式(6)为零，于是得到弯曲光纤的形状方程：

(7)

还得到边界条件θ′(s1)=0,即自由端曲率为零.

式(7)也与文献[1]中利用弹性理论得到的公式一致.

实际数值计算中， 以光纤下端固定点为原点，起始条件是

θ(0)=θ0,θ′(0)=α

(8)

给定光纤长度s1，由起始条件式(8)，数值求解式(3)和式(7)，再由边界条件θ′(s1)=0反过来确定式(8)中的参数θ0、α，就能确定光纤的形状.

当劲度系数k固定时，光纤竖直正放，即θ0=0，长度至少达到多长(临界长度lc)时，光纤才开始弯曲. 先定性分析，长度大而不弯曲，重力势能大，弹性势能为零；长度大而弯曲，重力势能减小，但弹性势能增大；所以光纤有一个临界长度，超过这个临界长度，竖直光纤开始弯曲，这也符合生活实践.文献[3]以圆木为例，半定量分析得到lc∝l0=(Yr2/ρg)1/3，其中Yr2相当于本文中的劲度系数k，但没有给出具体的比例系数值[注:文献[2] 85页倒数第6行中的(2.28) 式应为(2.29)式]. 当llc时，取θ0=0，定义一个函数为F(α)=θ′(s1，α)，即曲率在光纤端点的值. 这个函数没有解析式，只能通过数值求解微分方程组(3)和式(7)得到. 我们对比一下s1=3.0和s1=2.5时曲率端点值F(α)的图像，如图2(a)和图2(b)所示.图2中横坐标α和纵坐标F都是量纲归一化的数量，没有物理单位.

(a) s1=3.0

(b) s1=2.5图2　曲率端点值F(α)与初始曲率α的关系图

由图2看出，当s1=3.0，曲率初始值约为α=3.0；当s1=2.5，曲率初始值约为α=2.4. 当然，精确解可以通过数值求解F(α)=0. 它还有一个趋势，光线长度s1越小，曲率初始值α越小. 当光纤长度趋向于临界值时，曲率初始值α趋向于零. 数值计算得到的曲率初始值α与光纤长度s1的关系如图3所示 .图3中横坐标s1和纵坐标α都是量纲归一化的数量，没有物理单位.

图3　曲率初始值α与光纤长度s1关系图

精确数值计算发现，临界长度的定量结果是lc=1.9944l0.

当光纤斜放时，即θ0取不同的值，光线的末端组成一个包络面. 让我们对比一下光纤长度大于和小于临界长度时包络面的形状. 光纤长度分别取s1=2.5和s1=1.5，最大倾斜角为θmax=0.9. 数值模拟如图4所示.

(a) s1=2.5

(b) s1=1.5图4　光纤末端的包络面侧视图

由图4可以看出，当光纤的长度大于临界值时，重力因素大于弹性因素，光纤在重力作用下大幅下弯，包络面分为两支；当光纤的长度小于临界值时，重力因素小于弹性因素，光纤在重力作用下小幅下弯，包络面为一个整体曲面.

把图4(b)和图1对比，可以看出实际包络面和理论包络面相似，这说明光纤的弹性杆理论模型合理，也说明图1中光纤长度小于临界值. 本文可以作为CUPT的候选题，有兴趣的学生可以实际测量光纤的弹性系数、长度、光纤台灯的包络面，与本文的理论预言作对照.

[1]朗道，栗弗席兹. 弹性理论 [M]. 5版. 北京：高等教育出版社，2011：80-82.

[2]刘建林. 细长杆弹性线模型的发展历史[J] .自然杂志，2013，35(5)：372-377.

[3]赵凯华. 定性与半定量物理学 [M ]. 2版. 北京：高等教育出版社，2008：85-86.

The enveloping surface of optical fiber desk lamb

QIU Wei-gang

(School of Science,Huzhou Teachers College, Huzhou, Zhejiang 313000, China)

The shape equation of elastic rod in the gravity field is derived from the variation principle. The numerical result of critical length is given for the vertical optical-fibre bend. The enveloping surface of optical fiber is simulated. Dependence on the fiber length is also discussed.

elastic potential; optical fiber; enveloping surface

2015-02-13；

2015-05-27

国家自然科学基金(11475062，11275067)、湖州师范学院中青年教师卓越教学能力培养计划专题项目(2014ZYJH017)资助

邱为钢(1975—), 男, 江苏张家港人，湖州师范学院理学院副教授，博士，主要从事大学物理的教学和研究工作.

O 343.1;O 302

A

1000- 0712(2016)03- 0027- 03