考虑空气阻力时空竹的斜抛运动

郝成红, 黄耀清, 王　欢,洪　炎, 李梓菁, 段俊生

(上海应用技术学院 理学院，上海　201418)



考虑空气阻力时空竹的斜抛运动

郝成红, 黄耀清, 王欢,洪炎, 李梓菁, 段俊生

(上海应用技术学院 理学院，上海201418)

研究马格努斯效应的旋转抛体运动，考虑质心运动方向上的阻力作用，得到运动方程的严格解析解.

马格努斯效应；旋转抛体；轨迹

“当一个圆柱体绕自身轴线旋转并且有流体在垂直于该轴线方向流过时，它会受到一个垂直于流动方向的横向力，力的方向总是从来流方向与圆柱面上线速度是相反的那一边指向是相同的那一边”[1]，这种现象称为马格努斯(Magnus)效应. 文献[1]讨论了空竹的下落运动，但是没考虑到空气阻力的作用. 本文研究空竹在空气中以某一出射角和初速度旋转抛出，并考虑空气对抛体运动的阻力作用，给出了运动方程的严格解析解.

1　旋转抛体运动的理论计算

如图1所示，建立Oxyz直角坐标系，Oxy平面垂直地面，设旋转抛体的自转轴与Oz轴平行.

图1

设ω是抛体旋转的角速度，方向指向Oz轴正向，为简化计算，将其设为常矢量. v是抛体质心速度.μ是与流体性质及物体大小、几何形状相关的常量.

旋转抛物体在运动过程中受到3个力的作用,即由马格努斯效应所产生的垂直于旋转轴的横向力F、空气阻力F阻和重力FG作用.

根据马格努斯效应，横向力F表示为

F=μ(ω×v)

(1)

F垂直于ω和v所确定的平面.

空气阻力F阻为[2]

F阻=-kv

(2)

其中k是空气阻力系数.

重力FG为

FG=mg

(3)

其中m为旋转抛体的质量，g为重力加速度.

根据质心运动定理，旋转抛体的运动微分方程为

(4)

由式(4)中第1式解出

(5)

将式(5)代入式(4)第2式，得到

(6)

式(6)的齐次方程特征根方程为

(7)

方程的特征根是

(8)

(9)

设t=0时，旋转抛体质心的初速度为v0，方向与Ox轴的夹角为α.可以解得C1、C2分别为：

(10)

(11)

将式(10)、式(11)代入式(9)得

(12)

把式(12)代入式(4)第2式，得

(13)

为了简化表达式，令

(14)

(15)

(16)

(17)

2　讨论

给定式(16)、式(17)中各参量(v0、α、μ、ω、m、k)，并取g=10 m/s2.给出图2—图9各参量值(见表1).图2—图9是经过数值计算得到的旋转抛体质心的运动轨迹.

表1

图2

图3

图4

图5

图6

图7

图8

图9

1)k=0，ω≠0，即不考虑空气阻力时，有

(18)

(19)

即文献[1]的结果.

2) 当ω=0，k≠0，即当物体不旋转时,有

(20)

(21)

得到文献[4]的结果.

3) 当ω=0，而k很小或趋近于零时，求式(20)、式(21)k→0时的极限，得

x(t)=(v0cosα)t

(22)

(23)

即为不考虑空气阻力的斜抛运动.

4) 其他参量不变，只改变v0的3种典型运动模式.

图2、图3和图4所给出的运动轨迹是固定了初速度v0之外的其他参量，只改变v0的大小得到的3种典型的运动模式. 其中图3是图2中曲线最高点与回转交叉点重合为一个点的临界状态，图4则是速度减小，不能完成回旋而直接进入下降状态.

6)A=0和B=0的两种情况.

旋转抛体的运动必须考虑到马格努斯效应的影响. 主要的因素是抛体旋转角速度ω和抛体质心线速度v，以及空气的阻力. 本文的理论结果与旋转抛体实际的轨迹会有一定的偏差, 其原因之一就是没有考虑到角速度随时间变化的情况，而实际抛体的转动角速度一定是时间t的函数. 如果实验过程很短，可以认为角速度ω的变化很小, 则偏差就会小一些.

[1]于凤军.马格努斯效应与空竹的下落运动[J].大学物理，2012，31(9)：19-21.

[2]郝成红.考虑空气阻力的抛体射程[J].大学物理，2008，27(12)：21-22.

[3]盛祥耀，胡金德，陈魁,等.数学手册[M].北京：清华大学出版社，2005：243.

[4]马文蔚.物理学教程：上册[M]. 北京：高等教育出版社，2002：44.

The projectile motion of diabolo with air friction

HAO Cheng-hong, HUANG Yao-qing, WANG Huan,HONG Yan, LI Zi-jing, DUAN Jun-sheng

(School of Science, Shanghai Institute of Technology, Shanghai 201418, China)

Considering the interaction of friction in motion direction of mass center of projectile body, we have studied the motion of rotating projectile on Magnus effect. There is an exact solution of motion locus to present.

Magnus effect; rotating projectile; locus

2015-07-29；

2015-09-30

上海应用技术学院高校实验技术队伍建设项目(1021NH153004008-2015)、上海应用技术学院教师发展中心教学改革项目(4521ZK140007111)资助

郝成红(1960—)，男，黑龙江双城堡人，上海应用技术学院理学院副教授，主要从事大学物理教学及研究工作.

黄耀清，E-mail:huangyaoqingsit@126.com

O 313.3

A

1000- 0712(2016)03- 0015- 03