耦合共振管的频率特性研究

孙月香，李　媛，白在桥

(北京师范大学 物理学系，北京　100875)



耦合共振管的频率特性研究

孙月香，李媛，白在桥

(北京师范大学 物理学系，北京100875)

用声功率法测量了耦合共振管在不同耦合强度下的频率特性，发现随着耦合强度的增大，耦合共振管的频率的回避交叉现象越明显，这与量子力学中能级的回避交叉具有数学上的相似性.

耦合共振管；声功率；共振回避交叉

声学共振管是大学基础物理实验常见教学仪器，通常的实验内容有测量声速、共振频率以及管内声压分布等.我们在管子内部放置一个有孔的隔板，就得到两个耦合的共振管.这个系统可以类比于经典力学中的两个耦合的弹簧振子，或者量子力学中一维双势阱中的粒子.在这类系统中存在两个接近的共振频率(经典力学)或能级(量子力学)，而随着系统参数(比如隔板位置、弹簧劲度系数或中间位垒位置)的改变，共振频率或能级一般会出现回避交叉的现象[1].本文介绍了利用耦合共振管对这一有趣现象的实验研究.

共振管实验的关键是共振频率的测量.在通常的实验中，学生普遍根据听到的声音(或麦克风采集到的信号)的强度达到极大值来确定共振频率，但是由于人耳的分辨率有限，而且接收信号与人耳或麦克风的位置有关，加之麦克风也会对管内声场有所影响，这种方法会影响共振频率测量的准确性.本文采用直接探测扬声器声功率的方法来确定共振频率，具有简单易行且测量准确的优点.

1　简化模型

根据(不含时)波动方程之间的相似性，管的共振频率与一维双势阱中粒子的能级之可以建立严格的对应关系[2]，这里我们用一个简化的模型对此进行说明.

图1　耦合弹簧振子模型示意图

(1)

(2)

2　装置与方法

本实验采用的共振管是长为1 m、内径为79 mm的有机玻璃管.在管的一端放置一个扬声器，并将另一端封闭起来.管子中间放入一个有孔的隔板，将管子分成两个共振腔.改变隔板的位置，可以改变两个共振腔的长度，从而使共振频率有所改变.我们选用不同开孔半径的隔板来改变两个共振腔的耦合强度(开孔半径越大，耦合强度越大).具体地，本文采用的隔板开孔半径为r1=0.5R、r2=0.25R、r3=0.125R(R为共振管内径).同时，隔板的边缘嵌入了一块强磁铁，这样就可以在管外用磁铁吸引，改变隔板的位置.

为了测量扬声器的功率，将扬声器与一个已知阻值的电阻串联，接入信号发生器(RIGOL DG1022)的输出端.信号发生器的频率可以通过VISA由LABVIEW程序控制.用数据采集卡(USB6009)采集扬声器两端的电压与电阻两端的电压，得到扬声器两端的电压信号和流过它的电流信号.整个实验装置如图2所示.

图2　实验装置图

测出电压与电流信号的有效值以及它们的相位差(经过采样顺序修正)，根据能量守恒，声功率可以由下式计算：

P声=P总-P热=UIcosφ-I2R

(3)

其中U、I分别为电压和电流的信号的有效值，φ为它们的相位差，R为扬声器线圈的直流电阻.扬声器的声功率反映了管内声场的强度，我们在一定范围内控制扫描信号的源输出频率，测得每个频率对应的声功率，找到声功率的峰值所对应的频率，即可确定共振频率.

3　结果与分析

取r1=0.5R的隔板，使它与扬声器的距离在42 cm与58 cm之间变化，在每个位置上测量共振曲线，结果见图3.

图3　隔板不同位置处的共振曲线

可以看出，随着隔板逐渐向中间靠近(两管长逐渐相等)，两个共振频率逐渐靠近，但不会重合，而是在管长近似相等的地方发生“排斥”，然后逐渐远离.从图3中读出共振频率，结果见图4，从中可以更清楚地看出共振频率排斥现象.

图4　隔板不同位置对应的共振频率r1=0.5R

进一步观察，可以发现在每条共振曲线上，两个共振峰的高度一般有明显的不同：峰值较大的对应主要发生在前管(距扬声器较近)的共振，峰值较低的对应主要发生在后管(距扬声器距离较远)的共振.所以，虽然共振频率发生了排斥，共振模式却发生了“隔空穿越”.

对于另外两个孔径的隔板也有类似的现象，只不过孔径越小，两个共振频率能够达到的最近距离越小(排斥作用越弱)，同时共振曲线上两个模式对应的共振峰的高度差越显著.

图5　隔板不同位置对应的共振频率(r2=0.25R)

图6　隔板不同位置对应的共振频率(r3=0.125R)

为了与理论比较，我们计算了简化模型的频率特性.在系数矩阵A中代入k和m对l的依赖关系，可得

(4)

其中，l1和l2为两个共振腔的长度(l1+l2等于总管长).我们假设耦合系数在参数变化范围内保持不变，并乘以适当的标度系数使计算的共振频率与实验数据在数量级上相当，结果见图7，可以看出，理论模型与实测结果在定性上完全相同.事实上，这种特征值回避交叉的行为具有普遍性，与模型的细节无关[2].

图7　隔板不同位置对应的共振频率(数值模拟)

4　总结

通过对传统声学共振管进行简单的改造，并利用LABVIEW控制信号发生器和测量扬声器的声功率，我们搭建了耦合共振管频率特性自动测量系统.利用这个系统在实验上演示了耦合系统的共振频率排斥现象.在数学上，这个现象与量子力学中的能级回避交叉有完全相同的解释.这种经典振动系统与量子体系的类比，为我们理解量子力学现象提供了有益的图像.

[1]Cohen-Tannaoudji, Claude, et al. Quantum Mechanics (Vol. 1)[M]. Germany: Wiley-VCH,1992:409.

[2]Hilbert S, Batelaan H. Acoustic analog to quantum mechanical level splitting[J]. American Journal of Physics, 2007, 75(11):1003-1008.

Study of avoided crossing in coupled acoustic resonant tube

SUN Yue-xiang, LI Yuan, BAI Zai-qiao

(Department of Physics, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

In this paper, we apply acoustical power method to measure the frequency characteristics of the couple acoustic resonant tube under different coupling strengths. Our experiments show that the phenomenon of avoided crossing in coupled acoustic resonant tube is more obvious as the coupling strength increases. The mathematical similarity between acoustic systems and quantum mechanical is also shown.

coupled acoustic resonant tube; acoustical power; avoided crossing

2015-05-08；

2015-09-17

孙月香(1992—)、女，山西太原人，北京师范大学物理系2012级本科生．

大学生园地

O 321

A

1000- 0712(2016)02- 0048- 04