两个带同性电荷导体球之间一直保持排斥力的条件

李　多, 李兰秀, 陈家伟

(1.北京师范大学 物理学系，北京　100875； 2. 北京师范大学 系统科学学院，北京　100875)



两个带同性电荷导体球之间一直保持排斥力的条件

李多1, 李兰秀1, 陈家伟2

(1.北京师范大学 物理学系，北京100875； 2. 北京师范大学 系统科学学院，北京100875)

两个带同性电荷导体球之间的相互作用是大学物理教学中的重要问题.已有研究结果表明：在一般情况下两球之间会存在吸引力，但在两球电荷与半径比值相关的特殊条件下，两球之间会一直是排斥力.本文首先通过相互作用的定性讨论，推广了两球之间一直是排斥力的条件，拓展了两球之间一直是排斥力的参数区间.然后利用由系列电象法求出的两导体球的电容系数，用数值计算方法验证了定性分析的结论，发现两个带同性电荷的导体球确实可以在更宽泛的参数条件下一直保持排斥力.

导体；电势能；电容系数；相互作用

两个同性带电导体球之间的相互作用，是大学物理教学中一个非常令人感兴趣的问题，《大学物理》杂志已发表多篇文章对此作过讨论[1-4].已有研究指出，在一般情况下，作用力可以有斥力、为零和吸引力的复杂情况[5-7]，国内外学者使用不同方法也给出了类似的研究结论[8-12].在关于这一问题的研究中，一个有趣的问题是：什么条件下两球将始终为斥力呢？文献[4]指出，两个同性导体球始终表现为斥力，并不仅仅限于R1=R2、Q1=Q2的情况.给定两导体球的半径R1≠R2时，只要导体球带同性电荷且电量Q1和Q2满足一定的比例关系，则两球始终表现为斥力，为回答这一问题做出了可贵的贡献.国外学者的研究也有类似的结论，例如John Lekner教授就在2012年的研究结论中指出：除非两球的电荷比例和半径比例满足一定的条件(电荷按照两球接触后达到静电平衡时的比例分配)，两球的相互作用不会是始终排斥的[9].以上研究结果加深了我们对同性带电导体球之间相互作用的认识.接下来的问题是：特定的比例关系是两同性带电导体球始终排斥的充分必要条件吗？两个带同性电荷的导体球之间，能否在更宽泛的参数条件下，一直保持相互排斥的作用力呢？在本文中，我们首先通过对两个半径相等的带电导体球之间相互作用的定性讨论，论证两个导体球可以在更宽泛的电荷比例条件下始终保持相互排斥，然后利用系列电象法获得解析结果[8]，通过计算机数值计算方法，针对半径相等以及半径不等的更一般的情形，从数值上验证了以上结论，对两个带同性电荷导体球之间的相互作用给出了更完整的物理图像.

1　电容、电势系数，电势能与作用力

设有两个导体球Ⅰ和Ⅱ，半径分别为R1和R2，球心间的距离为d(d=R1+R2+x，x>0).则两个导体球上的电荷量Q1、Q2和电位V1、V2满足以下关系：

Q1=C11V1+C12V2，

Q2=C21V1+C22V2

(1)

或

V1=P11Q1+P12Q2，

V2=P21Q1+P22Q2

(2)

其中C和P分别是电容系数和电势系数，由两球大小及相对位置决定，系数之间有以下关系：

(3)

导体球系统的电势能为

(4)

而两球之间的相互作用力则为

(5)

本文中我们只关心两带同性电荷导体球的相互作用，所以在以下讨论中Q1和Q2为同号电荷.

2　两个半径相等的带同性电荷导体球之间的相互作用

(6)

已知当两球电量相等时，即Q1=Q2=Q时，两球间将始终为排斥力，所以有

(7)

(8)

3　利用电容系数级数解的数值计算结果

为了验证以上结果，同时得到两球间相互作用的全面图像，我们利用电容系数的解析结果进行了数值计算.为了使数值结果准确可信，我们使用了文献[3]和文献[5]中提供的两种电容系数解析表达式，文献[3]给出：

(9)

其中

(10)

文献[5]给出：

(11)

其中

(12)

数值计算中取R1=R2=1.0，最小距离单位为110-8，求和项数为1000项，全部使用双精度运算，结果发现两个表达式所给出的结果基本一致，并与文献[3]中相应结果相同.计算的基本程序是：首先按照电容系数的级数解得到电容系数与两球心间距的函数关系，然后根据定义计算电势系数P11、P12及其对两球球心间距的偏导数和，进而根据式(8)得到在给定参数m的情况下两球间的相互作用力跟两球间距之间的函数关系.

表1　数值计算结果

通过决定两球体系电势能式(4)以及相互作用力的式(8)，我们可以计算出导体球体系电势能曲线和相应的相互作用力曲线，图1就是在不同电荷比例下相互作用力的变化曲线.不失一般性，我们只给出了m>1的结果，m的取值标注在相应的曲线旁.从相应曲线变化中可以看出，当电荷比在m=1.0附近时(数值计算结果为m在1.0～1.043 8之间)，体系的电势能单调下降，两个导体球之间只存在排斥力；而当电荷比大于1.0438时，两导体球之间才会出现吸引力.因此，当两个导体球半径相等时，Q1=Q2只是两个导体球一直仅仅存在排斥相互作用的充分条件，并不是必要条件.

图1　给定不同电荷比例m值时，相互作用力随两球间距的变化.可以发现，在m=1(虚线)和m=1.04(实线)时，两导体球之间都会一直保持排斥力

在更一般的情形下，任意给定两导体球的半径R1和R2，文献[4]证明了在如下的电荷比例关系下，两球将始终保持为斥力：

(13)

其中d=R1+R2. 取R1=1.0，Q10=1.0，且R2=R1/2.0，则满足式(13)要求的电荷比例为Q20=0.290 072，在此基础上，我们改变导体球Ⅱ的电荷使Q2=mQ20，可以得到与第二节中定性一致的电势能和作用力变化曲线，说明我们的相关结果具有一般意义.也就是说，严格的比例关系，仅仅是使得同性导体球之间一直保持为斥力的充分条件，并不必要.在一个更为宽泛的参数条件下，同性导体球之间仍然可以一直保持为斥力.

4　小结

以上定性分析和数值计算结果，使我们对两同性带电导体球之间的相互作用有了一个更为完整的理解，特别是关于两个同性导体球一直保持为斥力的条件.给定两个导体球半径，由式(13)可以确定两球的标准电荷比，研究发现，当两球的电荷满足这一标准比例关系或仅仅与之相差一个小的比例系数时，两球将始终保持相互排斥.严格的比例关系，仅仅是使同性导体球之间一直保持为斥力的充分条件，并不必要.在一个更为宽泛的参数条件下，同性导体球之间仍然可以一直保持为斥力.

[1]丁锐猛，陈乃强.关于两个带电导体球相互作用力问题的讨论[J].大学物理，1983(4)：17-21.

[2]曹家骏.两个带等量异号电荷的金属球间的相互吸引力[J].大学物理，1984(11)：19-21.

[3]曹家骏.两带电金属球相互作用力[J].大学物理，1986(3)：8-11.

[4]童国平.两相互接触的同性带电导体球表现为斥力的条件[J].大学物理，1990(1)：25-27.

[5]赵先林，李金铭.关于两个带电导体球相互作用力问题的讨论[J].河南教育学院学报(自然科学版)，2000，9(4)：12-15.

[6]欧红叶，胡先权.两个带电导体球之间相互作用力的计算[J].重庆师范学院学报(自然科学版)，2003，20(2)：90-92.

[7]张国清，时建平.关于两个带电导体球的相互作用力问题[J].常熟理工学院学报，2005，19(2)：33-37.

[8]Guo-ping Tong.Electric charge on the wire connecting two spheres[J]. Am J Phys, 1994, 62 (8)：709-712.

[9]John Lekner. Electrostatics of two charged conducting spheres[J].Proc R Soc A, 2012, doi:10.1098/rspa.2012.0133.

[10]Shcherba E A,Grigor’ev A I , Koromyslov V A .On Interaction of Two Closely Spaced Charged Conducting Spheres[J].Technical Physics,2002,47(1):13-17.

[11]Grashchenkov S I. On the Force of Electrostatic Interaction between Two Conducting Spheres[J].Technical Physics, 2011,56(7):914-918.

[12]Kiril Kolikov, Dragia Ivanov, Georgi Krastev, et al.Electrostatic interaction between two conducting spheres[J]. Journal of Electrostatics,2012,70:91-96.

The condition for two conductor spheres with the same charge always keep repel

LI Duo1, LI Lan-xiu1, CHEN Jia-wei2

(1. Department of Physics, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;2. School of System Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

When two conductor spheres are charged with the same charge, their interaction is an interesting problem for both research and teaching. Through the qualitative discussion and the numerical simulation, the condition for the two spheres with the same charge always keep repel is extended. Based on the relationship of the electric potential energy and the distance between two spheres, the general condition for two spheres are always repelling is given. It is found that the previous condition with exactly ratio of radius and charges is actually the sufficient condition. In more general conditions, two spheres with the same charges can keep repel all along.

conductor; electric potential energy; electric capacity coefficient; interaction

2015-05-25；

2015-10-09

国家社会科学基金项目(14BSH024)资助

李多(1978—)，女，黑龙江伊春市人，北京师范大学物理学系高级实验师，硕士，主要从事大学物理演示实验的研究工作.

O 441.6

A

1000- 0712(2016)02- 0017- 04