用功能原理分析秋千的摆动与旋转
2016-10-15于凤军
于凤军
(安阳师范学院 物理与电气工程学院,河南 安阳 455000)
用功能原理分析秋千的摆动与旋转
于凤军
(安阳师范学院 物理与电气工程学院,河南 安阳455000)
采用非惯性系处理内力做功问题,应用功能原理分析秋千的摆动与旋转现象.
秋千;振动;旋转;功能原理;内力做功
秋千振荡是一种有趣的共振现象,对此不少文献[1-6]都做过研究. 研究方法大体分两种:一种是求解参数振动的微分方程[2-5],另一种是从人在最低位置时突然升高过程中的角动量守恒出发[5,6](以下简称“角动量守恒法”)导出人体的动能增加,并解释秋千的振幅越来越大的现象[5].除这两种方法外,还可以先把上述动能的增加推断为内力做功的一部分,再加上另一部分(人抵抗重力做功部分)计算出内力总功,最后由功能原理解释机械能增大现象[6]. 本文不使用角动量守恒定律,直接从功能原理出发(以下简称“功能原理法”)分析这一现象. 对于秋千的旋转运动,在相关文献中尚未见到介绍,本文也讨论之.
1 秋千的摆动
设秋千的悬点O通过一个支架与地面固结,在O处装有光滑铰链,秋千踏板通过一个刚性杆与该铰链相连,人的脚底固结在秋千踏板上. 取人体、地球 (把秋千设备包含在地球内)为研究系统. 这时系统无外力作用,内力包括:人体与地球之间的引力(重力)、人脚与秋千踏板之间的压力、秋千设备与地球之间在点O处的约束力、人体内部各组织之间的相互作用力. 在荡秋千过程中,因重力是保守力,如果取机械能中包括重力势能,就不能考虑重力做功;人脚与秋千踏板之间无相对位移以及铰链是光滑的,故相应的内力不做功;人体内部各组织之间有相对位移,因此人体内力做功. 在忽略空气等阻力因素的前提下,人体内力做功是系统机械能变化的唯一因素.
如图1,假设人体质心的最低位置为A,t=0时刻人体质心处在最低点A,以速度v0沿水平方向向左运动. 显然,秋千在每一个运动周期中,人体通过点A时要站起2次,该质心有两次闭合循环运动,其一为左侧循环:A→B→C→D→A,我们把该循环定义作第n次(n取奇数)循环,设该循环对应的最大摆角φn=∠AOD,循环结束瞬间质心在点A的速度为 vn(方向朝右,因结束前质心从D向A运动);其二为右侧循环:A→B→N→M→A,我们把此循环叫做第n+1次循环,设此循环对应的最大摆角φn+1=∠AOM,循环结束瞬间人体质心在点A的速度为 vn+1(方向朝左,因结束前质心从M向A运动). 需要说明二点:vn既是第n次循环结束瞬间人体质心在点A的速度,也是第n+1次循环开始瞬间人体质心在点A的速度;图1中vn+1和vn是质心在同一点A不同时刻的速度.
图1
(1)
(2)
(3)
式(3)是一个递推公式,利用恒等式x=eln x和级数展开ln(1+y)≈y(y<<1),式(3)变为
(4)
即系统机械能随人体的站起次数n作指数增加. 另外,DA过程中的机械能也是守恒的,即
(5)
由式(4)和式(5)得
(6)
上式中正负号分别对应n为偶数和奇数,φn为负时,表示摆动到左侧,φn为正时,表示摆动到右侧. 以上推导中,除对ε<<1(或h< 取v0=1 m/s,R=5 m,ε=0.02,g=9.8 m/s2,由式(6)作秋千摆幅φn随n变化的关系如图2. 由图2可知,随人体站起次数增加,秋千摆幅愈来愈大,这与实际情况定性相符. 图2 图3 (7) 由功能原理得相邻两周的系统机械能增量为 (8) 即机械能之差为常数,机械能随人体站起次数按算术级数增加,而秋千摆动时人体相邻两次经过A点的机械能之比为常数(见式(3)),机械能随人体站起次数按几何级数增加. (9) (10) 小结:从文献[5]、文献[6]和本文的讨论过程上看,“角动量守恒法”可以使学生加深对角动量守恒定律的理解,直观地理解秋千振幅增大的机理;“功能原理法”可以使学生加深对功能原理的理解,直观地理解荡秋千过程中的能量转化问题,两种方法在物理上各有特色. 在处理秋千旋转问题时,应用“功能原理法”并且采用非惯性系处理人体内力做功问题,推导过程会更加简便. 当忽略摩擦阻尼时,荡秋千摆动时系统的机械能随人体的站起次数按几何级数增加,而秋千旋转时它按算术级数增加,这是秋千的旋转和摆动的主要区别之一. [1]漆安慎,杜婵英. 普通物理学教程:力学[M]. 北京:高等教育出版社,1997:292. [2]刘世清. 秋千非线性参变共振的分析[J] . 大学物理,2001, 20(10) : 15-17. [3]刘世清. 秋千非线性参变共振解的简单推导[J] . 大学物理,2004, 23(4) : 30-31. [4]付茂林, 邹喜洋, 刘世清. 一个新的秋千参激振动的数学模型 [J] . 大学物理,2004, 23(7) : 13-15. [5]佘守宪. 秋千——力学模型,初等分析与参数共振微扰解析解 [J] . 大学物理,2005, 24(5) : 5-12. [6]贺承绪, 张可,等. 关于荡秋千的能量分析[J] . 物理与工程,2005, 15(1) : 25-26. An analysis of oscillation and rotation of swing with the principle of work and energy YU Feng-jun (College of Physics and Electrical Engineering, Anyang Normal University, Anyang, Henan 455000, China) :By using internal force doing work in non-inertial frame, the oscillation and rotation of swing are analyzed based on the principle of work and energy. swing;oscillation;rotation;principle of work and energy;internal force doing work 2015-03-30; 2015-07-26 于凤军(1959—),男,河南安阳人,安阳师范学院物理与电气工程学院教授,主要从事理论物理、天体力学研究和教学工作. 教学讨论 O 313.1 A 1000- 0712(2016)02- 0014- 032 秋千的旋转