电场场域可视性复杂网络模型研究

刘晓明　李俐莹　蔡　巍　赵　海

(1.天津工业大学电气工程与自动化学院　天津　300387 2.沈阳工业大学电气工程学院　沈阳　110870 3.东北大学信息科学与工程学院　沈阳　110819)



电场场域可视性复杂网络模型研究

刘晓明1，2李俐莹2蔡巍3赵海3

(1.天津工业大学电气工程与自动化学院天津300387 2.沈阳工业大学电气工程学院沈阳110870 3.东北大学信息科学与工程学院沈阳110819)

应用复杂网络作为分析手段，提出基于可视性原理的场域可视性建网方法，分析了电场的内在特性，挖掘出电场包含的重要信息。通过对平板电极均匀电场以及高压SF6断路器稍不均匀电场进行复杂网络模型构建，引入复杂网络理论对电场场域分布进行研究，发现平板电极均匀电场网络呈现出规则网络特点，不同开距下的SF6断路器灭弧室内稍不均匀电场网络均具有无标度及小世界特性，属于复杂网络特征。结果表明，场域可视性方法建立网络继承了电场的部分特性，通过引入复杂网络理论，可从一个新的视角来研究电场分布。

复杂网络场域可视性高压SF6断路器静电场

0　引言

高压电力装备的现代化设计和分析中，绝缘设计是基本的研究问题之一，其大部分工作是以电场数值计算为基础而进行的。为提升断路器的绝缘性能、介质击穿电压以及改善断路器的熄弧能力，需对断路器内部电场进行合理设计[1-5]，充分考虑电场均匀性，使极间及整个场域电场分布尽可能均匀。

高压断路器灭弧室内电极几何结构复杂，电场一般用非线性控制方程组进行描述，具有高度的时空不均匀性。电场中时空上的微小变化即可引起电场分布发生较大变化，一般来说，电场的分布是复杂的。目前的电场数值计算一般可求得场域中各点的电场电位值以及电场强度值。为了提高开关的绝缘性能，需深入研究高压电场的内在特性。高压电气设备绝缘击穿的过程和击穿机理在不同的电场分布中(如均匀、稍不均匀和极不均匀电场)是不同的，但要在稍不均匀和极不均匀电场中划出清楚的界限则极其困难。因此在场域分析上，需从电场系统层面的本质出发，研究单点不具备而系统具有的特征。

复杂网络理论兴起于20世纪90年代，是解释非线性理论的两大经典理论之一，根据个体之间的相互作用可反映出系统整体性质与行为，对复杂系统的抽象特征进行描述，凸显了元素之间的关系，进而捕捉了在这种关系基础上复杂系统的演化规律、机制及系统的整体行为等特征[6-9]。目前复杂网络已广泛存在于人们的生活中，如万维网、生物网、地震网、电力网络、脑网等[10-15]。构建复杂网络的基本途径有两种：一是以实际系统拓扑为基础，简化系统结构，抽象出系统节点与边(如在电力网络中[16]，节点表示变电站和发电厂，边表示输电线路)；二是基于非线性时间序列复杂网络的动力学分析，通过相空间重构方法或可视方法进行复杂网络的构建(如文献[17]提出的相空间重构方法，文献[18，19]提出的可视图及水平可视建网方法)。

在可视图建网基础上，本文提出了场域可视建网方法，以典型的平板电容均匀电场及SF6断路器灭弧室内稍不均匀电场为研究对象，建立电场场域网络。研究表明，场域可视性建网方法建立网络继承了电场的部分特征，复杂网络理论为电场的研究提供了全新而有效的手段，可用于深入研究电场的演化规律。

1　场域可视性建网方法

L.Lucas等于2007年提出了可视图建网方法(Visibility Graph，VG)，直观、简便而有效地构造网络，将复杂网络理论用于时间序列的分析，提取了序列的几何结构特征，被广泛应用于时间序列分析中[20-22]。此后，L.Luque等提出了更加简单有效的建网方法——水平可视图方法(Horizontal Visibility Graph，HVG)。文献[23]提出了穿越可视图建网方法(Limited Penetrable Visibility Graph，LPVG)，用于两相流的流型分析，在抗噪性能上得到了更好效果。

可视图建网方法将时间序列简洁有效的转换成复杂网络，对于离散时间序列，将离散点定义为网络节点，节点之间满足可视性准则的连线定义为边，算法基本思想如图1所示。选取的周期时间序列的20个数据点如图1a中所示，若两个数据顶端相互“可视”，两个顶点的连线不与其他数据相交，则认为这两个节点在网络中相连。图1b中每个点与时间序列中各点相互对应，点与点之间的连边与时间序列中数值的可视线一一对应。

图1　时间序列可视图建网[18]Fig.1　Illustrative example of the visibility algorithm[18]

可视建网规则：时间序列中任意两节点(ta，ya)和(tb，yb)如果相连，那么对于位于两节点中的任意点(tc，yc)满足

(1)

可视图建立网络具有如下性质：①网络中的节点至少和其左右相邻的节点相连；②无法定义连接的方向，网络为无向网络；③网络经历水平或垂直方向的仿射变换后可视性不变。

可视图方法建立网络继承了时间序列的部分特征，揭示了序列本身隐含特性。周期时间序列经可视图建网方法转换为规则网络，随机时间序列转换为随机网络，而分形时间序列转换为无标度网络。

可视性概念的核心是“视觉”上的通达性，本质上是点与点之间构成“直视线”。而实际中，如通信信号场强分析、噪声污染等问题也是“可视性”的，而电磁信号、声波信号以辐射的方式传播，传播过程中会发生衍射、折射等不同的光线传播形式，其“视线轨迹”不再是直线。

因此，扩展可视的概念，将其重新定义为两点之间沿特定轨迹的“可通达”性。可视性分析中的各点定义为“目标对象”，根据可视的相互性原理，点与点之间有可视线存在即连边，视线定义为“目标对象”间的通达轨迹，区别于传统意义上的“直视线”，可以是不同形态的轨迹。

重新定义可视性概念，并在VG建网方法的启发下，将可视性合理延展到二维电场分析中，建立电场可视性网络，选取X-Y平面内的部分离散点，用来描述电场网络构建，建网方法如图2所示。

图2　场域可视性建网Fig.2　Illustrative example of the field visibility method

电场二维平面内的部分离散点的电场强度值如图2a所示，X-Y平面内各离散点的电场强度值用该点空间上的高度表示。图2b中的每个点与电场场域中的数据点一一对应，点和点之间的连线代表电场数据之间的可视线。根据建网规则，选取图2a中A、B、C、D四点进行观察，以A、C两点为例，将A、C两点的顶端A′、C′连线，以A′C′为半径，以A′点为圆心，形成扫掠平面S，观察图中面S与BB′是否相交，若相交，则认为电场场域中的A点与C点不可视，即网络中的a点与c点不连边；反之则可视，网络中的a点与c点连边。根据观测，可知面S与BB′相交，即A点的顶点A′与C点的顶点C′不可视，网络中a点与c点不连边。反观A点与D点，两点形成的扫掠面不与任何点相交，即电场场域A、D两点的顶端A′、D′可视，网络中a、d点之间形成连边，以此构建网络。

(2)

则Pa与Pb两点之间连边，否则不连边。建立网络具有如下性质：①每个点至少与其空间相邻的点相连；构成的网络为无向网络；②网络中的节点具有明确的空间位置；③网络经过旋转、平移、缩放仿射变换后可视性不变。

2　基于场域可视性方法复杂网络建场域网络模型

以平板电容均匀电场及SF6断路器灭弧室内稍不均匀电场分布为对象，基于场域可视方法分别构造网络，通过计算网络的度分布和聚类系数等特征参数，分析该方法能否有效继承电场的一些特征以及凸显出电场分布中的重要信息。

以平板电容电场为研究对象，其结构如图3所示，平板电极尺寸100 mm×100 mm，板间距4 mm，加载电压100 V。高压SF6断路器灭弧室结构示意图如图4所示，断路器行程260 mm、超程68 mm。

图3　平板电容电场结构示意图Fig.3　Schematic diagram of the plate capacitor electric field

图4　断路器结构示意图Fig.4　Schematic diagram of the circuit breaker structure

平板电极及高压SF6断路器灭弧室内电场电位分布满足拉普拉斯方程，电场分布与几何结构及所加电压有关。基于有限元法分别求得平板电极及灭弧室内电场分布，提取断路器在60%开距下动静弧触头间电场强度值，图5为平板电极及60%开距下断路器灭弧室内电场强度分布以及网格剖分图，以剖分单元离散点为网络节点，根据前文提到的场域可视建网方法建立电场网络。

通过网络可视化软件GEPHI绘制电场网络模型图，平板电容电场网络拓扑如图6所示，高压SF6断路器灭弧室内电场网络模型拓扑结构图如图7所示，

图5　电场场域网络节点及电场强度分布图Fig.5　The electric distribution with the grid and also the nodes of the field visibility

图6　平板电容电场网络拓扑Fig.6　Structure of the plate capacitor network topology

图7　60%开距下电场网络拓扑Fig.7　Structure of the circuit breaker network topology under 60% opening strokes

图中的点为网络中的节点，连线代表网络中的边，由图6可看出，该网络类似于规则网络中的最近邻耦合网络。均匀电场中各点电场强度值相同，根据场域可视性建网特点，各节点具有明显的空间位置，因此离散点的空间分布也影响了网络特性，选取均匀分散且有效表述电场分布的离散点是运用复杂网络作为分析手段的基本前提。

3　电场网络的复杂网络特征

3.1电场网络度与度分布

度是表征单独节点属性的重要概念，网络中节点的度表征与该节点相连其他节点的数目。一个节点的度值越大，表明此节点于某种程度越“重要”。网络中所有节点的度的平均值称为网络的(节点)平均度，记为〈k〉。网络度分布函数P(k)用来描述网络中任意节点的度恰好为k的概率。场域可视性方法建立的网络既与节点处场强的大小相关，同时又与该节点的空间位置相关。

以平板电容为代表的平均电场经过场域可视建网，构建的复杂网络模型包含节点1 071个、连边4 140条，网络的节点平均度较小为3.866，网络直径高达70，而网络的聚集系数为0。网络节点之间的连接较稀疏，节点度分布呈现出如图8所示的形态。

图8　平板电容电场网络度分布Fig.8　Degree distribution of plate capacitor electric network

电场分布经场域可视性建网方法转换为节点度值较集中的规则网络。平板电极电场计算区域内的离散点度值为4，边界离散点度值大多为3。由于场域可视性方法建立的网络中，节点具有明确的空间位置，因此，网络特征参数也同时反映了物理场的几何结构特点。

以550 kV高压SF6断路器为研究对象，经过场域可视方法，将灭弧室场分布映射成网络。60%开距下断路器触头间电场构建的网络度分布如图9所示，网络的节点平均度较大，节点间的连接相对紧密，但网络的度分布较分散，且服从幂律分布，即网络中存在具有大连通性的节点，但其规模较小，且同时存在连通性低的节点，但其规模较大。

图9　60%开距下电场网络度分布Fig.9　Degree distribution of the circuit breaker electric network under 60% opening strokes

电场网络度分布特性与电场强度场域分布的直观表象相吻合。断路器灭弧室中，电场强度最大值发生在弧触上，而网络中度值最大的节点，在电场中也位于弧触上，且在触头顶点位置，负电位侧距离最近处；而度值显著大的节点，在电场中位于动静弧触之间，即电弧发生区域。

3.2电场网络度分布的演化

表1为不同开距下，基于场域可视性方法建立的灭弧室内动静触头间电场网络模型特征参数。随着触头的打开，断口间电场场域计算节点数量增大，即网络节点数量、连边数量增加，随着网络的扩张，网络节点平均度不断增大，节点的连通性增大，对应电场

场域分布可看出，电场稳定性增大，在一定程度上保证了网络空间结构的稳定性，不同开距下的电场网络度分布均服从衰减的指数分布，且指数值较接近。随着开距的增大，网络度分布范围相对宽阔。

电场网络模型节点的度分布比例如表2所示，由表可见：

1)不同开距下电场网络中节点最大度值不断增大，且度值显著大的节点的数量在增加。

2)小度值节点的比例逐渐降低，度值范围在30～40间出现比例升高的趋势，随着开距的增大，网络的大度值节点所占比例逐步升高。

3)网络的大度值节点与小度值节点比例差异逐渐缩小，网络整体的度值增大。

表1　不同开距下电场网络特征参数Tab.1　The characteristic parameters of the electric network under different opening strokes

表2　不同开距下电场网络节点度值比例统计表Tab.2　Statistical table of degree value proportion of electric network nodes under different opening ranges

结合表1和表2可看出，在小开距情况下，电场网络度分布指数较大，表明网络中绝大多数节点的度值很接近，网络中度值高的节点数量较少。这样的网络属于极不稳定，且效率极低的一类，小开距下的电场极不稳定，易发生击穿，逸散出带电粒子，甚至形成导电通道，产生电弧，电场中有微弱的扰动就会造成电场分布改变。在小开距下断路器灭弧室内，动静触头间隙较小，最大电场强度值极大，极易发生绝缘击穿，电场畸变率较大。随着开距的增大，电场网络度分布指数降低，网络中Hub节点数量增加，此时，电场中最大场强值迅速降低，绝缘性能有所提高。

由表2可看出，随着开距的增大，电场网络度分布之间的差异降低，网络中不同度值的节点分布趋于均匀；反之，小开距下，大多数节点的度值集中在极少数的低度值范围内，从网络整体度分布来看，节点度值差异较小。而从统计物理角度出发，可看出小开距下网络度的离散程度较低，数据的变异程度较小；而大开距下数据较分散，即随着开距的增大，电场网络的异质性程度变大。

断路器在开断过程中，灭弧室内的电场分布发生很大变化，工程上通常用电场不均匀系数来近似表征电场的均匀程度。

(3)

式中，Emax为最大电场强度；Eav为平均电场强度；U为电极间的加载电压；d为极间距。

不同开距下电场不均匀程度变化曲线如图10所示。由图可知，在断路器的开断过程中，灭弧室内电场不均匀程度逐步增大，而通过电场网络度分布可很好的解释工程计算中电场不均匀系数，其不均匀的含义是指随着开距的增大，电场强度值的差异降低，数据在不同数值范围内的分布趋于均匀，数据整体变异程度增大。

图10　不同开距下电场不均匀系数Fig.10　Non-uniform coefficients of electric field under different opening strokes

3.3电场网络聚类系数

网络聚类系数C用来衡量网络中节点之间的聚集程度。假设网络中节点vi有(ki-1)个相邻的节点，那么节点与其相邻节点间最多有ki(ki-1)/2条连边，定义Ei为该节点的真实连边数量，节点的聚类系数表示为ci=Ei/[ki(ki-1)/2]， 网络的聚类系数为

(4)

式中，N为网络总节点数量。随机网络中聚类系数Crandom定义为〈k〉/N， 其值远小于1，而具有小世界特性的网络聚类系数远大于Crandom。

表3为不同开距下的网络聚集系数及平均路径长度。不同开距下的网络聚类系数值在0.563～0.624范围内，变化范围很小，远大于具有相同节点数量及连边数量随机网络的聚类系数，平均路径长度在3.815～5.372范围内，网络具有一定的小世界行为，由于电场网络的小世界特性，即网络连接中存在一定的长程连接，因此场域中发生极端事件(如场强击穿)，电场能量会迅速的向四周传递。随着断路器开距的增大，极间电场强度值整体降低，网络聚集系数呈现降低的趋势，平均路径长度略微下降，网络小世界特性减弱，网络的冗余边在减少，电场中邻近耦合的效应逐步增加，电场网络的稳定性增大。

表3　电场网络聚类系数及平均路径Tab.3　Clustering coefficients and average paths of electric field network

图11　节点聚集系数随度值变化曲线Fig.11　Curves of node clustering coefficients change with degree values

图11为60%开距下电场网络聚类系数随节点度的分布图，C(k)为度是k的所有节点的聚类系数的平均值。由图可知，不同节点度对应的聚类系数大小变化幅度相差不大，呈现聚类系数随度值的增大而波动降低的趋势。度值小的节点具有较高的聚类系数，度值大的节点具有相对较低的聚类系数，即电场网络在某种程度上与社会网络相似，具有“物以类聚，人以群分”的特性，电场网络中较明显的聚类特性发生在大的集团中，大度值节点的聚类系数较低。

4　结论

本文扩展了可视性的概念，提出了场域可视性建网方法，将该方法用于平板电极均匀电场、高压SF6断路器稍不均匀电场研究中，应用复杂网络理论进行电场问题分析。

1)将电场分布映射成网络，构造的复杂网络模型继承了场域的固有特征，将电场问题用复杂网络的手段进行分析。

2)以常见的平板电容电极均匀电场为研究对象，应用可视性方法建立的网络呈现出规则网络特点；以高压SF6断路器灭弧室内电场为研究对象，构造场域复杂网络模型，发现网络具有一定程度的无标度和小世界特性。

3)建立了不同开距下高压SF6断路器电场网络，发现电场网络具有相似的网络拓扑结构和网络特性，以断路器网络参数为依据，对电场分布的均匀程度进行判断，且随着电场的演化，电场网络度分布之间的差异降低，这与电场分布的直观表象相吻合。

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Study on Complex Network Model of Field Visibility in Electric Field

Liu Xiaoming1,2Li Liying2Cai Wei3Zhao Hai3

(1.College of Electrical Engineering and AutomationTianjin Polytechnic UniversityTianjin300387China 2.School of Electrical EngineeringShenyang University of TechnologyShenyang110870China 3.School of Information Science & EngineeringNortheastern UniversityShenyang110819China)

With complex network as the analysis means，this paper puts forward a network construction method based on the field visibility of visibility principle，analyzes the inherent properties of electric field，and excavates the important information contained in electric field.By constructing the complex network model through uniform electric field of the plate electrodes and slightly non-uniform electric field of the high-pressure SF6 circuit breaker，this paper introduces the complex network theories into field distribution in the electric field for study.Besides，it finds that the uniform electric field network of the plate electrodes presents regular network characteristics，and the slightly non-uniform electric field of the SF6circuit breaker arc quenching chamber under different opening strokes is featured with scale-free and small-world properties，which belong to the features of complex network.The research results indicate that the network construction through the field visibility method inherits some characteristics of the electric field.By introducing the complex network theory，the electric field distribution can be studied from a new perspective.

Complex network，field visibility method，HV SF6CB，static electric field

2015-01-09改稿日期2015-11-25

TM561.3；N93

刘晓明女，1968年生，教授，博士生导师，研究方向为现代电器设计与应用、高电压与绝缘技术、智能电器等。

E-mail：liuxm@sut.edu.cn

李俐莹女，1986年生，博士研究生，研究方向为现代电器设计与应用。

E-mail：lly_super@126.com(通信作者)

国家自然科学基金(51377106)和国家自然科学基金重点项目(51337001)资助。