简支矩形板在空气与水中声辐射特性比较

朱拥勇，刘　宝

简支矩形板在空气与水中声辐射特性比较

朱拥勇，刘宝

（海军工程大学，武汉 430033）

研究比较简支矩形板在空气中与水中声辐射特性参数，分别建立结构在空气中与水中结构振动方程，并利用Rayleigh积分公式，表示结构表面声压，获得结构表面振速的求解方程。进一步由振动模态正交性和坐标变换，将声辐射阻抗化为二重积分形式，从而确定结构振动模态系数，获得结构声辐射特性参数。求取简支矩形薄板在空气中和水中辐射声功率、均方振速和声辐射效率，并对其进行对比。研究结果可为各类板结构振动与噪声控制提供理论参考。

声学；声辐射阻抗；声辐射特性参数；介质；矩形板

平板是工程上经常采用的一种结构，其声辐射特性的确定对于工程界具有重要意义。当结构置于不同介质中时，介质对结构振动影响各不相同。根据结构与介质的比值，按照影响大小，将其分为轻介质流体如空气、重介质流体如水。当结构处于低速或者静止状态下空气中时，结构振动激起周围流体粒子运动向外辐射声波，由于结构与空气密度相差很大，则流体作用于结构的声压可以忽略，即不考虑结构与介质声振耦合作用，这样可简化动力学方程，结构振动和声辐射问题求解较为简单。为了分析板的声辐射问题需要求解结构声辐射阻抗。20世纪60年代，Maidanik首先提出几种求解在整个频域范围内的声辐射阻的近似方程，为后来的研究者提供了理论基础［1-2］。随后Wallace采用对远场声强进行积分的方法，推导出了声辐射阻的一系列近似积分方程，成功求解出了吻合频率以下模态声辐射效率［3］。Davies通过Fourier变换的方法在考虑声压对结构的作用下，同样给出了模态声辐射效率［4］。Heckl在波数段内利用Fourier变换研究分析了板的声辐射问题，并得出模态声辐射效率［5］，随后Leppington得出了几种近似方程求解大波数域振动模态辐射效率，特别是求解接近临界频率时振动模态的辐射效率［6］。Williams同样利用Fourier的方法在波数域内得出了声辐射功率的级数的表达形式，并分析了简支、夹支和自由边界条件下板的辐射声功率［7］。

当流体介质为重介质水时，由于水的密度为空气的800多倍，声速约为空气的四倍，结构受到的声场对结构的压力即声压不能像置于轻介质中一样可以忽略，需要考虑重介质对结构的影响。早在1896年，Rayleigh通过分析一个圆形平板的振动，指出介质对结构振动的影响类似于增加一个虚拟质量和辐射阻尼［8］。随后，Lax研究了介质对一个圆形薄膜振动的影响［9］，Junger和Maidanik分别研究了流体载荷作用下无限大壳体与薄板的声辐射问题，得出了位于水中的结构相对于位于空气中的结构固有频率有所降低，且在低频下的固有频率降低比较明显的结论［10-13］。Rumerman研究了水荷载对声辐射效率的影响，给出了典型声辐射效率的应用会过高地估计结构产生的声辐射功率的结论［14］。

本文根据前人的工作，分别建立简支矩形有障板在空气中与水中的振动方程，并利用Rayleigh积分公式，表示结构表面声压，获得结构表面振速的求解方程。将上述方程中的振速进行振动模态展开，并利用坐标变换方法，获得二重积分形式的声辐射阻抗，从而确定振动模态系数，求解结构在空气中与水中的声辐射功率，结构表面均方振速等声辐射特性参数，并对其进行了比较说明。

1　简支矩形板模型

设板的密度为ρs，它沿x、y轴方向的长度分别为a、b，板的厚度为h，且位于平面z=0上。z≥0半空间内充满密度为ρf的介质，板由于外力作用振动并向该半空间内辐射声功率。z＜0半空间为真空状态，如图1所示。

图1　简支矩形板示意图

2　板在空气中振动解

由于与板接触介质为轻介质空气，因此忽略介质对板所产生的声压作用。设板受到外力为点力作用，在垂直于板面外力F作用下（式中省略力、挠度等随时间变化量e-iωt），板振动方程为

对于一个简支矩形薄板，板位移可以表示为振动模态线性叠加

矩阵形式为

式中Amn为相应于振动模态待定系数。ψmn（x，y）=sin（mπx/a）sin（nπy/b）表示板（m，n）阶振动模态。

将式（2）代入式（1），利用振动模态正交性［15］，可得

将计算所得的Amn代入（2）式中，即可获得板上任一点的挠度，从而可以进一步确定结构辐射声功率等声辐射特性参数。

3　板在水中振动解

对于位于重介质如水中的结构，施加在这些结构与介质交界面上声压对于结构动力响应造成了不可忽略的影响，即需要考虑结构与介质之间声振耦合作用。则板的振动方程为

由Rayleigh积分公式可知，平板上方一点r处产生声压等于板面所有点对该点声压贡献的积分，表示为

将式（6）关于声压振速积分的形式代入式（5）中，经化简可得

进一步将挠度w表示为振动模态叠加形式，可得

式中 Amn表示相对于振动模态 ψmn（x，y）系数。

从上式可以看出每一个振动模态都会引起表面压强的变化。根据振动模态的正交性，可得

从式（9）可以看出，水载荷作用下板振动是由一系列关于待定系数Amn耦合方程决定的。并且，每一阶振动模态都和其他模态耦合在了一起。当p≠m或者q≠n时，Zpqmn反应了模态之间耦合的影响。当m，n，p，q取有限值时，方程可以通过建立一个耦合的有限方程组求解出待定系数Amn。Zpqmn为结构声辐射阻抗，可以看出为一个四重积分的形式。为此，利用坐标变换方法，可以将其化为二重积分形式。

令Zmnpq=ζmnpq+iXmnpq，则ζmnmn表示结构声辐射阻，Xmnpq表示结构声辐射抗。每一个元素的具体表达式为

当m=p和n=q时，ζmnpq表示结构自辐射阻，当m≠p或者n≠q时，ζmnpq表示结构互辐射阻。自辐射阻表示单一振动模态对于声辐射功率贡献的有效性。互辐射阻表示一个振动模态产生声辐射对于另一个振动模态声辐射影响。从式（10）、式（11）看出，矩阵ℜ［Z］是一个对称矩阵。

对于上述四重积分形式的运算，通常可以采用坐标变换方法将其化为一个二重积分形式。将变量替换为如下形式

则由文献［16］可知，式（10）的积分可以化为如下形式。当m=p和n=q时

上式即可计算出结构振动模态系数，进而可以获得结构声辐射特性参数。

4　声辐射特性计算公式

空间上一点处声压获得后，则通过积分结构辐射面上所有点声压与振速乘积可以获得结构辐射声功率，即

式中*和ℜ分别表示复数的共轭与实部。

除了采用辐射声功率衡量结构声辐射能力外，通常将结构辐射效率作为结构声辐射性能的重要指标。一般辐射效率被定义为

将板面振速ẇ（x，y）进行模态展开，经化简可得

矩阵形式为

5　简支矩形板应用举例

以如下参数简支矩形板为例进行分析。将该板置于无限大障板上，其长度a=1.2 m，宽度b=1 m，厚度h=0.005 m。板密度为ρs=7 800 kg/m3，泊松比υ=0.3，弹性模量E=2.16×1011N/m2，空气密度为ρf=1.21 kg/m3，水密度为ρf=1 000 kg/m3，空气中声速为c=343 m/s，水中声速为c=1 500 m/s，板阻尼系数η=0.002。设板在几何中心处受到一垂直于板面集中载荷作用，载荷的幅值为1 N。通过将该板位于空气和水这两种不同介质中，比较辐射声功率、均方振速和声辐射效率方面差异，如图2所示。

图2　空气与水中的声辐射特性比较

从图2可以看出，水载荷作用下，简支板表面均方振速在非共振频率附近相比较于空气中均方振速要小。且可以看出，板结构在水中共振频率有所降低，水中简支板辐射效率也小于空气中板辐射效率。由于水的密度远高于空气密度且水中声速为空气中声速四倍多，因此虽然水中板辐射效率与空气中板辐射效率相比低很多，但在非共振频率处，水中板辐射声功率要高于空气中板辐射声功率。

6　结语

由于空气介质与水介质对板振动影响的差异，本文分别建立了板在空气中与水中振动方程，进而由Rayleigh积分公式，表示结构表面所受到的声压。将振动方程中位移进行模态展开，并利用模态正交性，获得了四重积分形式的声辐射阻抗，并利用坐标变换，将其化为二重积分形式的声辐射阻抗，进而计算振动模态系数，获得结构辐射声功率等声辐射特性参数。

通过计算结构在空气中与水中声辐射特性参数，可知在非共振频率附近，水中板的辐射声功率要高于空气中板的辐射声功率，但水中板的均方振速在非共振频率附近相比较于空气中的均方振速要小。且可以看出，水中板的辐射效率也小于空气中板的辐射效率。

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Comparison of theAcoustic Radiation Characteristics of Simply Supported Rectangular Plates in theAir and in the Water

ZHU Yong-yong，LIUBao
（Naval Engineering University，Wuhan 430033，China）

The acoustic radiation characteristic parameters of simply supported rectangular plates in the air and in the water are studied and compared.The structural vibration equation in the air and in the water are established respectively.The Rayleigh integral formula is used to express the sound pressure of the structure surface，and the governing equation for vibration speed of the structure surface is obtained.By the orthogonal of the vibration modes and coordinate transformation，the acoustic radiation impedance is changed to a double integral form，so as to determine the structure's vibration mode coefficients and the structure's acoustic radiation characteristic parameters.Finally，the radiation sound power，the mean square velocity and the radiation efficiency of a simple supported rectangular thin plate in the air and in the water are calculated respectively and the results are mutually compared.This work can be applied to structural vibration and noise control.

acoustics；acousticradiationimpedance；acousticradiationcharacteristicparameters；medium；rectangleplate

TB132

ADOI编码：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.03.003

1006-1355（2016）03-0011-05

2015-10-18

国家自然科学基金资助项目（11372350）；海军工程大学青年基金资助项目（HGDQNSQJJ13006）

朱拥勇（1981-），男，湖北省天门市人，讲师，博士，主要研究方向为机械动力学、结构振动与噪声控制。E-mail：zyy99515@126.com

刘宝（1989-），男，河南省新乡市人，博士研究生，主要研究方向为结构振动与噪声控制。