活学活用，力达变通

贡青

反比例函数是初中学生学习的某一类型函数，它的图像和一次函数明显不同，反比例函数是不连续函数，图像分别在两个象限，每个象限内均为曲线，给学生增加难度，也给教学增加难度.反比例函数的应用对学生能力培养作用还是比较明显的，有助于培养学生数形结合思想，所以教学中应加以充分重视，力争学生灵活变通使用所学知识.

反比例函数图像的应用，其中常见的就是函数图像面积问题.通过这一问题教学和学生练习，让学生感悟函数关系式与图像之间的关系，更好地理解图像上的点与函数关系式之间的关联.

一、紧扣定义，合理选择

反比例函数定义中，关系式有三种表达形式：y= （k≠0），y=kx （k≠0），xy=k（k≠0），这三种表达形式都需要学生熟练掌握，每种表达式都有自己鲜明的特点和适用范围.在反比例函数面积题解答中，xy=k（k≠0）是最常用的.

例题1.如图，矩形ABOC的面积为2，反比例函数y= 的图像过点A，则k的值为（ ）

A. -4 B. 4 C. -2 D. -

本题是典型的反比例函数图像的面积问题，题目不难，但需要学生注意点A的设，由于点A在第二象限内，因此平时教学中，不少老师可能更多的是让学生记住面积和k的直接关系，然后注意象限符号，最后得到答案为c，失去让学生感受点的坐标和线段长度之间的关系的机会，尤其不同象限内，每一条相关线段和点坐标之间的关系是不同的.应该强调设点A为（x，y），得AC=-x，AB=y，解下去，在反比例函数表达式的选择上，显然应该选择xy=k（k≠0）.

例题2.如图，点A、B是双曲线y= 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S =1，则S +S =？摇 ？摇.

本题是在上一题的基础上做了叠加，本质上还是第一题，重点仍然是设点，找关系，如果学生熟悉了上一题，在这一题解答上，学生一定能驾轻就熟地解决好.

综上两题发现，解决矩形类问题时，第一要合理设点，并将线段和点坐标之间的关系确定好，而后合理选择表达式帮助解决此类问题，教学中老师应更多地在这两方面加以引导，为以后遇到更复杂的题目打下基础.

二、强化概念，灵活转变

如图，两个反比例函数y= 和y= 在第一象限内的图像分别是C 和C ，设点P在C 上，PA⊥x轴于点A，交C 于点B，则△POB的面积为？摇 ？摇.

对比上题，发现两个题目都是叠加式图形，不过本题中是两个三角形的叠加，从原理来说，变化不大，如果在上面教学中，学生已掌握了矩形面积的解决方法，那么这类三角形面积题中，学生还是能很好地掌握解决矩形面积的基本思路，那么解决这个问题还是比较简单的，重点是将△POA和△BOA的面积和两个反比例函数的k之间的关系确定好，即两个三角形的面积分别为2和1，那么△POB的面积就迎刃而解了.在这些题目讲解中，紧紧扣住定义和表达式，进一步强化概念，让一部分对图形感知较弱的学生慢慢体会和适应数字和点、点和图形之间的相互关系，从而促进学生对以往知识的复习巩固，并对所学知识加以迁移应用.

三、强化基础，拓展提升

学习了基本应用以后，对反比例函数图像类的面积问题有了初步认识，当然，前面的知识都是最简单的应用，遇到一些比较麻烦的要融会贯通.

如图，E、F分别是矩形OABC的边AB、BC的中点，反比例函数y= （k>0）的图像经过E、F两点，且B（8，t）（t>0），△OEF的面积为12.

（1）求t、k的值.

（2）点P为反比例函数y= （k>0）图像上的一点，且P到原点的距离等于P到y轴的距离的 倍，求P点坐标.

此题从图形上看比一般的面积题要复杂，其中△OEF的面积这个已知条件是解决整个问题的关键，△OEF的面积不同于一般的面积问题，与反比例函数之间没有固定的直接关系，要求学生利用点的坐标表示相关线段长度，然后利用各图形之间的面积关系求解.为了让学生更充分地理解和应用点的坐标和线段之间的关系，教学时可从多个角度引导学生看这一类型题目.△OEF的面积可以看成大的矩形OCBA的面积减去周围三个小三角形的面积，而三个小三角形的面积，主要是B、E、F点的坐标，这是这种解法的最重要部分，一定要让学生多琢磨比对，尤其图形感知能力较弱的学生，只有通过题目练习，才能将点的坐标和线段长度很好地联系起来，解决整个问题就很轻松.

在学生发现这种解法比较轻松的时候，老师可从另一个角度让学生体会图形变换的乐趣，如图，过F作FG⊥OA，通过推理发现△OEF的面积和梯形GFBA的面积是相等的，而得到E、F点坐标以后，发现求梯形的面积显然比求三个三角形的面积要简单得多，所以合理转换显得尤为重要.这个转换是学生难以发现的，这里有前面提到的三角形面积和k之间的关系，还关联到两块图形重合部分的利用.

综上所述，反比例函数的面积问题其实是更多的利用好表达式、点的表示及线段的合理表达，要想让学生融会贯通，教师的教学引导显得尤为重要，注重基础，不断拓展，学生的能力才会更好地提高.