控制工程基础课程中伯德图绘制的探讨[1]

崔吉，张燕超



控制工程基础课程中伯德图绘制的探讨[1]

崔吉1，张燕超2

（1. 中国矿业大学 徐海学院，江苏 徐州 221000；2. 中国石油天然气管道第二工程公司，江苏 徐州 221008）

伯德图的绘制既是控制工程基础课程中的重点又是难点内容，学生不易理解掌握．根据多年教学经验，将高等数学分段函数思想应用在对数幅值曲线绘制中，降低了伯德图绘制的难度，便于学生理解掌握；同时又可利用分段表达式来求解剪切频率，分析闭环系统稳定性，使其更加便捷地应用于实际现场．

伯德图；分段函数；剪切频率；稳定判据

在控制工程基础课程中，频率特性分析（有时也称为频率响应）是利用开环系统函数来分析闭环系统稳定的主要方法，并借助伯德图分析系统稳定性，相比劳斯代数判断更直观．频率响应有乃奎斯特图（极坐标图）和伯德图（对数坐标图）两种方法[1]．两者相比，极坐标图绘制相对简单些，但精度不是很高，所以有时会影响系统闭环稳定性判断的准确性[2]；伯德图绘制相对复杂些，但判断闭环系统稳定性和准确性较高，且判断稳定性原理相对简单．因此，伯德图的绘制就成为控制课程的教学重点和难点．根据多年教学实践，借助高等数学中分段函数思想，根据转折频率，将伯德图自变量划分为若干区间，然后绘制出每一区间的伯德图，进而得到整体伯德图．使学生既懂得了伯德图的绘制，又掌握了利用伯德图判断系统的稳定性及剪切频率等性能参数的计算，极大地提高了教学效果．

1 利用分段函数绘制伯德图

学生不容易掌握伯德图绘制的原因有两个[3]：一是求解频率特性的幅频和相频；二是如何建立对数坐标系．虽然借助MATLAB等软件可以比较简单地绘制出伯德图[4]，但要让学生掌握伯德图思想就需要把这些内容介绍清楚．选用董景新主编的《控制工程基础》[5]为教材，书中先介绍了典型环节的伯德图绘制；开环传递函数伯德图则要将系统频率特性化为典型环节频率特性的乘积，这里要强调的一定要换成标准的典型环节；然后求解出各个典型环节的幅值和转折频率，最后依照转折频率的大小依次画出伯德图．概括为“先比例后积分然后按照转角频率的大小依次叠加”[6]．根据伯德图绘制的方法，按照转角频率将横坐标划分为几个区间，整个伯德图表达式就可以变换成分段函数，然后按照区间段来绘制每个表达式，这样学生就容易绘制幅值的伯德图．

２绘制伯德图的实例

（2）换成标准形式．由于该表达式已经为标准式，无需再变换，这一步骤要给学生着重强调．

（3）求出每个典型环节的转折频率以及斜率．

根据分段函数表达式，幅值对数伯德图很容易绘制出（见图1）．但绘制幅值伯德图时，可用分段直线来代替曲线，便于在工程现场大致分析系统性能．为保证图形的连续性，利用分段函数表达式，前一段直线的终点可认为是后续区间段的起点．

图1 利用分段函数绘制的伯德图幅频曲线

利用这个分段函数，也可以在不绘制伯德图情况下求出剪切频率．剪切频率可以看作是幅值对数伯德图与零分贝线的交点，利用分段函数的区间段求出极值．这样就可以判断在哪个区间段存在剪切频率，然后令该区间的函数值为0，求出剪切频率[7-8]．在上述实例中第1段最小值为12 dB，第2段最小值则为-12 dB，因此剪切频率判断出在第2区间内．令第2分段函数的值为0，即可求解剪切频率值为50 rad·s-1．

此外，利用相位裕量，也可大致判断系统的稳定性．将剪切频率带入相频表达式中得到：

很显然，系统临界稳定．与教材[5]的判断结果一致．

通过具体实例可以看出，分段函数在伯德图绘制中起到很大的作用，既方便学生理解伯德图的含义，同时还可以在不绘制出幅值和相频伯德图的前提下，大致判断出系统的稳定性．

[1] 彭珍瑞，董海棠．控制工程基础[M]．北京：高等教育出版社，2010

[2] 方斌．关于Bode图稳定判据与稳态误差级数的讨论[J]．信息与控制，1999，28（4）：293-296

[3] 张翠平．浅谈《控制工程基础》的几点教学体会[J]．长春理工大学学报：高教版，2009，4（1）：191-192

[4] 张琳．MATLAB与控制系统的频域分析[J]．邢台职业技术学院学报，2011，28（1）：86-88

[5] 董景新．控制工程基础[M]．2版．北京：清华大学出版社，2003

[6] 李增权，马静婕．关于伯德图画法的探讨[J]．内蒙古电大学刊，2005（4）：56-59

[7] 谢丽蓉，程静，玛依拉，等．控制系统稳定性判别的虚拟平台设计[J]．工业和信息化教育，2014（5）：81-82，90

[8] 张正强．在伯德图上求截止频率的一种解析方法[J]．电气电子教学学报，2009（31）：31-33

The study for drawing Bode diagram in basis of control engineering

CUI Ji1，ZHANG Yan-chao2

（1. Xuhai College，China University of Mining and Technology，Xuzhou 221000，China；2. No.2 Subsuduary Construction Company of China Petroleum Pipeline Bureau，Xuzhou 221008，China）

Drawing Bode diagram is important and difficult subject in basis of control engineering，but it isn′ t easy to be understood and mastered．Based on teaching experience，sectional function is used in drawing logarithm amplitude frequency characteristic curve．This method can reduce difficulty in drawing Bode diagram and is easier to be understood and mastered．Meanwhile it is useful to calculate cut off frequency and analysis system stability．And the method is more convenient to be applied to actual field．

Bode diagram；sectional function；cut off frequency；stability criteron

TB23∶G642.0

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.020

2015-12-17

崔吉（1982-），男，山东泰安人，讲师，硕士，主要从事机电一体化系统设计、工业自动化控制系统设计等研究．E-mail：crest19@163.com