环境毒素对生物种群影响的随机延迟微分方程模型分析

于辉，袭杨，李艳凤，李欣，朱桂英



环境毒素对生物种群影响的随机延迟微分方程模型分析

于辉，袭杨，李艳凤，李欣，朱桂英

（黑龙江八一农垦大学 理学院，黑龙江 大庆 163319）

在环境毒素对生物种群影响的经典模型基础上，引入布朗运动模拟客观存在的随机干扰因素，且考虑到延迟因素，从而构造了环境毒素对生物种群影响的随机延迟微分方程模型，并证明了该模型全局正解的存在性、随机有界性和渐近性质．

环境毒素；生物种群；随机微分方程；延迟

随着全球环境污染的加剧和环保意识的提高，通过建立数学模型的方法研究空气污染对生物种群的影响成为生物数学研究的一个重要内容[1]．关于环境毒素对生物种群影响模型的研究取得了一定的进展[2-5]，文献[6-9]研究环境毒素对关系密切的2个生物种群影响模型，文献[10]建立了工业污染背景下物种的生存状况模型，文献[11-12]研究了维被污染生态系统模型．检索现有文献发现，研究环境毒素对生物种群影响的模型都是确定性的微分方程．

事实上，在生态系统的进化发展过程中，各种形式的随机干扰无处不在，如空气相对湿度、大气压、风速、空气逆温层、日照、生活及工业废气排放量、植被吸附能力等随机因素的变化都会影响到雾霾的浓度、状态、危害性等各方面的不确定性变化以及生物种群的免疫力、出生率和死亡率等不可预期性结果[13]．

这些因素在现有技术条件下无法控制，不可忽略且具有随机变化性，该类随机变化的干扰因素综合起来可看成是环境白噪声（即环境中各种细小噪音干扰的综合．由大数定律可知，这些常见的各种细小噪音干扰的综合将会服从正态分布，这种噪音被称为白噪声．理想的白噪声在数学中是不存在的，对白噪声最好的近似就是用布朗运动或者维纳过程的形式导数来进行模拟）．研究表明，环境白噪声会不同程度地影响到增长率、环境容纳量、竞争系数和其它系统参数[14-17]，而且生物种群个体数目往往也没有达到近似看成确定性系统的要求，研究过程中若忽略这些随机因素的作用，可能会产生较大的偏差，生态系统中的随机波动是明显而不容忽视的．因此，有必要在确定性微分方程模型的基础上引入布朗运动模拟的环境白噪声．通常情况下，环境中砷、铅和汞等重金属毒素进入生物种群后，只有经历积累、化合作用等过程之后，其危害性才得以体现[18-20]．这在时间上有一定的延迟量[21-24]，因而生物种群的生理指标及症状不仅依赖于当前时刻的状态，而且依赖于过去某个时刻的状态或者某个时间段内的状态．

本文在空气污染的背景下，从随机和延迟角度拓展并深化原有生物模型，建立环境毒素对生物种群影响的随机延迟微分方程模型，并研究所建立模型的随机动力学性质．

1环境毒素对生物种群影响的模型

模型方程（1）的矩阵形式为

2全局正解的存在唯一性

将式（6）代入式（5），有

3随机有界性

定义[26]任取和初始函数，如果存在正数，使得方程（1）的解满足

则称方程（1）具有随机有界性．

其中：

这里

由式（12）可知

4随机渐近性

定理1~3表明，所建立的环境毒素对生物种群影响的模型（1）具有一定的理论可行性．

5结束语

在环境毒素对生物种群影响的确定性模型基础上，从随机和延迟角度拓展并深化原有生物模型，建立环境毒素对生物种群影响的随机延迟微分方程模型，并研究了所建立模型的全局正解存在性、随机有界性和渐近性质，从而表明了该模型的理论可行性．该类模型既体现了环境毒素对生物种群影响的主导因素又包容了随机因素的影响和客观存在的延迟因素，进一步描述了环境毒素对生物种群的影响，期望为环境污染的治理提供更合理、更接近实际状况的理论依据．

数学模型的发展过程是一个逐渐客观地接近事物真相的过程，随着环境污染治理技术和相关学科理论的发展，关于环境毒素对生物种群影响的数学模型的建立及其性质的探索和研究将有很大的空间．

[1] 栾施．关于一类治理的单的[D]．大连：辽宁师范大学，2012

[2] Hallam T G，Clark C E，Jordon G S．Effects of Toxicants on Populations：a Qualitative Approach II．First Order Kinetics[J]．J Math Biol，1983（1）：25-37

[3] Hallam T G，De Luna J L．Effects of Toxicants on Populations：a Qualitative Approach III．Environment，Food Chain Pathway[J]．J Theor Biol，1984，109：429-441

[4] Freedman H I，Shukla J B．Models for the effect of toxicant in single-species and predator-prey systems[J]．J Math Biol，1991 （1）：15-30

[5] Huaping L，Zhien M．The Threshold of Survival for System of Two Species in a Polluted Environment[J]．J Math Biol，1991（2）： 49-61

[6] Dubey B，Husain J．Modelling the interaction of two biological species in a polluted environment[J]．J Math Anal Appl，2000 （246）：58-79

[7] Chattopadhyay J．Effect of Toxic Substances on a Two Species Competitive System[J]．Ecol Model，1996（84）：287-289

[8] Dubey B，Hussain J．A Model for the Allelopathic Effect on Two Competing Species[J]．Ecol Model，2000（129）：195-207

[9] Shukla J B，Dubey B．Modeling the Depletion and Conservation of Forestry Resources：Effects of Population and Pollution[J]．J Math Biol，1997（3）：71-94

[10] Dubey B，Dass B．Model for Survival of Species Dependent on Resource in Industrial Environments[J]．J Math Ana Appl，1999, （231）：374-396

[11] Pan J，Jin Z，Ma Z．Thresholds of Survival for an n-Dimensional Volterra Mutualistic System in a Polluted Environment[J]．J Math Anal Appl，2000（252）：519-531

[12] Ma Z，Zong W，Luo Z．The Threshold of Survival for an-Dimensional Food Chain Model in a Polluted Environment[J]．J Math Anal Appl，1997（210）：440-458

[13] Yu X．The Analysis on Affecting Factors of Haze Weather and Prevention[J]．Advances in Enviromental Protection，2013（3）： 34-37

[14] 王克．随机生物系统数学模型[M]．北京：科学出版社，2010

[15] May R M．Stability and Complexity in Model Ecosystems[M]．New Jersey：Princeton University Press，1973

[16] Lewontin R C，CohenD．On population growth in a randomly varying environment[J]．Proceedings National Academy Science， 1969，62（4）：1056-1060

[17] Levins R．The effect of random variations of different types on population growth[J]．Proceedings National Academy Science，1969， 62（4）：1061-1065

[18] Hallam T G，Clark C E，Lassiter R R．Effects of Toxicants on Populations：a Qualitative Approach I Equilibrium Enviromental Exposure[J]．Ecol Model，1983（18）：291-304

[19] F Misra A K, Kusum Lata, Shukla J B. Effects of population and population pressure on forest resources and their conservation: a modeling study[J]．Environment，Development and Sustainability，2014，16（2）：361-374

[20] Li X，Jiang D．Population Dynamical Behavior of Lotka-Volterra System under Regime Switching[J]．J Comput Appl Math，2009 （232）：427-448

[21] Bocharov G A，Rihan F A．Numerical Modelling in Biosciences using delay differential equations[J]．J Comput Appl Math，2000 （125）：183-199

[22] Kuang Y．Delay Differntial equations with Applications in Population Dynamics[M]．Newyork：Academic Press Inc，1993：1-10

[23] Mao X, Matasov A, Piunovsiy A B. Stochastic Differnetial Delay Equations with Markovian Switching[J]．Bernoulli，2000，6（1）： 73-90

[24] Chen G T，Li T C．Stability of Stochastic Delay SIR Model[J]．Stochastics and Dynamics，2009（9）：231-252

[25] Mao X．Lasalle-type theorems for stochastic differential delay equations[J]．Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1999，236（2）：350-369

[26] 刘蒙．随机种群模型若干性质的研究[D]．哈尔滨：哈尔滨工业大学，2012

技计划项目（szdfy-2015-48）——环境毒素对生物种群影响的随机模型研究；大庆哲学社会科学规划研究项目——大庆产业转型模式的分析及其随机模型的构建

Model analysis of stochastic delay differential equations for the effect of environmental toxin to species population

YU Hui，XI Yang，LI Yan-feng，LI Xin，ZHU Gui-ying

（School of Science，Heilongjiang Bayi Agricultural University，Daqing 163319，China）

On the basis of the classical models of the effect of environmental toxin to species population，the model of stochastic delay differential equations for the effect of environmental toxin to species population was constructed in the presence of Brown motion to simulate the objective stochastic factors and in consideration of the delay．The existence of the global positive solutions，stochastic boundedness and the asymptotic property was then given for such model．

environmental toxin；species population；stochastic differential equation；delay

O211.63∶Q-332

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.03.002

2015-12-01

黑龙江八一农垦大学学成、引进人才科研启动计划项目（XDB2014-16）——随机微分方程的数值解法及其应用；大庆市指导性科

于辉（1979-），女，山东郓城人，讲师，博士，从事随机微分方程研究．E-mail：yuhui163@163.com