研究性教学在复变函数课程教学中的应用

马建清



研究性教学在复变函数课程教学中的应用

马建清[1]

（武汉科技大学 理学院，湖北 武汉 430065）

研究性教学是我国高等教育教学改革的热点之一，利用研究性教学讨论了复变函数中的利用柯西积分公式，高阶导数公式与留数定理求积分的区别和联系，并且分析出这些方法之间的优缺点，使学生对求积分有一个清楚的认识．

研究性教学；柯西积分公式；高阶导数公式；留数定理

研究性教学是一种开放式的教学，在研究性教学的过程中，既发挥了教师的主导作用，又体现了学生的主体作用，并且激发了学生的学习兴趣，增强了学生的创新能力[1-2]．复变函数作为高等数学的后续课程，理论性强，课时不足，学生学起来很困难．如果采用传统的教学方式，教师讲授，学生被动接受，学生感觉枯燥、难懂[3]．因此，在复变函数的教学中，需要教师尝试采用多种方式教学，充分调动学生的学习积极性，力求达到良好的教学效果．本文以复变函数中的复变函数积分为例开展研究性教学，取得很好的教学效果．

复变函数积分是复变函数中的一个重要概念．教材[4-5]中的第三章对于各种类型的积分分别介绍了相应的计算方法，尤其对于函数沿着闭曲线的积分．当曲线内有一个奇点时，可以分别用柯西积分公式和高阶导数公式计算函数沿着闭曲线的积分；当曲线内不止一个奇点时，可以先利用复合闭路定理，转化为曲线内有一个奇点的形式，然后再来求函数沿着闭曲线的积分．而在第五章介绍了留数之后，复变函数沿闭曲线的积分又可以用留数定理来求．但是柯西积分公式、高阶导数公式与留数定理到底有什么区别和联系，什么情况下用哪种方法好一些，学生往往很迷茫，有学生就此提出了问题．本文采用研究性教学，找出柯西积分公式、高阶导数公式与留数定理之间的内在联系和区别，并且分析出这些方法的优缺点．

让学生比较这２种方法，通过比较有学生给出了结论：留数定理事实上是把柯西积分公式中与相乘的因子用一个留数表示出来，其本质是一样的．

学生比较这２种方法，发现高阶导数公式与留数定理在计算曲线内的奇点是高阶极点时本质也是一样的．但是利用留数定理时求留数必须要先弄清楚极点的阶数，而高阶导数公式则不需要．

有学生提出问题：既然柯西积分公式、高阶导数公式与留数定理在上述情况下本质是一样的，有时甚至还更简单，为什么还要提出留数定理．于是给出例1．