不可测集的数理分析

冯彪



不可测集的数理分析

冯彪

（湛江技师学院 职业教育研究所，广东 湛江 524037）

根据宇宙球面空间时空四维流形的变模效应，运用拓扑学和测度论对宇宙全集的可测性和不可测的量进行分析，提出宇宙中存在不可测空间，并解释了物理常数、时间之矢、物质寿命、双生子佯谬和奥伯斯之谜.

时空流形；变模效应；时间之矢；不可测集；测不准原理

人类对宇宙空间的认识是以欧氏空间为参照进行度量的，用测度来表达空间产生和存在的可观测性，在对时空的认识上，空间应作为观测者的函数，观测者对空间的测度取决于其所处的客观条件. 对不可测集的分析可知宇宙中存在不可测空间和不可测的量，并解释相关的物理现象.

1 空间的测度与度量

由集合论和拓扑学可知，全集和空集互为余集（两者同是开集或同是闭集），因此全集的宇宙空间由空集产生，即宇宙集为零测集；根据测度的非负性可得任一子集（空间流形）的测度：

根据球面空间的定义和宇宙集的全对称性可知宇宙空间是球面空间，一般地维欧氏空间与去掉一点的维球面空间是同胚的，即：.人类度量宇宙空间是基于人类观测者将所处观测系(本文中所述的观测者与观测系是等价含义）作为球面空间的特殊点（如宇宙中心），从而使宇宙空间具有差异性并成为可测性的逻辑起点. 由于人类能够直观感知的空间维度最大是三维，因此，如要感知一维的时间则必须通过物质的运动效应进行对比才能感知，即

a.宇宙球面空间坐标系           b.欧氏空间坐标系

图1 四维宇宙球面空间和欧氏空间坐标系示意图

2 宇宙中存在不可测空间

由Lebesgue（勒贝格）集合测度论和Caratheodory(卡拉泰奥多里)可测条件得集合可测的充分必要条件是其余集可测.可测集类对有限的并、交、差运算是封闭的，即零测度集的任何子集是零测度集；有限个或可数个零测度集之并是零测度集. 可以证明宇宙集内存在不可测集，由不可测集的存在可知宇宙中有不可测空间和不可测的量.

人类的认知来源于客体的可测性，由于光速极限和红移现象，人类所处宇宙空间平分为可测和不可测两部分：可测部分（图1中位于时间坐标轴右侧的半圆周）的测模为正值，称为正空间，人类生活于正空间，有正质量、正能量；不可测部分（图1中位于时间坐标轴左侧的半圆周）为负空间，有负质量、负能量. 正负空间在总体上互相抵消，故宇宙集为零测集. 由于宇宙时空四维球面空间是变模空间，因此时空的运动效应（变模效应）将时空流形的惯性转化为质量、能量，进而演变为各种形式的宇宙万物，物质的各种形态是时空结构的不同表现形式，事物量变质变的不同过程取决于时空结构的变模方式. 物质结构是时空流形的拓扑结构，事物变化发展具有无限性是因为时空拓扑结构具有无限可拓性. 另一方面，可测性与维度有关，由拓扑理论可知，四维欧氏空间上存在着无穷多种微分结构，因此，物质的运动形式等价于时空的变模方式，变模等价于变维，在整数维结构之外存在大量的分维结构.由于距离（测模）的定义形式和度量方式是无限的，按勒贝格测度得整维（高维）等价于分维，同一流形因测模不同可有不同的变模维度（连续统维度），因此全维度即是连续维度（具有连续统的势）. 变模的分维（连续维）具有无限可能性，故物质结构的变化具有无限可能性，这就是事物变化的无限可能性即事物发展的动力[2].

3 运动与光速

由于宇宙空间是全维度、全对称、无差别的点集，因此人类认识宇宙依赖于观测对象因变模效应而产生的可区分性.由此可见，运动来源于差异性，变模效应即是运动效应，速度来源于运动.

4 时间之矢与物质寿命

人类对时间的感知来源于运动效应的速度比较，物质的寿命就是其时空流形结构由确定性状态因红移效应变化到不确定性（衰变或衰老至解体）状态的过程所持续的时间.

4.1 时间之矢

4.2 物质寿命

按拓扑学的流形定义，满足Hausdorff公理的拓扑空间中每个点的局部都同胚于维空间，在宇宙球面空间中，物质就是时空，时空是无形的物质，物质是有形的时空，物质结构就是时空的拓扑结构[3]. 事物就是有确界的空间子集（集合闭包），也即物质流形具有定域性（有界性）. 实体在空间中的存在取决于其拓扑空间的分离性和紧致性（有确定的边界），物质结构的存在性和稳定性满足拓扑学定理，实数的连续性反映时空结构的连续可测性，其可分性反映粒子性. 一个事物的性质由一系列的量来描述，可看成是有穷维或无穷维以时间为自变量的向量值函数，事物的变化无非是各向量值的变化. 变模方式就是事物的变化方式，人类“以直代曲”通过变模效应认识宇宙时空流形的惯性，这是质量、能量的起源和本质. 连续性是保持实体局域性的边界约束，如果产生不连续则意味该子集（流形）的不确定（对生物形态而言则意味着死亡）. 量子、原子、分子、细胞、物体、星球天体等实物物质都具有有界性，基本粒子的衰变过程是时空流形结构变化的过程，由基本粒子组成原子、分子以至宇宙万物均是时空流形的拓扑关系.由于红移效应，观测者在觉得光波频率红移的同时所对应物质流形的物理结构和性质也发生了相应的变化. 宇宙中任何两个不同宇宙点的观测者，都互相觉得对方有同样的红移. 在宇宙红移条件下正物质世界的人只能看见正物质世界的那部分，这是可测性的极限，蕴含万物新陈代谢的极限，也就是任何事物必会“死亡”的本质.

法国物理学家朗之万（Paul. Langevin）曾提出著名的双生子佯谬，以双生子佯谬的思想实验对狭义相对论的时间膨胀效应提出质疑——设想一对双胞胎兄弟，一个留在地球上，另一个乘坐火箭以接近光速到太空旅行，在太空旅行的双胞胎回到地球时只不过增加两岁，而他的兄弟早已去世，因为地球上已经过去200年了. 以红移效应的观点来看，双生子佯谬并不成立. 因为太空旅行出发去程时，双胞胎两兄弟的相对运动是相互远离（红移），回程时则相反（紫移），两者各自以为（观测到）对方发生红移（去程时）或紫移（回程时）且有相同的变化值，即各自经历的时间是相同的.

5 时空流形拓扑的连通性与因果性

宇宙万物的本原均是时空流形（光子是球面流形拓扑基），四维时空流形的投影（变模）既可表现为波动性（简谐振动或其复合运动），也可表现为粒子性（投影积聚性），即四维时空流形具有波粒二象性. 光子（波）的传播是正负空间交界的事物，是可测性的临界（视界）. 物质结构（时空流形）既是光子的组合结构，又是光波（简谐振动）的共振方式（共振态）. 四维球面可理解为“膜”，其投影为余弦函数即简谐振动的弦（宇宙圆周向直径上投影），因此，国际物理学界提出的膜理论和弦理论是统一的，都可反映时空流形的结构. 全维度的宇宙空间流形被缩减为四维表示，超过四维的都以“运动”来包含，被缩减的其他维度以运动的复杂形式来表现其空间结构的复杂性；因此要了解运动规律就需要从高维进行拓扑分析，万物运动规律的约束条件就是拓扑不变量——同胚、同调、同伦、同态、同构、连通性、紧致性、可分性、可微性、连续性等，拓扑的并与交的方式是物质运动变化发展的根本方式.

由于连通性是宇宙空间的拓扑性质，宇宙空间由无差别的点组成零测度的连续流形，因此万物是普遍关联的，如图1所示宇宙圆周的正、负空间是连通的，负空间不可测不具有“实”的存在性，但其与正空间是关联的，具有关联存在性（“虚”的存在性）. 根据拓扑空间的连通性、分离性、紧致性等拓扑不变性可以描述流形的结构，流形的交使流形在时空中受到约束（自由度减小）而显示为有序性，按拓扑性质可将不同的有序性进行分类. 在物质的原子、分子层面上有同分异构现象（如各种有机物分子的组成相同而空间结构可以不同）与同原异构现象（原子组成相同而结构不同，如石墨和金刚石）. 所谓分离性是指拓扑空间的点或子集如何被分离，例如：分离点和点的T2公理（即Hausdorff公理）、分离点和闭集的T3公理（正则性）、分离闭集与闭集的T4公理（正规性）. 分离性体现物质结构的粒子性及其拓扑形式（形状模式）和变模方式（方向模式），而一致连续性则反映事物变化的因果链，在因果链中因果性分为直接因果和间接因果. 量子纠缠现象表明互为因果，直接因果的“同时性”，即共同来源的两个粒子，无论相互距离多么遥远，当其中一个被操作（例如量子测量）而状态发生变化时，另一个也会即刻发生相应的状态变化. 量子纠缠是非定域的，并且是无时延的，纠缠关系一旦发生，就会保持下去，这种直接因果既是因同时又是果，因为作用与反作用具有同时性（如牛顿第三定律），所以粒子具有“记忆能力”，能够“区分和识别”与其有纠缠关系的特定粒子，能够不受时空限制地“认识”和“记住”这种纠缠关系. 量子纠缠现象的这种因果性正是时空流形的连通性和“自在性”的一种表现，是可测与不可测、可知与不可知之间的关联实在性（存在性）.

6 物理常数与奥伯斯之谜

物质实在性就是空间结构的关联实在性，物理常数来源于流形空间结构的一致性（固有属性）. 物理常数的本质是时空流形结构关系的几何常数，表达物理世界特征的所有可测量的参数原则上都是可以根据流形的几何关系进行推算.

6.1 物理常数的计算示例

例1 计算精细结构常数：电中性的光基量子8个（正十六胞体一半可测）组成能量最小的电中性粒子的变模交角与光基量子变模交角相差，而粒子流形的能量（质量）与变模交角的指数成正比[4]19，因此可计算得精细结构常数（本文称为波粒比例常数）即

例2 计算宇宙圆周的最大半径：根据光子（波）的红移效应，宇宙圆周半径是由能量（质量）最大（流形半径为）的粒子（波）红移到能量最小时的流形，等效于变模效应（变模角）最大的正、反粒子湮灭为变模角为零的过程，变模最大的正、反粒子的变模角[4]19分别是：

这一计算结果与文献值相比有误差，但在宇宙大尺度下具有相同的数量级.

6.2 奥伯斯之谜的解释

德国天文学家奥伯斯（Olbers. Wilhelm)提出“夜空为什么是黑的”称为奥伯斯之谜——说的是由于宇宙中有许许多多发光的恒星，因此光线在宇宙中应当是均衡的，那么宇宙空间应该是明亮的，没有黑暗、没有星星闪亮. 但是，这显然与事实不符.

由图1的宇宙圆周可知，宇宙空间平分为可测（正空间、正物质世界）和不可测（负空间、负物质世界）两部分；可测部分（正空间）中的正物质（相对于负物质而言）按电荷的正负又平分为正物质（相对于反物质而言电荷相反）和反物质，因此宇宙中任一观测者对全宇宙各方面的测度是互相抵消的（宇宙集为零测集）. 光波红移到宇宙半径最大处时形成微波背景辐射（不可见光），由此可解释“夜空是黑的”. 另一方面，由于变模效应使处于正空间中的观测者可观测到的物质质量占全宇宙质量的比例为，看到的星光正是红移过程中的光波（正物质的可见光），这就解释了夜空中有星星闪亮.

7 测不准原理与不可知空间

这就是海森伯（W. Heisenberg）测不准原理的公式. 测不准原理揭示了测量的“精度”和测量极限，确定了时空流形边界的临界性. 一个观测者对宇宙的感知是由其与时空球面空间的测模关系去确定的，因此人类不可能感知另一个宇宙是否存在. 在宇宙内的观测者对其所处宇宙的总测度在各方面是互相抵消，整个宇宙可湮没为虚无，也可以从虚无变为整个宇宙. 例如负电子（正物质）与正电子（反物质）相遇时变为两个运动方向相反的光子，这两个光子经过红移最后可变为边界点，因此对另外的每个宇宙最多只能认为是一个虚无的几何点（边界点）；在宇宙球面空间中，每个点都可看作是宇宙球面空间的中心点，也都可看作是边界点，因此可有无穷多个别的宇宙存在.

宇宙空间中事物的质是通过量来描述并由量所构成，而量是由可测性来确定，可测性的度量则由测模决定. 存在不可测的量就必然存在不可测的质. 负空间中存在不可测的负物质，负空间的不可测性造成对称性破缺引起宇称不守恒，意味着丢失不可测的量. 对时空流形全曲率的度量反映在作用量上，由于零测集的任一子集为零测集，因此宇宙空间内任一范围（任一局部）的测度和为零，即作用量的积分为零，这就是最小作用量原理成立的本质. 测不准原理和不可测空间的存在使人类对宇宙万物的认知分为3种情形： 1）可测可知；2）不可测可知；3）不可测不可知. 根据哥德尔不完备定理存在不可判定的命题，不可测空间中存在不可知领域，真理之“真值”是不可测的，人类不可能获得真值（准确值），只能获得极限值（理论上的确值而不是实践上的确值）. 因此人类对世界的认识只有相对真理，不存在绝对真理. 另一方面，人类是自然的产物是宇宙的一部分，因此人类意识是宇宙空间的连通空间，不可测、不可知的量虽然不能被表达但具有关联存在性.

8 结论

宇宙空间中事物的质通过量来描述并由量所构成，而量由可测性来确定，可测性的度量则由测模决定，存在不可测的量就必然存在不可测的质. 宇宙空间自身的存在具有自在性（自然性），其拓扑连通的一切作用量是自在的、决定性（确定性）的，而时空测度是观测者的函数，人类观测者选取不同的基准点就有不同的变模效应，也就有不同的结果，因此宇宙与人类的关系既是绝对的（决定的）又是相对的（可改变的）. 宇宙万物的存在性取决于关联性，可分为实在性（实的关联性）和虚在性（虚的关联性）. 宇宙空间存在测不准的事物和不可测的空间，也就存在不可知的“虚存在”，这为人们留下了不可知的领域，也为宗教信仰、神学研究和哲学分析留下了空间.

参考文献：

[1] 冯彪. 物理空间的测度分析[J]. 五邑大学学报（自然科学版），2010, 24(1): 33-34.

[2] 冯彪. 宇宙空间的变模分析[J]. 五邑大学学报（自然科学版），2012, 26(2): 33-35.

[3] 冯彪. 物质结构的拓扑分析[J]. 五邑大学学报（自然科学版），2013, 27(1): 47-48.

[4] 冯彪. 基本粒子的结构分析[J]. 五邑大学学报（自然科学版），2016, 30(1): 15-23.

[责任编辑：熊玉涛]

A Mathematical-physic Analysis of Unmeasured Sets

FENGBiao

(Vocational Education Research Institute, Zhanjiang Technician College, Zhanjiang 524037, China)

According to a variable mold effect of the space-time four-dimensional manifold in the universe spherical space, the universe collection testability and the amount of unmeasured is analyzed by using topology and the measure theory. It is pointed out that the unmeasurable space exist in the universe, and it explains physical constants, the arrow of time, the life of matter, the twin paradox and the Olbers mystery.

space-time manifold; variable mode effect; arrow of time; unmeasurable set; uncertainty principle

1006-7302（2016）04-0021-07

O411.1

A

2016-06-13

冯彪（1967—），男，广东湛江人，高级讲师，硕士，研究方向为数学物理.