巧用等价性判断函数敛散性

廖春艳



巧用等价性判断函数敛散性

廖春艳

（湖南科技学院 理学院数学系，湖南 永州 425199）

文章主要介绍在数学分析中巧用等价函数判断函数的敛散性问题，恰当的引入等价的函数来判断函数的敛散性，只需要一些简单的步骤即可判断出结果且不容易出错。

等价代换；无穷级数；反常函数；敛散性

函数的等价判别法是一种思路灵活、应用广泛的解题方法，它通过对题中给出的已知条件进行函数等价变换、调整，使得函数关系，性质更加明确，清晰，从而使得问题得到顺利解决。

1　利用等价性判断函数项级数的敛散性

在函数项级数中，很多函数项级数比较难判断,或者说利用基本的判断定理判断起来比较复杂，因为我们往往很难直接找到它的参照函数，如果我们能够引入等价性,直接通过观察或者简单的计算就能够找到它的参照函数，就能极大的简化我们的运算。

引理1

本结论直接是上述引理的特殊形式。

例1.判别下列级数的敛散性。

有些题目若用一般的判别法判断解题过程较繁琐不易求出，但恰当的利用等价性质则相对来说容易且不容易出错。

（2）

分析，最初看到这道题目我们无法下手去判断，用比较判别法，没有办法找到比较的参函数，用正向级数的判别法来判断的话，比较不容易，但是如果用等价性来判断的话就很容易了。

定理2

解：此级数为正项级数，如果用正项级数的判别法去做的话并不容易，求极限比较复杂，我们不妨试试等价性来做：

分析：这道题目利用我们基本的判别法，似乎也无从下手解，甚至是无法求解，但是利用等价性来判断的话，问题就很轻松了。

2　利用等价性判断反常积分的敛散性

2.1用等价性判断无穷限反常积分的敛散性

定理3

分析：这道题目如果用我们平时比较熟悉的反常积分判敛法去做比较麻烦，但是如果用等价性来做的话就要简单的多了。

分析：这道题目如果用等价性，显得由为便捷，利用我们熟悉的等价条件，自然有，

2.2 利用等价性判断非负无界函数的敛散性

证明参照定理3。

分析：这道题目有两个瑕点，所以利用我们之前判断瑕积分的方法去做需要找到他的参照函数，我们通过观察找到它的等价函数:

分析：在这道题目中既有无穷积分，也有瑕积分，所以判断起来比较复杂，我们需将这个函数转化为两类反常积分单独来判断。

综上所述，可知原式收敛。

以上各例子若用我们平时所学的判别法去求的话会比较的复杂，解题过程繁琐不易求出，引入恰当的等价函数来判断则需要一些简单的步骤即可求出结果且不容易出错。

[1]陈纪修,於崇华,金路.数学分析 (上下册,第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[2]华东师大数学系系.数学分析(上下册,第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[3]刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义(上下册,第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[4]裴礼文.数学分析中典型问题与方法(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2006.

[5]钱吉林.数学分析题解精粹(第二版)[M].湖北:湖北长江出版集团.2009.

(责任编校：何俊华)

2016－01－25

湖南科技学院科研项目（项目编号2015XKY011）。

廖春艳（1984－）女，江西吉安，讲师，研究方向为基础数学。

O13

A

1673-2219（2016）05-0011-03