浅谈“一题多解”与“多题一解”
2016-10-12喻秋叶
喻秋叶
在新一轮数学课程改革从理念渗透到内容实施的过程中，教师在观念和意识上有了很大的变化。在章节复习课的教学中，需要设计科学、合理的解题教学环节，并且设置适量而贴切的解题训练，这也是培养学生形成数学思维、掌握基本技能的重要途径。无论是教学实际的需要，还是素质教育的诉求，教师都必须面对各种蜂拥而至的数学问题，选择合适的切入点，引导学生从“题海”中解脱。针对这种教学要求，教师可以采用“一题多解”与“多题一解”的变式教学方式，帮助学生逐步地提升思维能力，掌握解题技能。
根据复习课的特点，在学生已经掌握了一定的基础知识和基本技能的前提下，教师需要进一步提升学生的逻辑推理、发散思维、归纳迁移等数学能力。笔者通过教学实践，将从三个方面，简单剖析“一题多解”与“多题一解”是如何在复习课的教学中发挥其特有的教学功能的。
一、一题多解，发散思维
对于复习课而言，典型例题的选取与讲解至关重要，为了提高例题的使用价值，教师需要引导学生利用多种方法，从多种角度去思考问题，并通过多角度、多层次的探索，来提升学生思维的广阔性，提高他们的解题能力。
【案例1】已知，，求。
解法1：三角公式求解
，再联立解得，，。
解析①：根据公式，运用同角三角函数关系中平方关系，直接求出，再求解。
解法2：公式正、逆用
，两边平方得
解析②：直接利用公式展开，平方后公式的逆用得值。
解法3：转换与方程思想求解
因为，<<，所以；
；
由 得，；
解析③：直接法，利用化归思想先求出，再结合方程求出；再代入公式求解。
解法4：转化与化归思想求解
因为，
解析④：关键找到与之间的联系，主要从和、差、倍角三类关系去找已知角和未知角之间的联系。
【评析】在本例题的讲评过程中，充分发挥了“一题多解”的教学优势，前两种解法巩固了学生的基础知识，后两种解法拓展了学生的思维空间，这正是符合了张奠宙先生所提出的“在打好学生‘双基的基础之上，谋求发展”的教育教学理念。
二、一题多变，把握本质
在复习课中，我们时常设计如下的教学模式：由一个问题出发，通过变式，将一类问题展现在学生面前，让学生顺着思维的绳索不断攀爬，而整段思维的绳索都系于同一源头，这使得学生在整个思维的过程中不断归纳与小结，从而得出这类题的基本思路。这就是“一题多变”的教学过程，因这类题有着相同的题根，故而属于“多题一解”的变式范畴。
【案例2】已知，向量与的夹角为60°，求的值。
教师：大家能够迅速地给出该题的答案吗？
学生：==0
【评析】通过该题，让学生在实践中自发、主动地复习了向量数量积的定义。
【变式1】已知，且向量与垂直，求向量与的夹角。
学生1：由数量积公式，得夹角公式，算出向量与的夹角为60°。
【评析】上述解法实际上给出了求两个向量夹角的具体方法，下面继续通过变式，让学生的思维继续攀爬。
【变式2】已知，向量与的夹角为60°，求向量与的夹角。
学生2：可以使用甲的方法，先求出和与的数量积·（）=4，同上方法再用夹角公式求出其夹角为60°。
学生3：可根据题意画一张图，发现，和恰好构成一个正三角形，很快就求出来了。同时我根据这个图还可以求出向量与的夹角为30°。
【评析】教师在使用“多题一解”的教学思路的同时，鼓励学生“一题多解”，利用数形结合的方法来开阔他们的思路，并借助于平面几何知识进行快速解题，从而掌握向量的本质，激发求知欲。
从上述案例中，我们不难看出在“一题多变”的同时，教师可以交叉使用“一题多解”与“多题一解”来推进教学过程，让学生在把握住问题的本质的同时，通过实践来不断复习知识、训练思维。
三、多题一解，归纳迁移
在复习课中，往往需要学生对已有的知识进行归纳和迁移，而“多题一解”的教学功能就可以很轻松地帮助教师完成这一任务。
【案例3】已知，求的最大值和最小值。
师：能不能化成单名单次的函数。
生（思考后）：不能化。
解析：
所以
变成这种类型，可以将看成整体，转化为关于的二次函数，继而可以结合二次函数求最值的方法，求该函数的最值。
令的最大值为，最小值为6。
【评析】三角函数是一类特殊的函数，不仅可以利用一般函数的求解方法，还可以利用不等式等知识交汇命题，因此解决这类问题需要熟悉相关的知识，并进行逐步地分析与转化，将函数及不等式的相关知识迁移至此，利用其单调性和不等式的性质来进行研究。在复习课中，利用“多题一解”进行变式教学，可以让学生有梯度地深入难点，引导学生将一些经过迁移的交汇知识进行归纳与总结，能够有效地提高教学的实效性。
处身于高中数学教学的一线教师，不能一直单一地使用某种教学方法或途径，需要根据具体的教学要求与学情，将各种教学方式进行立体交叉应用，在教学中充分利用“一题多解”与“多题一解”，这样既有利于学生对交汇知识的理解与掌握，也可以帮助学生循序渐进地训练如发散、归纳、转化等各种类型的数学思维方法。
