特征值全为实数的实矩阵判定

何汶翰，张海燕

(长春工业大学 基础科学学院， 吉林 长春　130012)



特征值全为实数的实矩阵判定

何汶翰，张海燕*

(长春工业大学 基础科学学院， 吉林 长春130012)

对实矩阵的特征值必为实数的条件进行了研究，得到了实矩阵的特征值必为实数的判定方法。通过实例说明判别方法简单、可行。

正定矩阵; 广义对称矩阵; 特征值

对于矩阵特征值的探讨，无论是在数学理论还是在工程技术上都有广泛的应用。文献[1]研究了实矩阵存在实特征值的条件，证明了任意非对角元符号全相同的实矩阵均有一个实特征值存在。文中利用广义对称阵的概念及性质给出了一些实矩阵的特征值必为实数的判定方法。

定义1[2-3]设A∈Rn×n，若存在n阶实对称正定阵S，使得(SA)T=SA，则称A为由S确定的广义对称阵。

当S=E单位阵时，由S确定的广义对称阵即为实对称阵[4-5]。

引理1[2-3]设A为由实对称阵正定阵S确定的广义对称阵，则A的特征值为实数。

定理1设A=(aij)∈R4×4满足条件：

1)存在i1,i2:1≤i1

2)a32a21a13=a31a12a23。

则A为广义对称阵，且A的特征值为实数。

证明:1)当i1=1,i2=2,j=3时，取正对角阵

由条件知(XA)T=XA，故A为广义对称阵，由引理知A的特征值为实数。

2)当i1=1,i2=3,j=2时，取正对角阵

由条件知(XA)T=XA，故A为广义对称阵，由引理知A的特征值为实数。

3)当i1=2,i2=3,j=1时，取正对角阵

由条件知(XA)T=XA，故A为广义对称阵，由引理知A的特征值为实数。

定理2设A=(aij)∈R5×5满足条件：

1)存在i1,i2:1≤i1≤i2≤4，存在j∈{1,2,3,4}-{i1,i2}，使

2)ak5a5k>0,k≠i1,i2;k=1,2,3,4。

则A为广义对称阵,且A的特征值为实数。

证明:1)当i1=1,i2=2,j=3,4时，取正对角阵

由条件知(XA)T=XA，故A为广义对称阵，由引理知A的特征值为实数。

2)当i1=1,i2=3,j=2,4时，取正对角阵

由条件知(XA)T=XA，故A为广义对称阵，由引理知A的特征值为实数。

3)当i1=1,i2=4,j=2,3时，取正对角阵

由条件知(XA)T=XA，故A为广义对称阵，由引理知A的特征值为实数。

4)当i1=2,i2=3,j=1,4时，取正对角阵

由条件知(XA)T=XA，故A为广义对称阵，由引理知A的特征值为实数。

5)当i1=2,i2=4,j=1,3时，取正对角阵

由条件知(XA)T=XA，故A为广义对称阵，由引理知A的特征值为实数。

6)当i1=3,i2=4,j=1,2时，取正对角阵

由条件知(XA)T=XA，故A为广义对称阵，由引理知A的特征值为实数。

定理3设A=(aij)∈Rn×n(n≥4)满足条件：

1)存在i1,i2:1

且

2)存在j1,j2:j1≠i1，j2≠i1,i2，j1>i1，j2>i2，j2>j1，使得

且

以及

3)aniaijajn=anjajiain，i≠i1,i2，j≠i1,i2；i≠j，i,j=1,2,…，n-1。则A为广义对称阵，且A的特征值为实数。

证明:设对角阵

X=diag(x1,x2,…,xn)

矩阵方程

(XA)T=XA

改写成齐次线性方程组

其中

作行的初等变换

其中

由已知条件，(*)的系数阵的秩为(n-1)，故(n-1)有非零解。

取xn=1，解得

于是存在正对角阵

使得(XA)T=XA,故A为广义对称阵，由引理知A的特征值为实数。

例1:

取

由定理1知A为广义对称阵，且A的特征根为实数。

例2:

取i1=1，i2=3，j=4，则

由定理2知A为广义对称阵，且A的特征根为实数。

[1]永学荣.实矩阵不存在实特征值的一个必要条件[J].新疆大学学报:自然科学版,1989,6(4):107-108.

[2]纪云龙,贾岸平.广义对称矩阵的判定(I)[J].长春工业大学学报:自然科学版,2004,25(4):67-69.

[3]纪云龙,贾岸平.广义对称矩阵的判定(II)[J].长春工业大学学报:自然科学版,2005,26(1):77-80.

[4]程云鹏.矩阵论[M].西安:西北工业大学出版社,1989.

[5]北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1997.

Criteria for real matrices with only real eigenvalues

HE Wenhan,ZHANG Haiyan*

(School of Basic Sciences, Changchun University of Technology, Changchun 130012， China)

Conditionsthattheeigenvaluesofarealmatrixmustbearerealarestudied,andthecriterionmethodsarediscussed.Weuseexamplestoillustratecriterion.

positivedefinitematrix;generalizedsymmetricmatrix;eigenvalue.

2016-01-19

吉林省教育厅基金资助项目(吉教科文合字[2014]第57号)

何汶翰(1992-)，男，汉族，吉林吉林人，长春工业大学硕士研究生，主要从事经济统计方向研究,E-mail:hewenhan319@163.com. *通讯作者：张海燕(1970-)，女，汉族，吉林长春人，长春工业大学教授，博士，主要从事经济统计方向研究,E-mail:zhanghaiyan@ccut.edu.cn.

10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2016.4.07

O151.2

A

1674-1374(2016)04-0340-08