变形Boussinesq方程与Benjamin-Ono方程的可积性与达布变换解

房春梅，薛丽红*，田守富

（1.集宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布012000；2.中国矿业大学理学院，山东徐州221116）

变形Boussinesq方程与Benjamin-Ono方程的可积性与达布变换解

房春梅1，薛丽红1*，田守富2

（1.集宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布012000；2.中国矿业大学理学院，山东徐州221116）

通过引入新的特征值问题首次获得了Benjamin-Ono方程与变形Boussinesq方程的Lax对，并通过函数变换构造了变形Boussinesq方程的达布变换以及此方程与Benjamin-Ono方程的Miura变换，最后通过达布变换与Miura变换获得了这两个方程的若干组精确解.

Benjamin-Ono方程；变形Boussinesq方程；达布变换；Lax对

在非线性科学领域，对于孤子方程的研究显得尤为重要，在过去几十年的时间里，人们已经研究出许多构造孤子方程精确解的方法［1-4］，主要有Back1und变换法、反散射方法、hirota双线性方法、ck直接法、Darboux变换方法等等.其中，Darboux变换法已经成功地求解了一系列与特征值问题相关联的孤子方程.

本文主要考虑Benjamin-Ono方程：

文献［5-7］已对该方程做了一系列的研究，获得了该方程的Back1und变换与精确解.

本文的具体工作如下：

先引入一个特征值问题导出了一个新的变形Boussinesq方程，

并获得了此方程的Lax对与达布变换.同样引入一个特征值问题导出了Benjamin-Ono方程，以及此方程与变形Boussinesq方程的Miura变换；最后通过达布变换与Miura变换获得了变形Boussinesq方程的与Benjamin-Ono方程的若干组精确解.

1 变形Boussinesq方程的Lax对与达布变换

引入一个特征值问题：

对应于（3）的特征函数的时间演化为：

那么，通过直接计算可以得到下面的命题：

定理1 假定ϕ满足式（3）和式（4），则Lt=［B，L］就是变形Boussinesq方程（2）.

对于定理1可直接通过计算验证.

命题1 假定当λ=λ0时，f满足式（3）和式（4）且具有如下形式，

证明 当λ=λ0时，f满足：

命题2 假定当λ=λ0时，f满足式（3）和式（4）且具有式（5）与式（6）形式，则ϕ_满足：

从式（14）～（16）即可推出式（13）成立.

命题1，2说明了变换式（5）、（6）将Lax对式（3）、（4）变成具有完全相同形式的Lax对式（7）、（13）.由定理1可知，两个Lax对对应的是同一方程（2）.称为变形Boussinesq方程（2）的一个达布变换［8-9］.综上，可得出下面的定理：

定理2 变形Boussinesq方程（2）的解u在变换式（5）、（6）下变成一个新解.

2 Benjamin-Ono方程的Lax对以及与变形Boussinesq方程的Miura变换

引入两个算子L1，B1如下：

通过直接计算L1，t=［B1，L1］就能得到Benjamin-Ono方程（1）.所以方程（1）在Lax意义下是可积的.算子L1，B1称为Benjamin-Ono方程（1）的Lax对.

假定u=ϕxϕ-1，则容易得出式（17）、（18）两式能改写成如下形式：

将式（19）关于时间t求导，再将上几式带入得到：

由式（20）可以计算出：

从而可得出Benjamin-Ono方程与变形Boussinesq方程之间的Miura变换.

经过以上分析，能得出以下定理：

定理3 假定u是变形Boussinesq方程的解，那么在变换（20）下所得解是Benjamin-Ono方程的解.

称变换（20）为Benjamin-Ono方程与变形Boussinesq方程之间的Miura变换.

3 变形Boussinesq方程与Benjamin-Ono方程的精确解

本节通过达布变换（6）与Miura变换（20）给出变形Boussinesq方程与Benjamin-Ono方程的若干种精确解.

假定取u=b（常数）为变形Boussinesq方程的种子解，且λ=λ0，则式（3）、（4）变为：

下面分三种情况进行求解：

情况1 当b=0，λ0=0，时可以得出方程组（23）～（24）有如下解：

其中ci（i=0，1，2）是常数，且由Darboux变换式（6）得出式（2）的解为：

2）当时，由式（26）化简可得奇点解：

由达布变换式（6）得出方程（2）的孤子解：

情况3 设b=0，λ0=-β3，则可以得出方程组（23）～（24）有如下解：

1）当r0=0，由达布变换式（6）得出方程（2）的周期解：

2）当r2=0，由达布变换式（6）得出方程（2）的解：

最后由Benjamin-Ono方程与变形Boussinesq方程之间的Miura变换（20）可以得到与上面变形Boussinesq方程的解对应的Benjamin-Ono方程的几组精确解.

［1］ 耿献国.变形Boussinesq方程的Lax对和Darboux变换解［J］.应用数学学报，1988，11（3）：324-328.

［2］ 沈守枫，于水猛，李春霞，等.2n维空间中的广义自对偶Yang-Mi11s方程的达布变换［J］.数学物理学报，2015，35A（3）：478-486.

［3］ ZHA Qi1a.A Negative Order Genera1ized WKI Hierarchy，Bi-Hami1tonian Structure，and Da rboux Transformation［J］.Journa1 of Mongo1ia Norma1 University，2014，43（5）：529-534.

［4］ HIROTA R.The Direct Method in So1iton Theory［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2004.

［5］ 张鸿庆，张玉峰.Benjamin方程的Back1und变换、非线性叠加公式及无穷守恒律［J］.应用数学和力学，2001，22（10）：1017-1021.

［6］ WANG Zhen，ZHANG Hongqing.A method for constructing exact so1utions and app1ication to Benjamin Ono equation［J］.Chinese Physics，2005，14：2158-2163.

［7］ 非线性长波方程组和Benjamin方程的新精确孤波解［J］.物理学报，2006，55（7）：3246-3254.

［8］ ZHA Qi1ao.N-so1iton so1utions of an integrab1e equation studied by Qiao［J］.Chinese phys B，2013，040201-1-040201-6.

［9］ ZHA Qi1ao，LI Zhibin.Periodic-so1iton so1utions of the（2+1）dimensiona1 kadomteev-Petviashvi1i equation［J］.Chinese phys B，2008，17（7）：2333-2338.

责任编辑：高 山

The IntegrabilitY and Darboux Transformation Solutions for the Benjamin-Ono Equation and the Modified Boussinesq Equation

FANG Chunmei1，XUE Lihong1*，TIAN Shoufu2
（1.Department of Mathematics，Jining Norma1 University，Wu1anchabu 012000，China；2.Department of Mathematics，China University of Mining and Techno1ogy，Xuzhou 221116，China）

In this paper，based on the new eigenva1ue prob1em，we first get the 1ax pair of Benjamin-Ono equation and the modified Boussinesq equation.With the he1p of function transformation，the Darboux transformation of the modified Boussinesq equation is constructed.The Miura transformation of Benjamin-Ono equation and the modified Boussinesq equation is obtained.Fina11y，some so1utions of the two equations are derived via the resu1ting Darboux transformation and Miura transformation.

Benjamin-Ono equation；modified Boussinesq equation；Darboux transformation；Lax pair

O175.29

A

1008-8423（2016）02-0127-04

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.06.003

2016-04-17.

国家自然科学青年基金项目（11301527）；2015年集宁师范学院科学研究项目（jsky2015028）.

基金项目：房春梅（1985-），女（蒙古族），硕士，讲师，主要从事孤立子与可积系统的研究；*通信作者：薛丽红（1981-），女（满族），硕士，讲师，主要从事最优化理论与应用的研究.