具有广义多面体约束的参数变分不等式解映射伴同导数

庞 丽 萍，　吕 佳 佳，　孟 凡 云，　王 金 鹤

( 1.大连理工大学 数学科学学院, 辽宁 大连　116024；2.青岛理工大学 计算机工程学院, 山东 青岛　266033 )



具有广义多面体约束的参数变分不等式解映射伴同导数

庞 丽 萍*1，吕 佳 佳1，孟 凡 云1，王 金 鹤2

( 1.大连理工大学 数学科学学院, 辽宁 大连116024；2.青岛理工大学 计算机工程学院, 山东 青岛266033 )

在研究参数变分不等式稳定性理论及均衡约束数学规划的最优性条件时，计算参数变分不等式解映射的伴同导数显得尤为重要．考虑了具有等式约束的广义多面体约束的参数不等式．首先，在无约束规范条件下，利用二阶微分理论，给出了具有广义多面体约束的法锥的图的法锥．其次，借助辅助多面体集合及约束规范条件，得到了更为简洁的法锥形式．最后，给出参数变分不等式的解映射的伴同导数．

参数变分不等式；广义多面体；伴同导数

0　引　言

在Banach空间X，Y，Z及其对偶空间X*，Y*，Z*中，考虑下面的参数变分不等式：

v∈f(x，p)+N(x;Ω)；对所有的x∈Ω

x∈X为决策变量，v、p为扰动参量，其中v∈X*是标准扰动变量，p∈Z是基本扰动变量．函数f：X×Z→X*严格可微．上述变分不等式可以等价地表示为下面的标准变分不等式：对v∈X*，p∈Z，存在x∈X使得

〈f(x，p)-v，z-x〉≥0；对所有的z∈Ω

许多优化问题，比如参数互补问题、均衡问题、KKT系统等都可以用上述参数变分不等式表示．在本文中考虑Ω是下面定义的广义多面体：

S(v，p)={x∈X|v∈f(x，p)+N(x;Ω)}

近年来许多学者对参数变分不等式进行了研究，而且取得了不少成果[1-3]．而参数变分不等式的解映射也是研究的一个极其重要的方面，它为具有均衡约束的优化问题的最优性条件[4]及稳定性分析[1]提供了重要的理论依据．近年来，对这一问题研究取得了许多重要的进展．Henrion等在文献[5]中利用二阶微分理论得到了无限维Banach 空间中具有多面体约束的参数变分不等式解映射的伴同导数．此后，Ban等在文献[6]中建立了广义多面体约束的参数变分不等式的解映射的伴同导数．此外，以c为变量得到扰动集合Ω(c)，文献[7-8]建立了此类多面体约束的参数变分不等式的微分理论．本文将文献[5]中的多面体推广到具有线性等式约束的广义多面体，在半无限线性规划及无限维空间的广义线性规划中，许多问题的约束都可以写成上述形式的广义多面体，因此研究广义多面体集合具有十分重要的意义．对于带有线性等式约束的广义多面体，为了得到广义多面体集合法锥映射的图的极限法锥的简洁形式，不能像文献[5]中定理4.2那样直接证明得到，因此借助定义的辅助多面体集合，首先建立辅助多面体集合的法锥映射的图的极限法锥的简洁形式，然后建立广义多面体的法锥映射的图的极限法锥的简洁形式，最后建立具有广义多面体约束的参数变分不等式解映射的伴同导数．

1　预备知识

N^(x;Γ)={x*∈X*limsupx→xx-x≤0}

(1)

N(x;Γ)=limsupx→xN^(x;Γ)

(2)

D^*F(x,y)(y*)=

{x*∈X*|(x*，-y*)∈

N^((x,y);gphF)

}

(3)

伴同导数(或极限伴同导数或Mordukhovich伴同导数)定义为

(4)

定理1 W为向量空间，A：W→Rd和B：W→Rs为线性映射．则下述两系统之一有解：

(1)∃x∈W使得Bx≥0，Ax>0；

2　广义多面体约束的法锥映射的伴同导数

(5)

i∈QP}

其中

N^((x,x*);gphF)=

[AI，J+A*Y*]×

[BI，J∩ker A]

固定Q⊆T，令

A*Y*]×[BQ，P∩ker A]

(6)

k∈N,(v*k,uk)∈N^((xk,z*k);gphF)

(7)

(8)

证明 将定理3应用到辅助多面体集合得

A*Y*]×

(9)

N^(x,θ)

(10)

[BQ，P∩ker A]

(11)

最后，给出具有广义多面体约束的参数变分不等式的解映射的伴同导数．

pf(x,p)

q*=-pf(x,p)*p*

(xf(x,p)*p*-x*,p*)∈[AQ,P+A*Y*]×[BQ,P∩kerA]

}

q*=-pf(x,p)*p*,(xf(x,p)*p*-x*,p*)∈[AQ,P+A*Y*]×[BQ,P∩kerA]

N((v,p,x);gphS)=g(v,p,x)*×N((x,v-f(x,p));gphF)

证明 (i)对(v，p，x)∈gphS，定义映射g：X*×Z×X→X×X*为g(v，p，x)∶=(x，v-f(x，p))，则gphS={(v，p，x)∈X*×Z×X|g(v，x，p)∈gph F}=g-1(gph F)．应用文献[9]中定理1.17，可得，由伴同导数的定义及定理3知存在P⊂Q⊂I，P∈I，SQ≠∅，满足

(p*,q*,-x*)∈g(v,p,x)*AQ,P+A*Y*BQ,P∩kerAæèççöø÷÷

p*=-u,q*=pf(x,p)*u,x*=-xf(x,p)*u,

q*=-pf(x,p)*p*,xf(x,p)*p*-x*∈AQ,P+A*Y*,p*∈BQ,P∩kerA,

则存在u∈AQ，P+A*Y*，u*∈BQ，P∩ker A满足即对P⊆Q⊆I，P∈I，SQ≠∅，有则(i)的结论成立．

(ii)由定理5知，在两个约束规范条件之下，有式(11)成立，则(ii)同样成立．

3　结　论

本文主要建立了带有广义多面体约束的参数变分不等式的解映射的伴同导数．从不同的角度对文献[6]进行了深入的推广．首先，在无约束规范的条件下，得到了法锥映射的图的法锥．其次，借助辅助多面体集合及约束规范，得到了更为一般的法锥形式．最后，得到参数变分不等式的解映射的伴同导数．

[1]Dontchev A L, Rockafellar R T. Characterizations of stronger regularity for variational inequalities over polyhedral convex sets [J]. SIAM Journal on Optimization, 1996, 6(4):1087-1105.

[2]LU Shu, Robinson S. Variational inequalities over perturbed polyhedral convex sets [J]. Mathematics of Operation Research, 2008, 33(3):689-711.

[3]Mordukhovich B S, Nghia T T A. Local strong maximal monotonicity and full stability for parametric variational systems [J]. SIAM Journal on Optimization, 2016, 26(2):1032-1059.

[4]Ye J J, Zhu Q J. Multiobjective optimization problems with variational inequality constraints [J]. Mathematical Programming, 2003, 96(1):139-160.

[5]Henrion R, Mordukhovich B S, Nam N M. Second-order analysis of polyhedral systems in finite and infinite dimensions with applications to robust stability of variational inequalities [J]. SIAM Journal on Optimization, 2010, 20(5):2199-2227.

[6]BAN Li-qun, Mordukhovich B S, SONG Wen. Lipschitzian stability of parametric variational inequalities over generalized polyhedra in Banach space [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Application, 2011, 74(2):441-461.

[7]Nam N M. Coderivatives of normal cone mappings and Lipschitzian stability of parametric variational inequalities [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Application, 2010, 73(7):2271-2282.

[8]Qui N T. Nonlinear perturbations of polyhedral normal cone mappings and affine variational inequalities [J]. Journal of Optimization Theory and Applications, 2012, 153(1):98-122.

[9]Mordukhovich B S. Variational Analysis and Generalized Differentiation I:Basic Theory [M]. Berlin:Springer, 2006.

Coderivative of solution mapping to parametric variational inequality constrained by generalized polyhedra

PANGLi-ping*1,LÜJia-jia1,MENGFan-yun1,WANGJin-he2

( 1.School of Mathematical Sciences, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.Computer Engineering Institute, Qingdao Technological University, Qingdao 266033, China )

It is of great importance to compute the coderivative of the solution mapping to the parametric variational inequality while investigating the stability theory of the parametric variational inequality and optimality conditions of the mathematical programming governed by equilibrium constraints. A class of parametric variational inequalities constrained by generalized polyhedra including the equality constraints is considered. Firstly, by virtue of the second-order differentiation theory, the normal cone is given to graph of the normal cone constrained by generalized polyhedra without any constraint qualifications. Next, under the auxiliary polyhedral set and the provided constraint qualification, the formula of the above-obtained normal cone is simplified. Finally, the coderivative of the solution mapping to the parametric variational inequality is given.

parametric variational inequalities; generalized polyhedra; coderivative

1000-8608(2016)05-0546-05

2016-02-01；

2016-07-28．

国家自然科学基金资助项目(11171049,31271077,11301347).

庞丽萍*(1968-)，女，教授，博士生导师，E-mail:lppang@dlut.edu.cn；吕佳佳(1987-)，女，博士生，E-mail:ljiajia2849@163.com；孟凡云(1987-)，女，博士生，E-mail:mengfanyundlut@163.com.

O224

A

10.7511/dllgxb201605016