“数学建模”在物理学习中的运用

2016-10-12天津市瑞景中学周耀才

天津教育 2016年1期

关键词：数学建模建构建模

■天津市瑞景中学周耀才

“数学建模”在物理学习中的运用

■天津市瑞景中学周耀才

一、问题的提出

高中学生普遍反映，物理内容课上能听懂但题不会做，遇到问题不知从何处入手。学生所缺少的是研究物理问题的思维方法，而方法是隐性的，它的形成需要一段较长的时间，我们的目的就是帮助学生建构解决物理问题的方法。

为此，我们认真分析了高中物理难学的原因：

（一）思维离不开具体经验

学生由初中升入高中，从认知角度看，开始由具体运算阶段进入形式运算阶段，开始从具体事物中解脱出来，能在头脑中将形式和内容区分开来，能初步运用语词或符号进行逻辑思维，抽象思维能力有些发展。但是，思维还常常与具体事物相联系，离不开具体经验，缺乏概括能力，抽象推理能力尚未发展，不能很好地进行命题运算。

（二）高中数学知识的编排明显落后于物理的学习进度

高一物理开始后，很快学习矢量这一概念，而数学上向量的概念在高中必修四才讲述，学生理解物理矢量的概念很困难；高一物理用V-t图求加速度，却无法直接用直线的斜率来描述加速度，因为数学课本上的直线方程的斜率放在高二上学期才进行讲述。数学知识的编排明显落后于物理学习的节奏，致使学生理解物理概念不到位，较快接受比值定义法、极限法、微元法处理物理问题很困难。

（三）物理学习的一个特点就是数学运算

进入高中后，物理学习上量化计算陡然增多，而学生的数学应用能力往往较差，不能很好地推理、分析和综合。有时，即使学生对题目考查的物理知识点非常了解，但由于学生数学知识运用水平低，不能很好地使用题目给出的已知条件，找到各个量之间的函数关系，快速地解决问题，导致物理学习很困难。

二、理论依据

斯皮罗认为，建构包含两方面的含义：其一，对新信息的理解是通过运用已有经验，超越所提供的信息而建构成的；其二，从记忆系统中所提取的信息本身，也要按具体情况进行建构，而不单是提取。学习者主动创造意义而不是获得意义，而教学的作用则是向学习者展示如何建构知识，促进互相合作，分享交流不同认识。帮助学生建构意义就是要帮助学生对当前学习内容所反映的事物的性质、规律以及该事物与其他事物之间的内在联系达到较深刻的理解。

课堂教学在帮助学生获得信息、知识、技能、思维方式及表达方式时，也在教学生如何学习；教学追求的目标和结果，应由学生的“学”体现出来；教学效果的好坏，不仅要看它是否达到了具体的目标（如知识、技能、信息），而且要看它是否能够提高学生的学习能力。

在此理念的基础上，我们简化并归纳出同类问题的研究模式，提炼出“数学建模”解决物理问题的思想方法，归纳出建模法的若干环节，使同类问题的思维程序化，从而有目的地培养和提升学生运用“数学建模法”解决物理问题的能力。

三、创新过程与方法——跨学科建构知识、解决问题、形成能力

（一）指导学生正确认识数学知识与物理学习之间的联系，强调数学为“物理学习的语言和工具”

上课伊始，我从初中物理测距谈起。测量较近、较小的物体间距我们常常用刻度尺，而要测更大更远的距离用尺子就不行了，需要用数学方法。比如，我们想测量地球与月球相距多远，可以通过雷达对准月亮发一个脉冲信号，等到信号从月亮上反射回来，记下信号往返的时间△t，利用数学方法S=c△t，

可以较快计算出地球到月亮的距离。再如，测高大建筑物的高度，可以根据太阳光照射留下的影子，利用相似三角形对应边成比例求得。我告诉学生，物理学研究的是物质最普遍、最基本的运动形式及其相互转化规律，自然界各种物质的运动，在量上都是守恒的，在质上也是守恒的，于是才有了机械能守恒定律、能量守恒定律，它们最简洁的描述就是用数学等式表达出来；而通过数学运算与逻辑推理再返回物理世界，才能解决大量的物理问题；高中物理中，大量微观粒子组成的系统在一定条件下表现出来的不确定性，也是通过数学表征出来的。

我进一步告诉学生，数学为考察物理对象提供简洁精确的形式化语言，提供数学分析和数值计算的方法，提供严密推理和逻辑证明的工具和抽象思维的能力。伽利略最早尝试采用精确的数学分析和结合实验数据来研究物理问题；牛顿则第一个大量地运用数学方法来系统地整理物理理论，这些物理大师们的成功都离不开数学，从而让学生认识到数学知识对物理学习的重要性，引起学生思想上对数学知识学习的高度重视。

（二）跨学科建构模型解决物理问题

1.积极开展研究性学习。在讲述新的物理概念前，把新章节中要用到的数学知识，指导学生从数学教材中一一找出来，弄明白这些知识点的数学意义，为建构数学模型做好铺垫。

在讲述矢量及运算前，我要求学生找到数学必修四课本，指导学生复习数学上的向量概念和运算法则；学习V-t图、X-t图前，指导学生认识直线斜率的意义；在学习力的合成与分解前，告知学生任意角的三角函数与反三角函数……在讲述物理内容前，引导学生了解新章节中的数学知识，借助数学理解物理概念。

2.在物理教学过程中，对用到的数学知识，给学生做准确的示范和描述，启发学生学会用数学语言表述物理概念，用数学方法探寻物理规律。

在讲述通电导体于磁场中受安培力方向时，我恰到好处地展现空间几何模型，尤其是带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹更是与圆的知识紧密联系，遇到这样的情况，我适时讲解圆、弦、切线的几何性质，给学生做准确的示范，通过加强数学基础知识的教学为物理学习服务。

3.选取典型例题、习题，指导学生尝试利用“数学建模”简化物理问题、引导学生进行严密的逻辑推理，然后给予合理的解释。

如追及与相遇问题，用到一元二次不等式的解法，可以建立“一元二次方程模型”，也可以由V-t图通过计算面积、建立“图像模型”来判断是否追上。通过典型问题，启发学生的思维向纵深发展，依次是：

4.创设开放性实验室，让学生进行实地测量、分析，在具体的情景中学会构建数学模型，体验用建模法解决问题。

实验室内存有生物标本，如何推算生物死亡的年代。对于这一问题，可以利用放射性衰变的规律求得。14C是β衰变核素，半衰期T=5730年，大气中的14C与12C之比近似为一常数，由于活的生物体通过呼吸和光合作用与大气进行碳交换，使生物体内14C和12C与大气中有相同的比例，一旦生物体死亡，这种碳交换停止，在生物体内的碳只有衰变，没有生成，其放射性活度将按指数规律下降。所以，只要测得死亡生物体每克碳的放射性活度，就可算出标本死亡的年代。利用放射性衰变的规律也可推算出落到地球上陨石的年龄，进而估算太阳系的年龄。

5.利用活动课，让学生逐步尝试构建多种数学模型，鼓励学生交流和讨论，利用建模法解决学习和生活中遇到的问题。

如图所示，把一个真空罐放于光滑水平面上，当其右侧被刺破一个小孔时，罐子将做什么运动？

对于这样一个活生生的具体问题，如果不进行简化是很难描述的，那么，应如何识别并建构数学模型呢？

分析可知，罐子的运动情况与跟它相互作用的空气有关，若以真空罐和最终进入罐内的空气组成的系统为研究对象，这一系统合外力为零，遵守动量守恒定律，可通过构建“二体碰撞”模型来处理。若没有“人船模型”的概念，很难思考此类问题。

四、创新成果

（一）探索出解决物理问题的一个方法——“数学建模法”

归纳出“数学建模法”解决物理问题的四个环节“探究—数学建模—逻辑推理—物理解释”。

1.探究：寻清实际问题，包括分析原型的结构、要达到什么目的以及能给我们提供什么信息，由学生对情景所反映的性质、规律以及事物之间的内在联系达到较深刻的理解。

2.数学建模：分析处理资料，确定现实原型的主要矛盾，忽略次要因素，超越情景信息，进行科学抽象和概括，运用数学工具建立各种量之间的关系。

3.逻辑推理：根据所采用的数学工具在原有经验的基础上，进行严密的逻辑推理或求解，找出数学上的结果。

4.物理解释：把数学上的结论返回到实际问题中去，即根据数学上的结论主动创建意义，对现实问题给予解释，由此判断数学模型正确与否，如有误，进行修正。

（二）数学建模的流程是

建构数学模型解决物理问题的关键在于：将物理问题数学化，在分析物理情景、理解物理问题要素的基础上，通过列表、画图、建立直角坐标系等方式把物理问题转化为数学问题，建立数学模型，把文字语言翻译成数学语言，然后对得到的数学模型进行求解，得到数学解。

（三）引入概念、建立规律时也可以通过“数学建模法”

【案例】“机械能守恒定律”的建立

思考如下几个物理情景：

把一个小球用细线悬挂起来，把小球拉到一定高度的A点，然后放开，小球在摆动过程中，可以摆到跟A点等高的C点，如图甲。如果用尺子在某一点挡住细线，小球虽然不能摆到C点，但摆到另一侧时，也能达到跟A点相同的高度，如图乙。

物体沿光滑曲面滑下，选取整个过程中的任意两点A和B，如图丙。

发现这三个过程有一些共同的特征，可引导学生建构数学模型。

素：物体受几个力？唯有重力做功。

挖本质：重力势能变化伴随动能变化。

理关系：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

建立函数模型构建机械能守恒定律：在只有重力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。式中各变量间的依赖关系，用解析式清晰地表达出来。由于数学表达形式简洁，内涵丰富，用较少的符号就能言简意赅地说明问题，在物理概念、规律的建立过程中被广泛采用。

五、学生的变化

该方法充分利用数学思想为物理学习服务，引导学生结合数学眼光，通过“渗透—体验—积累—内化”的过程有目的地培养和提升学生运用“数学建模法”解决物理问题的能力，我们看到了学生的可喜变化。

（一）学生变得乐学、好学

学生的学习兴趣提高了，主动提问题、主动对比、模仿建构模型。随着力、电、磁、光、原子等物理知识的深入学习，涌现了不同的物理问题，学生建构了多种数学模型以解决这些物理问题，如：函数模型，三角模型，图像模型，不等式模型，一元二次方程模型，圆与切线模型等，对于振动现象、波动过程常用双曲型偏微分方程描述，对于或然现象（如核外电子的分布）用概率论与数理统计来描述……

学生学习方法发生了极大的变化。在教师的引导下，学生对学习中的问题主动探讨，他们自主探究、独立思考、分工协作的良好学习习惯基本养成。

（二）思维得到发展，能力得到培养

学生养成了自己独立推导物理公式的习惯；对于新的数学知识，学生学会思考它在物理上的应用；当物理学习中涉及到不理解的数学运算时，学生知道主动查阅数学知识的出处，借以熟悉数学知识；对于生活中的现象，学生知道了结合数学的观点来思考和处理；知道借助数学理解物理概念；知道采用精确的数学分析结合实验数据来研究物理问题；知道积累数学知识和数学方法为物理学习服务。