多目标优化在供应链库存管理中的应用

■ 田进凤（宁夏大学民族预科教育学院 银川 750011）

多目标优化在供应链库存管理中的应用

■ 田进凤（宁夏大学民族预科教育学院 银川 750011）

本文建立了一个三级供应链上单个产品的相互冲突的多目标库存模型。模型中订货提前期和顾客需求是不确定的并服从正态分布，并考虑了供应链中决策者对每个目标不同的偏好，以及产品价格的灵活性和不确定性，因此，在本研究中目标权重因子和产品价格均以模糊数来表示，并通过模糊理论得到具体的值。最后通过和供应链上所有的决策者进行交互计算，得到最终想要的调和解，从而使企业和供应链在库存管理方面获得双赢。

供应链 库存管理

一般来说，库存管理（inventory management）是供应链管理的重要组成部分，不断提高库存管理和优化，已成为供应链及供应链上各个节点企业追求的重要目标。目前在学术界，有关供应链环境下的库存优化问题也取得了丰硕的研究成果。

本文通过分析产品市场价格和目标权重的模糊性，采用模糊数来描述，考虑了顾客需求量和订货提前期是不确定的，分别服从正态分布，在此基础上，建立了一个涉及三级供应链库存的模糊多目标决策模型，并对其进行求解，给企业和决策者提供了一个较满意的决策方案，使供应链和节点企业获得双赢。

多目标优化模型

现实中，供应链是由大量相互协作的企业组成的，涉及到各个成员企业的供、产、销的全过程。本文要考虑的是一个单一产品的三级系列供应链模式，且由三个企业即供应商、生产商和销售商组成。可以很容易延伸得到更多级的系列供应链模式或网状供应链模式。

（一）模型假设

1.每个企业有自己的安全库存量。

2.允许缺货，但与平均库存相比，平均缺货很少，且无同时缺货现象。

3.连续盘点型（Q，r）库存控制策略用于检查每个企业的库存状况。

（二）模型中的目标函数

库存管理基于两点考虑：一是订货成本、库存持有成本和订购成本，另一个是顾客服务水平和安全库存水平。库存管理的总目标是在达到满意的顾客服务水平的前提条件下，尽可能降低供应链上的库存成本，提高供应链物流的效率，以强化企业的竞争力。因此，本文主要从最小化库存成本、最大化安全库存水平和顾客服务水平三个目标作为目标函数进行优化计算。

1.供应链库存成本：主要包括库存持有成本HC、订购成本OC和订货成本

由于订货提前期和产品市场需求均是随机的且分别服从正态分布：N（μL，）和 N（μD，），从而得到第i级企业的平均在库库存为：，其中 ki为安全库存系数。

最小化供应链库存成本函数为：

其中Ti是每次补货时发生的订货成本，D 是年预测顾客需求量，Ui是单位在库库存持有成本，p~i是产品价格，为一模糊变量。

2.安全库存水平：安全库存是库存的一部分，主要为应对需要或订货点发生短期的随机变动而设置的。通过建立适当的安全库存，减少缺货的可能性，在一定程度上降低库存短缺成本。但安全库存的加大又会增加库存持有成本，因此，安全库存很难准确预测。供应链安全库存水平为：（Si是短缺库存水平）

3.顾客服务水平：是指对顾客需求情况的满足程度。顾客服务水平越高，说明缺货发生的情况越少，从而缺货成本就较小，但因此增加了安全库存量，导致库存的持有成本上升；而顾客服务水平较低，说明缺货发生的情况较多，缺货成本较高，安全库存量水平较低。供应链顾客服务水平公式为：

本文的目的是要同时集成上述几个目标，使得：保证供应链上所有参与企业的库存控制成本最低；提高整个供应链上的顾客服务水平，安全库存水平。设fjmax和fjmin分别为目标fj的最大值和最小值（j=1，2，3） ，对上述三个目标进行处理得到目标函数为：

表1　一类语言变量与模糊数的对应值

表2　成本参数值以及其它各参数值

则只求单目标函数（5）的最优解Q·i 和，即为供应链库存多目标优化问题（1）—（3）的最佳调和解。

不确定性环境

在大量的多目标决策问题中，要求决策的目标之间往往是相互冲突的。因此，综合考虑多目标决策的所有目标后，得到一些非劣解，而把具体的最佳调和解的选取工作留给决策者，这对决策者来说是非常困难的事，是具有很强专业性的工作。如果根据决策者的不同偏好，确定决策中各目标权重的大小，直接求出一个满足决策者需要的调和解，对于决策者来说，不但容易解决且更具实效。决策者的目标偏好是模糊的，采用模糊语言对上述三个目标进行评价，有关模糊语言与模糊数的对应关系如表1所示。在此采用三角模糊数Mi=（li，mi，ui） ，li≤mi≤ui∈R ，i=1，2，3 ，且模糊数Mi在x 处的隶属度函数为：

设每个公司有ki=（1，2，3） 个决策者或专家做决策，则整个供应链共有个决策者，每个决策者或专家根据自己公司的状况和对各个目标的偏好给出模糊评价值Mij（lij，mij，uij）（i=1，2，3，j=1，…，p），从而构成评价矩阵M ：

对评价矩阵按行进行平均，即可得所有专家对各个目标的模糊平均权值Mi=（li，mi，ui） 。

计算权重因子 w~j。一般地，在选择中决策者有三种类型：公平偏好、冒险型偏好和保守型偏好。下文给出当决策者的偏好特征为冒险型偏好时，设模糊最大最小集的隶属度函数fM（x） 和fL（x） 分别为：

表3　产品价格的接受范围（a，b）和调和价格

表3　产品价格的接受范围（a，b）和调和价格

表4　决策者对3个目标函数的模糊评价和最后权重值

表5　计算得到的各企业的Qi、ki值

其中xmin=inf S，xmax=supS，S=Y3

i=1Si，Si=｛x|fMi（x）＞0｝。进而得到右效用函数和左效用函数分别为：

则整体效用函数为：

最后对UT（i） 进行规格化处理即可得到各个目标在整个优化问题中的权重值，j=1，2，3 。

在现实中，买卖双方在出售/购买一种特定的产品时，对产品市场价格的偏好有所不同。产品价格具有明显的可谈判性和不确定性。因此，在此模型中假设产品市场价格p~

i是一模糊量。设模糊集sp和bp，分别来衡量销售者和购买者对价格的偏好。由经验得知，用线性隶属函数可以提供与用更复杂非线性隶属函数相同的结果，所以在此采用有常数倍的递增/递减的隶属满意度及线性隶属函数来描述买卖双方对产品价格的偏好程度，如下：

其中，（a，b） 和（c，d） 分别是销售方和购买方对价格期望的上下限值。在多目标优化过程中，为了充分体现决策者的主观性和最终结果的合理性，由买卖双方给出彼此的接受价格范围（a，b） 和（c，d） 的值，供应链调和商议得出产品的最终交易价格，i=1，2，3 。

算例

下面给出上述供应链库存的模糊多目标优化模型的一个例子。设年顾客预期需求为 D=2000件。所有成本参数以及其它参数值由表2给出。假设每个企业有两名决策者或专家，则供应链中共有k=6 名决策者。企业双方的业务代表分别给出产品价格的接受范围，然后双方的决策者进行谈判协调，第一次达成产品的交易价格。决策者再根据此价格以及企业自身情况和自己的专业知识，分别对3个目标的相对重要性进行评价，给出其模糊评价权重w~j，j=1，2，3 。所给数据如表3和表4所示。得到产品的价格和各目标的权重值后，由式（4）和式（5）求得每个企业的Qi、ki的值，如表5所示。将输出结果显示给各企业的决策者，如果决策者满意则停止程序，如果不满意就继续上述过程，直到决策者满意为止。

从表3和表4可以看出，供应链上各个企业的决策者可以根据各自企业的决策给出合理的价格以及对三个目标的偏好评价值，但又不会各自为政，得到供应链上的调和价格和三个目标的偏好权重值。将表5计算出的数据代入上述三个目标函数值中，供整个供应链及各企业决策者对比。这样，由上述程序，决策者就可以多次进行决策商讨，直到供应链上以及各个节点企业都满意为止，为供应链和各企业提供一个较优的决策方案，从而使企业和供应链在库存管理方面获得双赢。

结论

本文从库存成本、安全库存水平和顾客服务水平三个目标，建立了供应链库存的不确定多目标决策优化模型，考虑了顾客需求和订货提前期的不确定性，变量分别服从正态分布。同时充分考虑了目标权重因子和产品价格的不确定性，这为供应链上及其各个企业的决策者提供了从整体利益和各自利益都权衡的条件下进行决策分析，在保证满意的顾客服务水平的情况下建立合适的安全库存，尽可能地降低库存成本。这样建立的模型可以使供应链上每个企业得到较满意的订货数量和安全库存，使得整条供应链和单个企业均实现了优化，因此具有很强的实用性和现实意义。

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宁夏自然科学基金资助项目（NZ15045）

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