双换元法求二元变量的最值问题

李东进

(江苏省苏州市苏州新草桥中学 215011)



○短文集锦○

双换元法求二元变量的最值问题

李东进

(江苏省苏州市苏州新草桥中学 215011)

最值问题,特别是二元变量的最值问题是教学的难点,同时也是各级各类调研考试、高考的热点．纵观一些高考、模拟试题,这类最值问题由于结构复杂,难以将问题转化为一元问题,导致处理难度大．笔者发现对这类最值问题采取双换元的方法,可以收到意想不到的效果．本文结合教学实践略作探讨,供大家参考．

一、分式求和型的最值

简解设2a+b=x,b+1=y，

则x>0,y>1,

此类问题的求解方法很多,考虑到和式的分母较为复杂,分子简单,所以可以对分母进行双换元再化简,变为关于新变量的简单式子,再利用基本不等式求解,这样的化归大大减少了思维量．

二、旋转双曲线条件下的最值

简解2x2+xy-y2=1,即

(2x-y)(x+y)=1.

设2x-y=m,x+y=n,则mn=1，

且x-2y=(2x-y)-(x+y)=m-n,

5x2-2xy+2y2=(2x-y)2+(x+y)2

=m2+n2.

本例中的方程2x2+xy-y2=1对应的曲线,其实是旋转后的双曲线.对于此类最值的求解可以将条件进行因式分解再对两个因式双换元,将所求表达式利用待定系数法表示为换元后的双元表达式,结合基本不等式知