巧探数列通项公式

王　琳

(山东省青岛职教教研室，266023)



巧探数列通项公式

王琳

(山东省青岛职教教研室，266023)

数列通项公式深刻揭示了数列各项与项数之间的内在关系．通项公式的探求对研究数列至关重要,可以说是数列的灵魂．在具体问题中,数列特点不同,其通项公式的探求方法也不尽相同．

一、观察法

根据所给的一列数,通过观察、分析，找出其变化规律，从而探求其通项．

例1设数列{an}的前5项分别是图1中5个图形的点的个数，试猜想该数列的一个通项公式.

本题给出的一组图形非常有特点:

第一组点的个数a1=1：可以看成

a1=0×1+1；

第二组点的个数a2=3：可以看成

a2=1×2+1;

第三组点的个数a3=7:可以看成

a3=2×3+1；

第四组点的个数a4=13：可以看成

a4=3×4+1；

第五组点的个数a5=21：可以看成

a5=4×5+1；

……

通过观察,分析,可得

该数列的一个通项公式为

an=(n-1)n+1.

二、定义法

根据定义判断数列是等差数列或等比数列,从而用公式求通项．

例2在数列{an}中,已知a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,n≥2且n∈Z*，求证:数列{an+1-an}是等比数列,并求数列的{an}的通项公式．

解∵an+2=3an+1-2an，

∴an+2-an+1=2an+1-2an，

即an+2-an+1=2(an+1-an)，

所以数列{an+1-an}是公比q=2的等比数列．

设an+1-an=bn,则数列{bn}是一个公比为2的等比数列,其中b1=a2-a1=3-1=2，

所以bn=b1·qn-1=2×2n-1=2n，

即an+1-an=2n.

再解决如下问题:在数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n(n∈N*)，求an.

n=1时,a1=1,n≥2时，

a2-a1=2,

a3-a2=22,

a4-a3=23,

……

an-an-1=2n-1.

以上n-1个等式累加，得

an-a1=2+22+…+2n-1

故an=2n-2+a1=2n-1，且a1=1也满足该式，

∴an=2n-1(n∈N*).

三、前n项和法

利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2)求通项.有些数列给出{an}的前n项和Sn与an的关系式Sn=f(an),利用该式写出Sn+1=f(an+1)，两式作差，再利用an+1=Sn+1-Sn导出an+1与an的递推式，从而求出an.

例3已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn满足S1>1,且6Sn=(an+1)(an+2)n∈N*，求{an}的通项公式.

由已知a1=S1>1,因此a1=2.

(an+1+an)(an+1-an-3)=0.

∵an>0,∴an+1-an=3，

从而{an}是首项为2，公差为3的等差数列，故{an}的通项为

an=2+3(n-1)=3n-1.

四、累加法

形如an-an-1=f(n)(n=2、3、4…)且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求，则可用累加法求an.有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

例4在数列{an}中，a1=1,an-an-1=2n-1(n=2、3、4、…)，求{an}的通项公式.

解n=1时，a1=1.

n≥2时，a2-a1=3,

a3-a2=5,

a4-a3=7,

……

an-an-1=2n-1.

这n-1个等式累加，得

an-a1=3+5+7+…+(2n-1)

=n2-1.

故an=n2-1+a1=n2，

∴通项公式是an=n2(n∈N*).

五、累乘法

分别令n=1,2,3,…,(n-1),代入上式得n-1个等式，累乘，得

六、构造法

1.构造等比数列法

原数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列．若把{an}中每一项添上一个数或一个式子后,能使之成为一个等比数列,则可求出an.该法适用于递推式形如an+1=ban+c或an+1=ban+f(n)或an+1=ban+cn，其中b、c为不相等的常数,f(n)为一次式．

解构造新数列{an+p},使之成等比数列.

例7已知数列{an}中，a1=1,an+1=2an+3n,求数列的通项公式.

分析此问题不同于例6,该数列中含3n是变量，而不是常量了，故应构造新数列{an+λ·3n}，其中λ为常数，使之为公比是an的系数2的等比数列，

解构造数列{an+λ·3n}，λ为不为0的常数，使之公比成为q=2的等比数列.

即an+1+λ·3n+1=2(an+λ·3n),

整理得an+1=2an+(2λ·3n-λ·3n+1)，

与题设等式比较得λ=-1.

新数列{an-3n}是首项为a1-31=2,q=2的等比数列，

∴an-3n=-2×2n-1,

∴an=3n-2n.

2.构造等差数列法

如果数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，但具有递推关系式形如an+1=ban+bn+1+f(n)，那么可以把两边同除以bn+1后，想法构造一个等差数列，从而间接求出an.

例8数列{an}满足an+1=-2an+(-2)n+1(n∈N*),首项为a1=-2,求数列{an}的通项公式.

解an+1=-2an+(-2)n+1,

两边同除以(-2)n+1，得

故an=n(-2)n.

对数列通项公式的探求,除了以上几种方法外,还有根据递推关系式求通项、取倒数等方法,可谓曲径通幽,其乐无穷．限于篇幅，本文不再一一举例说明．