《比的意义》教学实录与评析

陈秋容 林慧慧

一、创设情境，引出“比”的概念

（一）创设情境，激发兴趣

（多媒体播放运动员孙杨400米游泳比赛的视频。）

师：在2012年伦敦奥林匹克运动会上，孙杨的表现，让世界泳坛感受到了中国游泳队的力量。

（二）提出问题，讨论关系

（多媒体课件出示印在泳帽上的国旗。）

师：孙杨戴的泳帽上印有一面国旗，国旗的长是6厘米，宽是4厘米。比较国旗的长和宽，你能提出什么样的数学问题？怎样列式呢？

生1：长比宽多几厘米？列式是6-4。

生2：宽比长少几厘米？列式是6-4。

生3：长是宽的几倍？列式是6÷4。

生4：宽是长的几分之几？列式是4÷6。

（三）引出概念，揭示课题

师：我们可以用减法表示长与宽的相差关系，也可以用除法表示它们的倍数关系。关于倍数关系，我们还有一种新的表示方法，那就是“比”。今天，我们一起来认识什么是“比”。

【评析】执教老师选取“国旗”这个素材作为教学载体，既富有爱国主义教育意义，又很自然地引出同类量和异类量两种情形的“比”。

二、分层递进，建立“比”的概念

（一）理解同类量的比，建立比与包含除的联系

1.迁移学习，理解“比的倍数关系”

师：长是宽的几倍，我们可以用“6÷4”表示。现在，我们还可以把长与宽的关系说成“长与宽的比是6比4”，写成“6∶4”，“∶”是比号，这就好像除号抽掉了中间的一横，比号要写在两个数的正中间。那么，“6∶4”表示什么意思呢？

生：长是宽的几倍。

师：如果宽是长的几分之几，你能用比来表示吗？

生：宽与长的比是4∶6。

师：请大家和老师一起来写一写。

师：“4∶6”是什么意思？

生：表示宽是长的几分之几。

师：“6∶4”和“4∶6”表示的意思一样吗？

生：不一样。

师：看来，“比”是有顺序的，我们要按照叙述的顺序来表示，前后的数字可不能颠倒。

【评析】学生学习同类量的比，是一个同化学习的过程，教师将“比”纳入学生已知的“倍比关系”知识体系中，使“比的意义”与“包含除”二者建立起了联系。

2.数形结合，体会“比能体现图形的形状大小”

师：小海和小珍为了给运动员加油，分别做了两面旗子。（多媒体课件出示两面旗子及其长与宽的比。）

长和宽的比是2∶1 长和宽的比是3∶2

师：谁来说一说“2∶1”“3∶2”分别表示什么意思？

生1：“2∶1”表示长是宽的2倍。

生2：“3∶2”表示长是宽的1.5倍。

师：观察泳帽上的国旗和这两面旗子的形状以及长与宽的比，你有什么发现？

生3：泳帽上的国旗与②号旗一样，长都是宽的1.5倍，看不出差别；而①号旗的长是宽的2倍，看上去显得长一些。

生4：虽然泳帽上的国旗和②号旗的大小不一样，但是它们的长和宽的倍数关系是一样的。

师：看来大家都感受到了长与宽的比可以反映出长方形不同的形状。

【评析】“比”源于度量。长与宽的比，不仅能够反映物体可度量属性（即长度）的可比性，还可以表征事物不可度量属性的可比性，如形状。执教老师借助直观图，引导学生初步感受“长与宽的比能够确定图形的形状”，即长方形的长与宽的比也是一种“形状比”，凸显了比的本质。

（二）理解异类量的比

（多媒体播放运动员孙杨游400米大约用时4分钟的视频。）

师：你认为视频中出现的两个量能用比来表示吗？为什么？先独立思考，再与同桌交流。

生1：两个量的单位名称不一样，不能用比来表示。

师：听起来似乎有道理，我看到许多同学点头了。谁有不同的意见？

生2：我认为两个量可以用比来表示。400÷4，得到每分钟游100米，400和4是相除关系，可以用“比”来表示。

师：这位同学提到了一个很关键的词，谁听懂了？

生3：相除，意思是400÷4也可以写成400∶4。

师：你说对了。因为路程和时间是相除关系，所以路程和时间的关系也可以说成“路程和时间的比是400∶4”。

（三）抽象比的意义

师：观察这两个例子，说说它们有什么联系与区别？（多媒体课件出示比的算式。）

生1：这些比都表示相除关系。

生2：前两个比式中，两个量都表示长度，即表示两个长度的倍数关系。

生3：第三个比中的两个量，一个表示路程，一个表示时间，它们相除得到速度。

生4：我发现两个数相除可以写成比的形式。

师：是的。两个数的比表示两个数相除，这就是“比的意义”。

【评析】在游泳情境中，学生理解了异类量“比”的内涵，而在两个例子的对比中，学生进行求同思维，抽象出了“比的意义”，顺利地从概念的引入走向概念的建立。

三、自主学习，理解“比”的知识

（一）自学比的相关知识

1.自学比的相关知识

师：自学教材里“做一做”这部分内容，思考问题：比各部分的名称分别叫什么？怎样求一个比的比值？

2.汇报交流

学生汇报比的各部分名称，说明比值的意义。

3.比较比和比值

师：比和比值有什么区别？

生：比表示一种关系，而比值是一个数，通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。

【评析】执教老师将学习的主动权交还给学生，引导学生在概括出比的意义的基础上自主学习比的相关知识，促进了学生自主探究能力的发展。

（二）沟通比与旧知的联系

师：请同学们思考以下几个问题：比与除法、分数之间有什么联系？比的前项、后项和比值分别相当于分数算式和除法算式中的什么？比的后项可以是0吗？

学生填写下表并进行交流。

师：请你尝试用字母表示比和除法、分数之间的内在联系。

板书：a∶b=a÷b=（b≠0）

师：根据分数与除法的关系，两个数的比还可以写成分数的形式，如6∶4可以写成，读作6比4。

【评析】在讨论交流环节，执教老师引导学生进一步认识比和除法、分数之间的联系与区别，体会数学知识的内在联系。

四、放眼生活，深化“比”的概念

（一）辨析比赛中“比分”的含义

师：刚才大家说比的后项不能为0，但我们在很多比赛中常常看到2∶0的情况，这是怎么回事呢？这个比分是我们数学上讲的比吗？

生1：“2∶0”表示每个队的得分是多少，是一种相差关系。

师：你善于利用比的意义分析问题，非常好！

生2：因为比的后项不能为0，所以比分不是比。

师：从后项的取值范围分析问题，我们也能够得出结论。现在，我们知道了比分虽然借用了比的书写形式，但它不具备比的本质属性，因此，它不是数学上所说的比。

（二）用比表示生活中两种数量的关系

多媒体课件出示题目：下面每一组的两个信息能用比来表示吗？能的话请写出比，并求出比值；不能的，请说明理由。

（1）在2012年伦敦奥林匹克运动会上，中国代表队一共获得88枚奖牌，德国代表队一共获得44枚奖牌。

（2）小敏买6本练习本，一共花了1.8元。

（3）小亮每分钟打32个字，总共打了10分钟。

生1：中国代表队和德国代表队的奖牌数的比是88∶44，比值是2。

生2：小敏花的钱和练习本的数量的比是1.8∶6，比值是0.3。

生3：第（2）（3）题中两个量的单位名称都不同，既然第（2）题可以写成比的形式，那么第（3）题也可以写成比的形式。

生4：我认为第（3）题不能写成比。用每分钟打的字数乘以时间可以得到总共打了多少个字，这两个量是相乘关系，不是相除关系，而比表示的是两个数相除，所以它们不能用比来表示。

师：同学们能够紧扣比的意义中的关键词进行判断，分析得很到位。

【评析】深入理解数学概念需要用到适量的反面例子，执教老师列举了两个反面例子：比分和相乘关系的两个量，让学生进行比较、辨析，突出了比的本质属性是相除关系，促进了学生对比的概念的理解。

（三）生活中的比

师：在生活中，比的应用十分广泛。（播放视频介绍黄金比、比例尺、正反比例。）

师：比“创造”了生活中的美，其实，比的价值远不只于此，后面我们将会了解到更多比的价值。

【评析】从黄金比的美学价值到比例尺、正反比例等数学知识的逐步渗透，执教老师从知识整体性的角度出发，体现了新知识产生的必然性、发展性，达到了一种“言有尽而意无穷”的教学效果。

【总评】《比的意义》是人教版数学六年级上册的内容。学生在学习这部分内容之前，已经掌握了除法的意义与商不变的性质、分数的意义与基本性质、分数与除法的关系等知识。在本课教学中，教师充分利用学生已有的知识和学习经验，遵循概念学习的认知规律，帮助学生形成比的概念。

一、遵循认知发展规律，促进同化，建构比的概念

认知心理学家皮亚杰指出，同化与顺应是两种最重要的学习概念的形式。利用已有的数学认知结构对新的知识内容进行改造，使新内容纳入到原有的数学认知结构中，这个过程就是同化。比的意义的学习就是一个同化学习的过程。教师从学生熟悉的生活事例出发，遵循儿童的认知发展规律，先学习“同类量”，再认识“异类量”，设计了“实例—感知—抽象—认知”的学习路径，如在描述“长方形长与宽之间的关系”时，引入比的概念，建立比与包含除的联系；在讨论“路程与时间的关系”时，建立比与当量除的联系，再次感知比的内涵。最后，在教师的启发下，学生进行观察、分析，比较同类量和异类量的比，归纳得出两类比的共同属性，抽象出比的概念。学生一旦将比的概念纳入到“两个数相除”的知识结构中，就完成了概念的同化学习。

二、感悟知识的内在联系，自主学习，理解比的意义

学生要理解概念，必须密切联系相关旧知，做到知识的融会贯通。教学时，执教老师为学生创设了自主探索、合作交流的学习氛围，为学生搭建了思考的平台，如在理解了比的意义的基础上，让学生自学比的各部分名称，并进行交流、展示，最后通过独立思考、小组交流等方式，理解比与除法、分数的联系及区别。这一过程，落实了“让学于生”的理念，学生在学习中参与知识的重构。

三、精心选取学习素材，运用反例，深化比的概念

在概念教学中，教师除了从正面揭示概念的内涵，还可以运用反例来突出概念的本质属性，甚至可以通过对比正例与反例的差异，突出对概念本质属性的理解。为了突出“比表示两个数相除”这一本质属性，教师精心选取了两个反例。一是在学生确定了比的后项不能为0后，提出了“赛场上常常有2∶0这样的比分是怎么回事”这一问题，引发学生的讨论。通过辨析，学生明确了体育比赛中的比分表示的是相差关系，不是相除关系，并非数学中所说的比。二是对“小亮每分钟打32个字，打了10分钟”两个数量的讨论，围绕这两个量能否用比来表示，学生再次展开讨论。正是这些反例，促使学生围绕比的概念本质进行深入思考，也正因为深刻理解了比的本质属性，学生的辨析才富有生命成长的气息。

（注：本课例在广西第十一届小学数学课堂教学展评活动中荣获一等奖。）

（责编 欧孔群）