多级适应性休假的两部件系统及其优化应用

刘仁彬(重庆理工大学数学与统计学院,重庆400054)

多级适应性休假的两部件系统及其优化应用

刘仁彬
(重庆理工大学数学与统计学院,重庆400054)

研究一个包括4个特殊模型的两部件可修系统.修理设备在每个忙期前需要一段随机长度的启动时间,且在修理过程中可能故障需要更换.修理工执行空竭修理多级适应性休假.建立了状态概率的稳态微分方程组并得到了其解.求出了可用度,失效频度,平均休假期,平均更新周期,平均启动期和更换频度等可靠性指标.数值算例验证了系统参数对主要可靠性指标的影响,表明在带有启动时间、更换时间和休假的两部件冷贮备、温贮备和并联系统中,两部件冷贮备系统具有最优的性能.最后,给出了本文模型的一个最优化应用实例.

两部件系统;休假;启动;更换;可靠性指标;最优利润

1　引　言

两部件可修系统是可靠性理论和应用中的一类重要模型.比如医院里为预防意外停电而准备的蓄电池和医院的供电厂(具有优先使用权)可看成两部件冷贮备系统;汽车行驶过程中一个运行的轮胎和其备用轮胎可看成两部件温贮备系统;由两个工作站并行工作的某些零件加工生产线可看成两部件并联系统等.近年来,修理工可休假的两部件冷贮备、温贮备和并联可修系统及其可靠性问题已成为研究的热点.如文献[1,2]分别讨论了单重休假两部件冷贮备可修系统的退化模型和Poisson冲击模型;文献[3]运用几何过程理论研究了单重休假两部件温贮备系统可靠性;文献[4]则考虑了多重休假且带冷贮备部件的Gaver并联系统并求出了主要的可靠性指标.文献[5]分析了离散时间条件下单重休假的两部件并联可修系统模型及其可靠性.但目前的研究,大多都假设了修理设备随时可用于修理故障部件,并且修理工只进行单重或多重休假,而实际系统中修理设备常常采取闲时关闭和忙时开启,并且修理前需要一段随机长度的启动时间用来预热,而在修理过程中失效时需要更换后再继续余下的修理等[6-8],都说明修理设备不一定随时都可用于修理.另外,如果修理工通过休假的方式从事其他兼职业务来增加系统收益,则应兼顾系统达到一定的可用度,以保持系统的正常运转.因此,除了单重和多重休假外,必须寻求可同时兼顾效益和使系统达到一定可用度的休假策略,给系统管理者合理安排空闲修理工的兼职工作提供更多的决策选择.最后,现有文献一般只讨论了系统可用度、故障频度以及休假概率等可靠性指标,而系统更新周期、修理工的休假期以及修理设备的不可用度和更换频度等重要指标则一般都没讨论,并且很少涉及相关模型的实际应用,如根据可靠性指标建立利润函数进行系统最优利润分析和最优休假策略研究等.

基于上述问题,本文推广了文献[9]提出的两部件系统基本模型,假设修理设备开始修理前有一段随机长度的启动时间,在修理故障部件过程中可能失效而需要更换后再继续修理.另外,引入了田乃硕[10]提出的多级适应性休假策略.不同于过去的两部件系统分析,本文的创新在于对故障到达为非Poisson过程的多级适应性休假两部件可修系统,首次借助补充变量法建立了表征系统稳态运行的状态概率微分方程组.而以前研究的多级适应性休假系统均是Poisson或Bernoulli到达的单服务员(可修)排队系统,运用的都是嵌入马氏链法[10,11]和概率分解法[12](对非Poisson(Bernoulli)到达(故障)系统分析一般较难进行);其次,构造了一个带有限个吸收状态的Markov过程,通过求平均吸收时间分析了修理工的平均休假期和实际休假次数,而这些指标在以前的休假系统可靠性分析中一般都没讨论,但对系统的决策管理是非常重要的.值得指出的是,所建的模型具有很强的综合性:(1)模型结构包括了两同型部件冷贮备、温贮备、并联系统和n同型部件（n-1）/n/（G）表决系统;(2)修理设备具有一般概率分布的启动时间和故障更换时间;(3)休假策略包括了单重、多重、有限重休假和计划休假次数服从几何分布和负二项分布等情形.通过求解模型的状态概率方程组,得到了可用度、失效频度、平均更新周期、平均启动期、平均闲期、平均忙期和更换频度等主要可靠性指标.数值算例验证了系统参数对主要可靠性指标的影响,表明在带有启动时间、更换时间和休假的两部件冷贮备、温贮备和并联系统中,两部件冷贮备系统具有最优的性能.最后,应用本文模型及其得到的可靠性理论结果模拟分析了一条加工生产线的最优利润,突出了理论研究的实际应用,为系统管理者合理安排空闲修理工的兼职工作并兼顾系统正常运转提供了理论指导和实际参考.

2　系统假设

1)系统由1台修理设备,1名修理工和2个同型部件构成.t时刻系统失效部件数N（t）满足条件概率

系统失效当且仅当两部件均失效.失效部件按先坏先修接受修理,修理时间具有一般分布,其分布函数,密度函数,危险率函数和有限均值分别为G（·），g（·），μ（·）和E［~G］.修理工运用修理设备一次只能修理一个失效部件,部件修复如新;

2)失效部件均修复后,修理工立即关闭修理设备(关闭时间忽略不计,关闭后修理设备处于冷贮备状态),接着开始多级适应性休假,即他计划连续休假H次?H为一随机变量,有概率分布Pr｛H=j｝=cj，j= 1，2，...和概率母函数H（z），|z|＜1?,休假时间序列｛Vi｝独立同分布,有分布函数V（·）,密度函数v（·）,危险率函数r（·）和有限均值E［~V］.一次休假返回若发现失效部件立即花一段时间启动修理设备,设备启动结束后开始修理直到修复所有失效部件.否则,若无失效部件且连续休假次数小于H,则进行另一次休假;若无失效部件且连续休假次数等于H,则修理工空闲,直到系统中部件失效并立即开始一个启动时间,然后进行修理.待所有失效部件修理完毕后立即关闭修理设备,接着又开始进行多级适应性休假.假设启动时间服从一般分布,有分布函数Q（·）,密度函数q（·）,危险率函数θ（·）和有限均值E［~Q］;

3)在修理失效部件过程中修理设备可能以Poisson失效率α失效,失效后修理工立即更换一个同样的修理设备,其更换时间服从一般分布,有分布函数B（·）,密度函数b（·）,危险率函数β（·）和有限均值E［~B］.设备更换后继续余下的修理,失效部件已修理过的时间依然有效;

4)开始时刻,具有2个新部件的系统开始工作,修理设备处于冷贮备状态,修理工空闲直到首个失效部件出现并立即启动修理设备,设备启动结束后开始修理,待首个忙期结束后关闭修理设备(关闭后修理设备又处于冷贮备状态),接着开始多级适应性休假.所有的随机变量相互独立.1

3　状态概率方程组及其求解

首先定义t时刻系统的可能状态如下:

状态0:N（t）=0,修理工空闲,修理设备关闭(处于冷贮备状态);

状态1:N（t）=1,失效部件正在等待修理,修理工正在启动修理设备;

状态2:N（t）=2,2个失效部件正在等待修理,修理工正在启动修理设备;

状态3:N（t）=1,失效部件正在修理;

状态4:N（t）=2,1个失效部件正在修理,另一个失效部件正在等待修理;

状态5:N（t）=1,失效部件正在等待修理设备完成其剩余修理,修理工正在更换修理设备;

状态6:N（t）=2,1个部件在等待修理,另一部件在等待完成其剩余修理,修理工正在更换修理设备;

状态ij:N（t）=0,修理工计划连续休假i次,实际正在第j次休假,i=1，2，...；j=1，2，...，i;

状态ij1:N（t）=1,修理工计划连续休假i次,实际正在第j次休假,i=1，2，...；j=1，2，...，i;

状态ij2:N（t）=2,修理工计划连续休假i次,实际正在第j次休假,i=1，2，...；j=1，2，...，i.

上述定义中,状态0,1,3,5,ij和ij1是系统工作状态,而状态2,4,6和ij2是系统故障状态.其次定义X（t）为时刻t修理设备已用去的启动时间,y（t）为时刻t失效部件已用去的修理时间,Z（t）为时刻t修理设备已用去的更换时间,γ（t）为时刻t修理工已度过的休假时间,则｛N（t），X（t），y（t），Z（t），γ（t），t≥0｝为一向量Markov过程.设S（t）表示t时刻系统所处的状态,定义时刻t的状态概率如下:

这里Pr｛D｝表示事件D的概率,x，y，z，ω分别是X（t），y（t），Z（t），γ（t）的取值.最后定义

由系统的状态转移和概率分析,可得到稳态下状态概率满足的微分方程组如下

边界条件为

正则条件为

为解上述方程组,记非负函数U（t）的拉普拉斯变换为

解方程(2),得

类似求解得到

现在需要确定P0，P1（0），P2（0），P3（0），P4（0）和Pij（0），i=1，2，...；j=1，2，...，i的值.将式(23)和式(27)分别代入式(17)和式(18)得到

于是可得

联立式(1),式(27)和式(33)得

借助式(35),式(28)和式(34),从式(11)得

同理,由式(12),式(29)和式(34)得到

最后,由式(13)和式(14)得到

于是由式(38)和式(39)得到

再由式(36)和式(40)得

另外,由式(21)～式(29)可计算得到

于是正则条件式(20)化为

将式(40)和式(41)代入式(42)中,解得

至此,稳态下系统状态概率的值和πi,i=1，2，...，9均已求出.2设λ1=λ，λ0=λ+λ＇（0≤λ＇≤λ）,则当λ＇=0时,由注1知模型变为修理工多级适应性休假且修理设备需启动和更换的两同型部件冷贮备系统,其中运行部件寿命服从参数为λ的负指数分布.在这种特殊情形下,设则易得

4　系统的可靠性指标

定理11)系统的稳态可用度,即稳态下,系统正常工作的概率为

2)根据文献[13]的频度公式,系统的稳态失效频度,即稳态下,单位时间系统失效的平均次数为

其中P3（0）由式(43)确定.

注意到修理工开始休假的时刻是系统再生点,定义相邻两次开始休假时刻之间的时间长度为系统更新周期LR.在一个更新周期内,定义修理工空闲和休假的时间长度分别为修理工的闲期LI和休假期LV;定义修理设备的启动时间长度和修理失效部件的时间长度分别为修理设备的启动期LS和广义忙期LB,其中广义忙期LB等于失效部件的实际修理时间和修理设备的更换时间之和.

定理21)稳态下,修理工处于闲期和休假期的概率PI、PV,修理设备处于启动期和广义忙期的概率PS、PB分别为

2)稳态下,修理设备更换的概率(不可用度)ξ和单位时间修理设备的平均更换次数(更换频度)η分别为

证明由文献[13]的频度公式即得η.其余概率值由其定义和系统假设及第3节结果计算即得.证毕.

定理3设E［LV］和E［J］分别为修理工的平均休假期长度和实际休假的平均次数,则

令第3节的向量Markov过程｛N（t），X（t），y（t），Z（t），γ（t），t≥0｝的状态空间中除休假状态外其余状态均为吸收状态,则得一新Markov过程,对此过程的状态概率仍用第3节状态概率的符号表示,则此过程的状态概率满足下列微分方程组

边界条件为

类似方程组(1)～(10)的求解,易得上述方程组解的拉普拉斯变换分别为

推论1系统的平均更新周期E［LR］,修理工的平均闲期E［LI］和修理设备的平均启动期E［LS］及平均广义忙期E［LB］分别为

证明 注意到E［LV］+E［LI］+E［LS］+E［LB］=E［LR］，PV+PI+PS+PB=1即可得结论3)由于修理工开始休假的时刻是系统再生点,根据文献[13]的频度公式和第3节中P3（y）的表达式,可得到稳态下系统更新频度κ=再由文献[14]的命题3.3,得到系统的平均更新周期这种方法得到的结果和推论结果是一致的,同时也说明了定理3及其推论的正确性.更为重要的是,定理3提供了一种求休假可靠性系统平均休假期长度和实际休假平均次数的方法,其结论在目前休假可靠性系统文献中尚未发现有人讨论.2)(特例)设H（z）=z，q（t）=θe-θt，v（t）=r e-rt（t≥0）,则当θ→∞，r→∞，α→0时,本文讨论模型变为曹晋华等的两部件系统基本模型[9](即修理工不休假且修理设备无启动、无失效的本文模型),由第3节P3（0）的表达式和本节结果运算化简,可得系统的稳态可用度A、失效频度W以及修理工(修理设备)的平均忙期E［LB］和平均闲期E［Ll］分别为

其中A与文献[9]一致,其他为新结果..证毕.

5　数值算例

本节将运用第3节和第4节的结果对修理工多级适应性休假和修理设备的启动及更换对系统性能的影响进行数值分析.另外,作为模型特例,在相同条件下数值比较了修理工多级适应性休假且修理设备需启动和更换的两同型部件冷贮备、温贮备和并联系统的性能指标,分析了性能最优的系统结构.为计算方便,假设修理工的休假时间、失效部件的修理时间、修理设备的启动时间和更换时间分别服从密度函数为v（t）=r e-r t的负指数分布、均值的定长分布、密度函数q（t）=θ2t e-θt的2阶Erlang分布和密度函数b（t）=0.4βe-βt+0.3（2β）e-2βt+0.3（3β）e-3βt的超指数分布.分以下几种情形分析.

情形1设H=k，H（z）=zk，|z|≤1，k=0，1，3，5，...∞,即分别假设修理工不休假、单重休假,3次休假,5次休假和多重休假.选择λ0=1.8，λ1=1.2，r=10，θ=8，α=0.25，β=12.考察修理工的计划连续休假次数H对系统性能的影响,数值结果见表1;

情形2设H（z）=0.4z/（1-0.6z）,选择λ0=1.8，λ1=1.2，θ=8，α=0.25，β=12,改变r的值考察修理工休假率对系统性能的影响,数值结果见表2;

情形3设H（z）=0.4z/（1-0.6z）,选择λ0=1.8，λ1=1.2，r=10，α=0.25，β=12,改变θ的值考察修理设备的启动对系统性能的影响,数值结果见表3;

情形4设H（z）=0.4z/（1-0.6z）,选择λ0=1.8，λ1=1.2，r=10，θ=8，α=0.25,改变β的值考察修理设备的更换对系统性能的影响,数值结果见表4;

情形5设H（z）=0.4z/（1-0.6z）,选择λ1=0.8，λ0=λ1+λ＇（0≤λ＇≤λ1），r=10，θ=8，α= 0.25，β=12,改变λ＇的值比较修理工多级适应性休假且修理设备需启动和更换的两同型部件冷贮备(λ＇=0)、温贮备(0＜λ＇＜λ1)和并联(λ＇=λ1)系统的性能指标,数值结果见表5.

表1和表2的数据表明,修理工计划连续休假次数H增加或修理工休假率r减少,将使系统失效频度W、平均更新周期E［LR］和平均休假期E［LV］均增加,而系统可用度A和修理设备忙的概率PB、不可用度ξ及更换频度η均减少,但不影响修理设备的启动期E［LS］;从表3可看出,修理设备的启动时间变短(θ值变大),将引起系统可用度A和修理设备忙的概率PB、不可用度ξ及更换频度η均增加,而系统失效频度W、平均更新周期E［LR］和启动期E［LS］均减少,但不影响修理工的平均休假期E［LV］;从表4知,修理设备的更换时间越长(β值越小),其不可用度越高,系统可用度越低,系统平均更新周期越长,但不影响修理设备的启动期和修理工的休假期.数值结果符合预期.

表1　修理工计划连续休假次数H对系统主要性能指标的影响Table1　Effectsof repairman’s planned successive vacation number H onmain system performance indices

表2　修理工休假率r对系统主要性能指标的影响Table2　Effectsof repairman’s vacation rate r onmain system performance indices

表3　修理设备启动参数θ对系统主要性能指标的影响Table3　Effectsof repair facility’s startup parameterθonmain system performance indices

表4　修理设备更换参数β对系统主要性能指标的影响Table4　Effectsof repair facility’s replacement parameterβonmain system performance indices

表5　带启动、更换和休假的两同型部件冷贮备、温贮备和并联系统主要性能指标的比较Table5　Main performance index comparisons for two-identical-unit cold-standby,warm-standby and parallel systemswith startup,replacementand vacations

在部件、修理设备和修理工相同的条件下,表5数据比较了修理工多级适应性休假且修理设备需启动和更换的两同型部件冷贮备系统(λ＇=0)、温贮备系统(0＜λ＇＜0.8)和并联系统(λ＇=0.8)的系统性能,由表5可知,3种系统结构中,两部件冷贮备系统的系统可用度最大,平均更新周期最长,修理工休假期最长,而系统失效频度和修理设备的不可用度、更换频度及忙的概率都最小,因此具有最好的性能,两部件温贮备系统性能次之,两部件并联系统性能最差.另外,对两部件温贮备系统,部件的贮备失效率λ＇越大,系统可用度越低,但不影响修理设备的启动时间.

6　模型的一个最优化应用实例

已知一条加工生产线由2个相同工作站(比如2个工作站出自同一厂家的同一批且有相同的性能指标参数等)并行工作构成,工作站对某种型号的工件进行加工.当发现某个工作站内工件加工异常(工作站出现故障)时需立即停止该工作站的运行,由1名维修人员负责修理.维修前有一段随机长度的准备时间(如预热或启动修理器械等).当两个工作站内的工件都出现加工异常时则按“先坏先修”原则维修工作站.如修理器械在修理时故障则立即由该名维修人员更换同样的修理器械然后继续接着修理.当工作站修复后整个生产线又开始运行,维修人员接着维修余下的故障工作站(如果有的话).为了增加该生产线的效益,当两个工作站正常工作较长时间后,打算让该名维修人员连续从事辅助业务创收.假定工作站的故障过程是强度为λ=0.1的Poisson过程,其故障维修时间服从参数为2的2阶Erlang分布;维修前的准备时间服从参数为1的3阶Erlang分布;维修过程中修理器械具有0.15的Poisson失效率,其更换时间服从均值为0.5的定长分布.整个生产线正常工作单位时间的平均收益为fA=800,系统每故障一次的平均损失为fW=300,维修人员从事辅助业务的单位时间收益为fV=1 500,维修人员在闲期、维修准备期和忙期(负责维修和更换)产生的单位时间费用分别为fI=15、fS=20和fB=50,每更换1次修理器械的平均损失为fη=150.问

1)如果每次从事辅助业务的时间服从均值为2.5的负指数分布,则该维修人员计划连续从事辅助业务的次数K为多少时,才能使整个生产线以不低于0.8的可用度获得单位时间最大平均利润?

2)如果计划连续从事辅助业务的次数服从负二项分布Nb（2，2/3）,且每次从事辅助业务的时间长度为固定整数时间u,则u为多少时,才能使整个生产线以不低于0.8的可用度获得单位时间最大平均利润?

为求解上述最优化问题,用本文模型模拟该生产线(取λ0=2λ，λ1=λ,每次从事辅助业务的时间看成休假时间).基于第4节的可靠性指标,建立平稳状态下整个生产线单位时间的平均利润为

其中A，W，E［LR］，E［LI］，E（LS），E［LB］，E［LV］和η分别由第4节定理1～定理3和推论1给出.

将具体参数值代入上述最大值问题,运用探试法并借助MATLAB软件编程计算T（K）和A,具体数据见表6.

表6　在不同的计划连续辅助业务次数K下加工生产线的可用度A和单位时间平均利润T（K）Table 6　Availability A and average profitper unit time T（K）of a processing production line for different planned successive ancillary businessnumber K

由表6可见,计划连续从事辅助业务的次数K*=4时,整个生产线以不低于0.8的可用度获得单位时间最大平均利润为1399.9.

类似问题(1)的处理,对T（u）和A编程计算,数据结果见表7.由表7可见,每次从事辅助业务的固定整数时间长度u*=6时,整个生产线以不低于0.8的可用度获得单位时间最大平均利润为1559.7.

表7　在不同的辅助业务时间u下加工生产线的可用度A和单位时间平均利润T（u）Table7　Availability A and average profitper unit time T（u）of a processing product line for differentancillary business time u

从这个应用实例可以看出,在维持整个生产线较高可用度的前提下,为获得最大利润,决策管理者可根据相关效益和费用情况等,当已知每次从事辅助业务的平均时间时,可计划连续从事辅助业务的最优次数;当已知计划连续从事辅助业务的次数分布时,可安排每次从事辅助业务的最优时间长短.

7　结束语

本文在已有模型的基础上引入了文献[10]提出的多级适应性休假策略,同时考虑了实际系统中修理设备常常忙时开启和闲时关闭,修理前有一段随机长度的启动时间及修理过程中失效需更换的情形.本文的模型具有较强的综合性.借助补充变量的方法首次建立了系统状态概率满足的稳态微分方程组并得到了其解,在此基础上获得了可用度、失效频度和平均更新周期等主要可靠性指标,特别是通过构造一个带有限个吸收状态的Markov过程获得了修理工的平均休假期和实际休假的平均次数.数值算例表明在带有启动时间、更换时间和休假的两部件冷贮备、温贮备和并联系统中,两部件冷贮备系统具有最优的性能.最后,基于本文模型及其得到的可靠性理论结果,模拟了一条由两个工作站并行工作的零件加工生产线,建立了其利润函数并分析了其最优利润和最优休假策略,为系统管理者合理安排空闲修理工的兼职工作并兼顾系统正常运转提供了理论指导和实际参考.鉴于目前休假可修系统模型的应用研究方面文献还不多,建立更贴近实际应用的系统模型并加强模型的具体应用研究,将是今后工作的一个重要方向.

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Two-unit system withmultip le adaptive vacations and itsoptim ization app lication

Liu Renbin
(SchoolofMathematicsand Statistics,Chongqing University of Technology,Chongqing 400054,China)

This paper studies a two-unit repairable system,which includes four specialmodels.The repair facility needsastartup timewith random lengthsbeforeeach busy period andmay fail in the processof repair. The failed facility is replaced by a repairmanwho takesexhaustive repairandmultipleadaptivevacations.The steady-state differentialequations for the state probabilities are set up and their solutions are derived.Some reliability indices are derived,such as availability,failure frequency,mean vacation period,mean renewal period,mean startup period and replacement frequency,etc.Numerical examples are given to illustrate the effects of the system parameters onmain reliability indices,and show that the two-unit cold-standby system has optimal performance among the two-unit cold-standby,warm-standby and parallel systemswith startup time,replacement time and vacation.Finally,areal-world optimization application example of themodel is presented.

two-unitsystem;vacation;startup;replacement;reliability indices;optimalprofit

O213.2

A

1000-5781(2016)02-0274-13

10.13383/j.cnki.jse.2016.02.013

2013-10-24;

2014-03-06.

重庆市基础与前沿研究资助项目(cstc2013jcyjA00008);重庆市教委科学技术研究资助项目(KJ1400940).

刘仁彬(1972—),男,四川自贡人,博士,副教授,研究方向:可靠性模型及其应用,Email:liurb888@126.com.