零点问题不动点问题和平衡问题的混杂算法

高兴慧，常　乐，高怀丽

(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)



零点问题不动点问题和平衡问题的混杂算法

高兴慧*，常乐，高怀丽

(延安大学 数学与计算机科学学院, 陕西 延安 716000)

在具有K-K性质的严格凸的一致光滑Banach空间的框架下，构造了一种新的关于拟φ-非扩张映像的不动点集与极大单调算子的零点集以及一个平衡问题解集的公共元素的混杂投影迭代方法，而且利用所设计之算法证明了其公共元素之强收敛定理。作为应用，给出了寻找一个凸泛函的极小值点问题。

平衡问题；拟φ-非扩张映像；极大单调算子

f(p,y)≥0,∀y∈C。

(1)

EP(f)代表问题(1)的解集，设映像T∶C→X*，令f(x,y)=〈Tx,y-x〉,∀x,y∈C，那么p∈EP(f)当且仅当〈Tp,y-p〉≥0,∀y∈C。求解平衡问题可以解决最优化理论与经济学中的提出的一些问题，其求解办法，可以参看文献[1-3]。其中文献[3]研究了平衡问题解集和不动点集公共元的混杂算法。

文献[4,5]研究了极大单调算子的零点集与非扩张映像的不动点集之公共元素的混杂算法。在文献[3-5]的基础上，本文将三者结合起来，构造出一种新的不动点集和零点集以及平衡问题解集之公共元的迭代算法，而且证明了该算法的强收敛性。本文所得结论是文献[3-5]之相关结果的改进与推广。

1　预备知识

设J是X到2X*的正规对偶映像，定义如下：J(x)={j∈X*∶〈x,j〉=‖x‖2=‖j‖2},∀x∈X,

此处 〈·,·〉表示X与 X*间之广义对偶对。若X是自反光滑的，则J∶X→X*为单值且次连续映像。

文献[4]中介绍了Banach 空间中广义投影算子ΠC，Lyapunov泛函定义为

φ(x,y)=‖x‖2-2〈x,Jy〉+‖y‖2,∀x,y∈X。

(2)

(‖x‖-‖y‖)2≤φ(x,y)≤(‖x‖+‖y‖)2,∀x,y∈X。

注1[6]若X为自反严格凸光滑Banach空间,则∀x,y∈X,φ(x,y)=0必要且只要x=y。

定义1[3]设C为X之闭凸子集，T为C到自身的映像，若F(T)≠∅,且对于∀x∈C,∀p∈F(T), 有φ(p,Tx)≤φ(p,x)，那么T叫拟φ-非扩张映像。

注2[6]Banach空间X为一致光滑空间当且仅当X*是一致凸空间；若X*为一致凸空间，则X*具有K-K性质。

注3[6]如果Banach空间X为一致光滑空间, 那么J在X的任意有界子集上为一致范数到范数连续的。

引理2[3]设C为光滑的Banach空间X的闭凸子集且非空，x∈X且x0∈C。 则x0=ΠCx当且仅当

〈x0-y,Jx-Jx0〉≥0,∀y∈C。

引理3[3]如果X是自反光滑严格凸的Banach空间，C为X之闭凸子集且非空，则对于x∈X有

φ(y,ΠCx)+φ(ΠCx,x)≤φ(y,x),∀y∈C。

引理4[3]如果X为自反光滑严格凸Banach空间，C是X之闭凸子集且非空，T∶C→C是拟φ-非扩张映像，那么F(T)是C之闭凸子集。

要计算关于二元泛函f∶C×C→R的平衡问题的解，须假设f满足下述条件：

(A1) f(x,x)=0,∀x∈C;

(A2)f为单调的，即f(x,y)+f(y,x)≤0,∀x,y∈C;

(A4)对∀x∈C,y|→f(x,y)为凸下半连续的。

引理5[3]设X为自反的光滑的严格凸的Banach空间，C为X的凸闭子集，f∶C×C→R满足条件(A1)-(A4),r>0。 则对于每一x∈X，存在z∈C，使得

引理6[3]设X为一致光滑的严格凸的Banach空间，C为X的凸闭子集，f∶C×C→R满足条件(A1)-(A4),r>0。 对于任意x∈X，定义映像

Tr∶X→C为

则下述结果成立：

(1) Tr为单值映射；

(2) Tr为严格非扩张映射，即对任意x,y∈X，有

〈Tr(x)-Tr(y),JTr(x)-JTr(y)〉≤〈Tr(x)-Tr(y),Jx-Jy〉;

(3) F(Tr)=EP(f);

(4) EP(f)为凸闭集。

引理7[3]设X为自反的光滑的严格凸的Banach空间，C为X的凸闭子集，f∶C×C→R满足条件(A1)-(A4),r>0。 则对于每一x∈X，q∈F(Tr)，有

φ(q,Tr(x))+φ(Tr(x),x)≤φ(q,x)。

引理8[4]设X为自反的光滑的严格凸的Banach空间，T∶X→2X*是极大单调算子，则T-10是X的凸闭子集。

2　主要结果

定理1设X为具有K-K性质的一致光滑的严格凸之Banach空间，C为X之凸闭子集且非空。令S∶C→C为一闭的拟φ-非扩张映像，T∶X→2X*是一闭的极大单调算子，f∶C×C→R满足条件(A1)-(A4)，使得F=T-10∩F(S)∩EP(f)≠∅。 定义序列{xn}如下:

(3)

a>0。{en}⊂X 满足en→0(n→∞)。则{xn}强收敛到ΠFx0。

证明分8步完成定理的证明。

第1步证ΠFx0有意义，∀x0∈X。

由引理4、6、8可得F(S)、T-10和EP(f)均为闭凸集，再由F=T-10∩F(S)∩EP(f)≠∅可得ΠFx0有意义，∀x0∈X。

第2步证Cn是闭凸集，∀n≥1。

注意到φ(z,un)≤φ(z,yn)⟺2〈z,Jyn-Jun〉≤‖yn‖2-‖un‖2,

φ(z,yn)≤φ(z,zn)⟺2〈z,Jzn-Jyn〉≤‖zn‖2-‖yn‖2,

φ(z,zn)≤φ(z,xn+en)⟺2〈z,J(xn+en)-Jzn〉≤‖xn+en‖2-‖zn‖2,

易证Cn是闭凸集。

第3步证F⊂Cn,∀n≥1。

显然F⊂C1=C。注意到un=Trnyn,∀n≥1,根据引理7便得Trn是拟φ-非扩张映射。 假设对某正整数k,F⊂Ck,则对于任何w∈F⊂Ck,由引理1可得

φ(w,uk)=φ(w,Trkyk)

≤φ(w,yk)=φ(w,Szk)

=‖w‖2-2〈w,βkJ(xk+ek)+

≤‖w‖2-2βk〈w,J(xk+ek)〉-

≤φ(w,xk+ek)。

(4)

所以w∈Ck+1,因此F⊂Cn,∀n≥1。

第4步证xn→p0(n→∞)。

从xn=ΠCnx0可得〈xn-u,Jx0-Jxn〉≥0,

∀u∈Cn。由F⊂Cn知

〈xn-w,Jx0-Jxn〉≥0,∀w∈F。

(5)

由引理3可得，对任意w∈F⊂Cn,有

φ(xn,x0)=φ(ΠCnx0,x0)≤φ(w,x0)-

φ(w,xn)≤φ(w,x0),

所以序列{φ(xn,x0)}有界。 另一方面，注意到

xn=ΠCnx0且xn+1=ΠCn+1x0∈Cn+1⊂Cn，则

φ(xn,x0)≤φ(xn+1,x0),∀n≥1，因此序列

利用Cn的构造可得，对于任何正整数m≥n,有Cm⊂Cn且xm=ΠCmx0∈Cn，从而

φ(xm,xn)=φ(xm,ΠCnx0)≤φ(xm,x0)-φ(ΠCnx0,x0)=φ(xm,x0)-φ(xn,x0)。

(6)

φ(xn,x0)≤φ(xn+1,x0)≤φ(p0,x0),

应用‖·‖2的弱下半连续性可得

‖p0‖2-2〈p0,Jx0〉+‖x0‖2,

第5步证p0=Sp0。

由于xn+1∈Cn+1，所以

φ(xn+1,zn)≤φ(xn+1,xn+en)。

由xn→p0,en→0(n→∞)可得φ(xn+1,xn+en)→0(n→∞)。所以φ(xn+1,zn)→0(n→∞)。注意到

0≤(‖xn+1‖-‖zn‖)2≤φ(xn+1,zn)。

zn→p0(n→∞)。

(7)

又因为xn+1∈Cn+1，所以

φ(xn+1,yn)≤φ(xn+1,xn+en)。

利用与证明 (7)式同样的方法可得

yn→p0(n→∞),

(8)

即Szn→p0。利用S的闭性可得p0=Sp0,所以p0∈F(S)。

第6步证p0∈T-10。

(10)

Jp0‖→0,

第7步证p0∈EP(f)。

因为xn+1∈Cn+1，所以

φ(xn+1,un)≤φ(xn+1,xn+en)。

利用与证明 (7)式同样的方法可得

un→p0(n→∞)。

(11)

注意到un=Trnyn,所以

从条件(A2)可得

上式两边求n→∞时的极限，根据条件(A4)和(11)式便得f(y,p0)≤0,∀y∈C。 设0

0=f(yt,yt)≤tf(yt,y)+(1-t)f(yt,p0)≤tf(yt,y),

即f(yt,y)≥0。令t↓0，从条件(A3)可得f(p0,y)≥0,∀y∈C,由(1)式知p0∈EP(f)，从而p0∈F。

第8步证p0=ΠFx0。

(5)式两边求极限便得

〈p0-w,Jx0-Jp0〉≥0,∀w∈F。

由引理2便知p0=ΠFx0。 证毕。

注4(1) 本文的定理1在文献[3]中的定理3.1的基础上加了一个零点问题，从而改进了文献[3]中的相关结果。

(2)本文的定理1在文献[5]中的定理1的基础上加了一个平衡问题，从而推广了文献[5]中的相关结果。

3　应用

利用定理1可寻找一个凸泛函g的极小值点。 设X为实Banach空间，g∶X→(-∞,∞] 为正规凸下半连续泛函。 则g之次微分∂g如下：

∂g(z)={v*∈X*∶g(y)≥g(z)+〈y-z,v*〉,y∈X},∀z∈X。

定理2设X为严格凸具有K-K性质之一致光滑Banach空间，C为X之非空闭凸子集。 设S∶C→C为闭的拟φ-非扩张映像，g∶X→(-∞,∞] 是正规凸下半连续泛函，f∶C×C→R满足条件(A1)-(A4)，使得F=(∂g)-10∩F(S)∩EP(f)≠∅。 定义序列{xn}如下:

(12)

这里{βn},{rn},{en}及{tn}与定理1中的完全相同，那么由(12)式所生成的序列{xn} 强收敛于p0=Π(∂g)-10∩F(S)∩EP(f)x0。

证明因为g∶X→(-∞,∞]是正规凸下半连续泛函，根据文献 [6]可得次微分∂g是极大单调算子。 注意到

所以应用定理1可直接得出结论。 证毕。

[1]CombettesPL,HirstoagaSA.EquilibriumprogramminginHilbertspaces[J].JNonlinearConvexAnal, 2005,6:117-136.

[2]TakahashiW,ZembayashiK.StrongandweakconvergencetheoremsforequilibriumproblemsandrelativelynonexpansivemappingsinBanachspaces[J].NonlinearAnal, 2009,70:45-57.

[3] 高兴慧，周海云，高改良. 平衡问题和不动点问题的公共元的混杂算法[J]. 数学物理学报，2011,31A(3): 720-728.

[4]WeiL,ChoYJ.Iterativeschemesforzeropointsofmaximalmonotoneoperatorsandfixedpointsofnonexpansivemappingsandtheirapplications[J].FixedPointTheoryAppl,2008, 2008: 1-12.

[5] 高兴慧，马乐荣. 不动点问题和零点问题的公共元的具误差的迭代算法[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2014,39(10):9-12.

[6]TakahashiW.NonlinearFunctionalAnalysis[M].Yokohama:YokohamaPublishers, 2000.

(责任编辑：曾晶)

Hybrid Algorithms of Common Elements for Fixed Point Problems,Equilibrium Problems and Zero Point Problems

GAO Xinghui*, Chang Le，GAO Huaili

(College of Mathematics and Computer Science, Yan’an University, Yan’an 716000, China )

A new hybrid projection method was considered to find common elements of the set of fixed points of a quasi-φ-nonexpansive mapping, the set of solutions of an equilibrium problem and the set of zero points of a maximal monotone operator. A strong convergence theorem of common elements was proved by using new analysis techniques in the setting of strictly convex, and uniformly smooth Banach spaces with the K-K property. As an application, the problem of finding a minimizer of a convex function was considered.

equilibrium problem; quasi-φ-nonexpansive mapping; maximal monotone operator

2016-02-26

陕西省自然科学基础研究计划资助项目(2014JM2-1003); 陕西省教育厅科研计划项目(2013JK0575); 陕西省高水平大学建设专项资金资助项目数学学科(2012SXTS07)

高兴慧(1975-)，女， 副教授，硕士，研究方向：非线性泛函分析，Email: yadxgaoxinghui@163.com.

高兴慧，Email：yadxgaoxinghui@163.com.

1000-5269(2016)02-0001-05

10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2016.02.01

O177.91

A