巧用数学思想妙解一次函数

□曹　洪

巧用数学思想妙解一次函数

□曹洪

一、转化思想

例1（2015·桂林）如图1，直线y=kx+b与y轴交于点（0，3），与x轴交于点（a，0），当a满足-3≤a＜0时，k的取值范围是（）.

图1

A.-1≤k＜0 B.1≤k≤3

C.k≥1 D.k≥3

分析：把点的坐标代入直线解析式得到，然后将其代入不等式-3≤a＜0，将其转化为关于k的不等式，即可求出k的取值范围.

解：把点（0，3）和（a，0）代入y=kx+b，得b=3，

故选C.

点评：把点的坐标代入直线解

二、数形结合思想

例2（2015·徐州）若函数y= kx-b的图象如图2所示，则关于x的不等式k（x-3）-b＞0的解集为（）.

A.x＜2 B.x＞2

C.x＜5 D.x＞5

图2

分析1：由图2可知一次函数图象过点（2，0），将其代入一次函数解析式，可求出k、b的关系式，然后将k、b的关系式代入k（x-3）-b＞0中解不等式即可.

运动控制系统是一门实践性非常强的课程，本质上是面向工程的，但是在实际教学中，由于教学要求和培养模式的限制，无法使课程直接面向工程实际，这对一门实践性强的课程来说，学习效果会大打折扣。因此，在运动控制系统课程教学中尝试面向工程实际，通过实际的工程项目，使学生对课程的应用性有更加深刻的认识。本项目目前在申请学校的教改课题，将复杂的工程问题嵌入课堂教学中，达到理论联系实际、实践促进理论的目的。

解1：∵一次函数y=kx-b的图象过点（2，0），

∴2k-b=0，b=2k.

由图2可知，函数值y随x的增大而减小，∴k＜0.

将b=2k代入k（x-3）-b＞0，得k（x-3）-2k＞0，即kx＞5k，两边同除以k得x＜5，故选C.

分析2：∵一次函数y=kx-b的图象向右平移3个单位得到一次函数y=k（x-3）-b的图象，

∴由函数y=kx-b的图象与x轴交点的坐标可得到函数y=k（x-3）-b与x轴交点的坐标，进而通过图象得到关于x的不等式k（x-3）-b＞0的解集.

解2：∵一次函数y=kx-b的图象向右平移3个单位得到一次函数y=k（x-3）-b的图象，由一次函数y= kx-b的图象与x轴交点坐标为（2，0），可以得到一次函数y=k（x-3）-b的图象与x轴交点坐标为（5，0）（如图3）.

图3

点评：解决此类问题的关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），数形结合思考问题.

三、整体思想

例3若y+b与x+a（a、b为常数）成正比例，当x=3时y=5，当x=2时y=2，求y关于x的函数关系式.

分析：根据y+b与x+a（a、b为常数）成正比例，列出关系式y= kx+（ka-b），再将两对x、y的值代入，求出待定系数，但需要把其中的（ka-b）当做一个整体来处理.

解：由条件可得y+b=k（x+ a），即y=kx+（ka-b）.

因为x=3时y=5，x=2时y=2，

所求函数解析式是y=3x-4.

点评：因直接求出a、b的值是比较困难的，这里应用了整体思想，整体求出ka-b的值.