带有促销努力和期末二次订购的供应链协调

刘彩云　张　涛　（.铜陵学院，安徽　铜陵　4406；.铜陵职业技术学院，安徽　铜陵　4406）

带有促销努力和期末二次订购的供应链协调

刘彩云1张涛2
（1.铜陵学院，安徽铜陵244061；2.铜陵职业技术学院，安徽铜陵244061）

在销售期末零售商有二次订购机会且制造商有两生产模式下，考察了随机需求下零售商带有促销努力且制造商有回购策略的优化与协调问题。建立了带有促销努力且期末二次订购的零售商和两生产模式下的制造商的回购契约利润模型，得出最优促销努力、最优订购量、最优生产量的一般通式。讨论了回购价格、两生产模式下的批发价格等契约参数对促销努力、最优订购量、最优生产量、零售商和制造商的利润的影响。研究表明制造商分摊一部分零售商的促销成本且回购契约参数满足一定的条件供应链就可以实现协调，协调下成员利润如何分配主要取决于零售商和制造商的谈判能力。并通过数值算例验证了所得结论。

供应链协调；二次订购；两生产模式；回购契约

有关供应链管理问题上个世纪九十年代就受到企业界和学术界的高度关注，现学术界已进行了大量研究。其中回购契约协调是供应链管理重要手段之一。刘家国和吴冲基于报童模型的两级供应链回购契约协调研究，研究表明回购契约能完成供应链的协调，使用回购策略增大了最优订货量且降低了批发价格［1］。Ding等在单周期随机需求下采用灵活的回购契约刺激销售商多订货的方法来协调三层供应链［2］。郭金森考虑供应商为零售商提供回购契约同时零售商为下游顾客提供商业信用契约的供应链系统，研究发现两主体同时采用协调契约能够增加供应链的订购量和利润［2］。徐最等研究了销售努力水平影响需求情况下的供应链回购契约，提出了限制回购产品的数量来协调供应链［3］。肖群和马士华研究了在促销成本不可观测时，利用委托代理理论研究信息不对称时如何通过回购契约揭示真实的促销努力成本［4］。王学武等考虑需求是随机的且受销售努力水平的影响，指出通过限定回购系数和分摊努力系数使供应链得以协调［5］。

以上文献都是建立在假设零售商只有一次订购机会的基础上，而实际中由于科学技术的迅速发展，使得零售商有二次订货的机会成为可能。Lau等建立了销售商在销售期某个时间点有二次订购机会的模型［6］。Weng建立销售商在销售期末有二次订购机会的模型［7］。Zhou等指出Weng的模型错误之处并推广到共同分摊第二次生产准备费和销售期末部分延期供给的情况［8］。徐兵和张小平基于二次订货与回购的供应链网络应对需求扰动［9］。为了应对零售商的二次订购制造商采取两生产模式来缓解供需之间的矛盾，Donohue较早提出了在两生产模式下零售商和制造商的生产和订购协调问题［10］。国内研究者周茵等讨论了具有两阶段生产模式的一类短生命周期产品的供应链协调问题，通过共享需求信息使得供应链整体利益达到最优［11］。王圣东等研究了带有两生产模式的Newsvendor型产品供应链协调模型，指出改进的收益共享契约可以协调整个供应链［12］。

综上所述，尽管国内外学者对基于回购契约和基于两生产模式下有二次订购机会的供应链管理问题进行了较为广泛的研究，但没有考虑到用回购契约优化与协调两生产模式下期末有二次订购机会的供应链的情况。正基于此，本文在零售商有期末二次订购机会且制造商有两生产模式下，建立了随机需求下带有促销努力的零售商和有回购策略的制造商的回购契约协调模型。研究表明制造商分摊一部分零售商的促销努力成本且回购契约参数满足一定的条件就可以实现供应链协调。

1.基本假设

考虑由一个零售商和一个制造商构成的两层报童类产品供应链系统。零售商和制造商风险中性，追求期望收益最大化。零售商面对商品市场的随机需求负责产品的销售，制造商负责生产与供应。为了追求利润最大化，零售商实施促销努力，表示零售商的促销努力，k表示销售商的促销努力系数，促销成本为1/2k2。商品市场需求既受到促销因素的影响，也受到不确定因素的影响。假设商品需求和促销努力的函数关系为D（，ε）=+x，其中x是一个非负连续随机变量，其密度函数和分布函数分别记为（fx），F（x），且均值为μ。

假设零售商有二次订购机会，一次是销售季节开始之前从制造商那以便宜批发价ws得到单位产品，另一次发生在销售季节末以昂贵批发价wf得到单位产品wf＞ws。销售期末未满足的需求只有一部分延期供给，其余短缺量部分全部损失掉，短缺量延期供给率用β（0≤β≤1）表示。制造商以应对零售商的二次订购采用两种生产模式，Cs和Cf（Cs＜Cf）分别表示便宜和昂贵生产模式下制造商单位产品的成本。制造商不允许缺货发生，其第一次生产量m至少要满足零售商的第一次订购量q，即m≥q。

此外假设4商品市场价格p，销售期末单位剩余商品的残值都是外生给定的。不失一般性，假设p＞wf＞ws＞s，ws＞Cs，wf＞Cf。

2.供应链及成员的利润模型

2.1分散决策下零售商的利润模型

零售商有二次订购的机会，到了销售期末，若观察到的随机需求量要高于第一次订购量，为了满足部分愿意延期供给顾客的要求零售商可以向制造商发出第二次订购。但由于运输成本、人员劳务费、制造商要启动第二次生产成本费增加等因素影响，第二次订购的批发价格wf要比第一次的批发价格ws高，所以零售商要慎重考虑第一次订购量q。为了获得更多的利润，制造商以单位价格b（大于单位商品残值的价格s）回购零售商未销售完的产品。

在既定契约（ws，wf，b）下，零售商根据利润最大化的原则在销售季节开始之前决定促销努力和第一次订购量q。零售商的利润函数和期望利润分别记为II（rq，），EII（rq，）：

EII（rq，）关于（q，）的一阶偏导：

EII（rq，）关于（q，）的Hessian阵为：

其中△=［p-b-β（p-w）f］（fq-）＜0

命题1给定契约（ws，wf，b）下，零售商的最优订购量q＊和最优促销努力＊是：

2.2分散决策下制造商的利润模型

由于需求的随机性，零售商的订购量很多时候是与实际需求量不一致的，且制造商启动第二次生产要考虑生产成本的增加。因此，为了及时满足零售商的期末第二次订购，理性的制造商在第一次便宜模式下的生产量肯定要超过零售第一次订购量。到了销售期期末，订购量满足不了市场的实际需求的需求量，则零售商要发出第二次订购。此时，如果制造商的库存大于第二次订购量，则不需要启动第二次昂贵模式的生产；否则制造商要启动第二次昂贵生产模式的生产来满足零售商的第二次订购量。

对EIIs（m）分别求m的一阶和二阶导数：

命题2对于给定的零售商（q＊，＊）且在限制条件m≥q＊下，存在唯一的m＊使得制造商的期望利润达到最大值，则制造商第一次最优生产量m＊满足

将（11）式代入（8）式可得到制造商的期望利润EIIs（m＊）。

2.3集中决策下供应链系统的利润模型

一体化供应链下，整个供应链的期望利润记为EII（cq，）

命题3在一体化供应链下，是供应链系统期望利润达到最优化的唯一满足：

将（13）（14）两式代入（12）式可得到供应链系统的期望利润EII（c）

3.回购契约的协调

在分散决策系统下，销售商、制造商的独立决策往往使供应链系统处于次优的状态。因此，要设计一个契约来完成供应链协调，比较式（3）、（13）和式（4）、（14），单一回购契约不能完成供应链系统的协调。由于单一回购契约不能协调供应链，下面考虑在回购契约（ws，wf，b，）的基础上引入成本分摊机制来实现协调即考虑契约，制造商分摊零售商的1-部分促销成本，∈［0，1］。在这个契约安排下零售商和制造商的利润函数是：

与命题1类似，在契约（ws，wf，b，）下可推导出以下关系式：

命题4要想实现供应链的协调，以下两等式必须同时满足：

只要满足命题4的条件供应链就可以达到协调状态。可以看出，存在无穷多个契约（ws，wf，b，）满足命题4的条件，也即有无穷多个契约能够协调供应链。

4.数值分析

为了验证上述结论的正确性。假设p=12，Cs=2，Cf=4，v=0.5，β=0.5，k=0.05，随机变量x服从均匀分布U（0，200）。

4.1回购契约参数对最优决策和成员利润的影响分析

设定参数ws=7，wf=8，表1反应回购价格b对供应链成员决策变量和利润的影响，其中b的变动范围是（v，ws］。从表1可以看出，零售商的最优订购量、制造商的最优生产量、零售商和制造商的利润随回购价格的增加而上升，但当回购价格到达便宜批发价格时，制造商的利润会有所下降；而促销努力不受回购价格的影响。表明适当提高回购价格不仅对零售商有利而且对制造商也有利。

表1　回购价格对供应链成员决策变量和利润的影响

表2　便宜生产模式下的批发价格　对供应链成员决策变量和利润的影响

除了回购价格外，批发价格也会影响供应链成员的行为策略和利润。给定参数b=2，wf=10，表2反应便宜生产模式下的批发价格ws对供应链成员决策变量和利润的影响，其中ws的变动范围是（b，wf）。从表2可以看出，零售商的最优订购量和促销努力、制造商的最优生产量、零售商的利润随便宜生产模式下的批发价格的增加而减小，而制造商的利润随便宜生产模式下的批发价格的增加而上升。表明便宜生产模式下的批发价格越低，零售商更有动力促销和订购更多的产品，使其利润更多。

给定参数b=2，ws=5，表3反应昂贵生产模式下的批发价格wf对供应链成员决策变量和利润的影响，其中wf的变动范围是（wf，p）。从表3可以看出，零售商的最优订购量、制造商的最优生产量、制造商的利润随昂贵生产模式下的批发价格的增加而上升，而零售商的利润随昂贵生产模式下的批发价格的增加而减少，零售商的促销努力与昂贵生产模式下的批发价格wf无关。表明昂贵批发价格越高，零售商的第一次最优订购量会越多，其利润会越少。

表3　昂贵生产模式下的批发价格wf对供应链成员决策变量和利润的影响

4.2回购契约协调的数值分析

表4　成本分摊比例对制造商和零售商期望利润的影响

表5　非协调状态下供应链成员的最优决策和利润

5.结束语

本文是在销售期末零售商有二次订购机会且制造商有两生产模式下，建立了带有促销努力的零售商和存在投机行为的制造商的回购契约利润模型，得出最优促销努力、最优订购量、最优生产量的一般通式。然后讨论了回购契约参数对各成员的行为决策的影响，得出结论：（1）最优订购量、最优生产量、分散下各成员的利润随回购价格的增加而上升，但当回购价格到达便宜批发价格时，制造商的利润会有所下降；而促销努力不受回购价格的影响。（2）最优订购量和促销努力、最优生产量、零售商的利润随便宜生产模式下的批发价格的增加而减小，而制造商的利润随便宜生产模式下的批发价格的增加而上升。（3）最优订购量、最优生产量、制造商的利润随昂贵生产模式下的批发价格的增加而上升，而零售商的利润随昂贵生产模式下的批发价格的增加而减少，零售商的促销努力与昂贵生产模式下的批发价格无关。研究表明制造商分摊一部分零售商的促销成本且回购契约参数满足一定的条件下供应链就可以实现协调，协调下成员利润如何分配主要取决于零售商和制造商的谈判能力。如果不满足条件供应链就不能实现协调，则零售商根据自己利润最大化来决策最优订购量和促销努力，此时最优订购量、最优生产量和促销努力都小于协调状态下的最优订购量、最优生产量和促销努力，供应链的利润也小于协调状态下的供应链利润。最后通过数值算例验证了所得结论。

［1］刘家国，吴冲.基于报童模型的两级供应链回购契约协调研究［J］.中国管理科学，2010，18（4）：73-78.

［2］DING D，CHEN J.Coordinating a three level supply chain with flexible return policies［J］.Management Science，2008，5 （36）：865-876.

［2］郭金森，周永务，钟远光，等.基于商业信用和回购契约的供应链最优化策略研究［J］.运筹与管理，2014，23（2）：99-106.

［3］徐最，朱道立，朱文贵.销售努力水平影响需求情况下的供应链回购契约［J］.系统工程理论与实践，2008，4（4）：1-11.

［4］肖群，马士华.促销努力成本信息不对称下供应链回购契约［J］.运筹与管理，2015，24（3）：27-34.

［5］王学武，贾慧卿，马文杰，等.销售努力成本分担情况下供应链回购契约研究［J］.东北电力大学学报，2013，33（6）：15-19.

［6］LAU A H L，LAU H S.Decision models for single period products with two ordering opportunities［J］.International Journal of Production Economics，1998，55（1）：57-70.

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［9］徐兵，张小平.基于二次订货与回购的供应链网络应对需求扰动［J］.系统工程学报，2012，27（5）：668-678.

［10］DONOHUE K L.Efficient supply contracts for fashion goods with forecast updating and two production modes［J］.Management Science，2000，46（11）：1397-1411.

［11］周茵，李董辉.具有两阶段生产模式的一类短生命周期产品的供应链协调［J］.系统工程理论与实践，2006，26（12）：17-24.

［12］王圣东，周永务.带有两生产模式的Newsvendor型产品供应链协调模型［J］.系统管理学报，2011，20（7）：71-77.

Supply Chain Coordination Model with Promotional Effort and End-of-season Second Order

Liu Cai-yun1，Zhang Tao2
（1.Tongling University，Tongling Anhui 244061，China；2.Tongling polytechnic，Tongling Anhui 244061，China）

The optimization and coordination model of the retailer with promotion efforts and the manufacturer with buy-back strategy are studied under end-of-season second order of retailer and two production modes of manufacturer.Firstly the paper establishes buyback contract profit model of retailer with promotion effort and end-of-season second order and manufacturer with two production modes，obtains the general formula of the optimal promotional effort，the optimal order quantity and the best yield.Then we discuss parameters such as the purchase price，the wholesale price of the two production mode and so on，which impact the optimal promotional effort，the optimal order quantity，the best yield and the profit of the retailer and the manufacturer.It shows that when manufacturer shared a portion of the retailer＇s promotional costs and the buy-back contract parameters under certain conditions can coordinate supply chains，the distribution of the member profits is mainly determined by the negotiation ability of the retailer and the manufacturer.Finally，the conclusions are verified by numerical examples.

supply chain coordination；second order；two production modes；buy-back contract

F274；O227

A

1672-0547（2016）02-0050-04

2016-02-27

安徽省高校省级自然科学研究重点项目（KJ2014A257）；2016年铜陵职业技术学院自然重点科研项目（KZ2016D002）

刘彩云（1983-），女，安徽安庆人，铜陵学院数学与计算机学院讲师，硕士，研究方向：供应链管理；

张涛（1982-），男，安徽阜阳人，铜陵职业技术学院信息工程系讲师，硕士，研究方向：web与数据库。